Метод подстановки (замены переменной)

Глава IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Первообразная и неопределенный интеграл

Основные понятия

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если в любой точке этого промежутка выполняется равенство или dF(x) = f(x) dx.

Если F(x) - первообразная для f(x), то функция F(x) + C, где C – некоторая постоянная, также является первообразной для функции f(x), так как для любого С.

Определение 2. Если F(x) - первообразная для функции f(x), то множество функций F(x) + C, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается .

Согласно данному определению имем

При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x) dx – подынтегральным выражением, x - переменной интегрирования.

Основные свойства неопределенного интеграла

1. .

2. d .

3. .

4. , a = const.

5. .

Таблица основных интегралов

1. 2. (a ¹ -1)

3. (x ¹ 0) 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. = arctgx + C 12.

13. 14.

Методы интегрирования

1. Непосредственным интегрированием называется вычисление интегралов с помощью таблицы основных интегралов и основных свойств неопределенных интегралов.

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Применим свойства 4 и 5 и воспользуемся таблицей интегралов, тогда

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. Интеграл не табличный, поэтому преобразуем его. Так как 1 = sin²x + cos²x, то интеграл можно записать в виде

= .

Применяя свойство 5, получим

Получили два табличных интеграла 8 и 9.

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. Интеграл не табличный. Умножим и разделим подынтегральное выражение на 3 и учтем, что 3dx = d(3x), тогда

Мы привели исходный интеграл к табличному интегралу 7 с переменной интегрирования 3x

Пример 4. Вычислить интеграл

Решение. Данный интеграл может быть приведен к табличному, если учесть, что cos x dx = Считая sin x переменной интегрирования, по формуле 2 таблицы интегралов получим

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение. Учитывая, что dx = d(1 + x), получим

Пример 6. Вычислить интеграл

Решение. Так как x dx = , то

Пример 7. Вычислить интеграл

Решение. Так как 1 + 2x²= (1 + x²) + x², то

= .

По формулам 2 и 11 таблицы интегралов получаем

Метод подстановки (замены переменной)

Замена переменной интегрирования в неопределенном интеграле производится с помощью подстановки двух видов:

1) x = j(t), где j(t) - дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае имеет вид

;

2) u = y(x), где u – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке:

Пример 8. Вычислить интеграл

Решение. Сделаем подстановку t = , т. е. x = t³. Эта подстановка приведет к тому, что под знаком синуса окажется переменная интегрирования, а не корень из нее. Найдем дифференциал dx = = 3t²dt. Тогда получим