Финансовые вычисления на кредитном рынке

 

Теория временной стоимости денег - концепция, на которой основано предположение о том, что ценность сегодняшних денег выше, чем ценность той же суммы, получаемой в будущем.

Наряду с инфляционным обесцениванием денег существует еще как минимум три важнейшие причины данного экономического феномена:

1) “сегодняшние” деньги всегда будут ценнее “завтрашних” из-за риска неполучения последних, и этот риск будет тем выше, чем больше промежуток времени, отделяющий получателя денег от этого “завтра”;

2) располагая денежными средствами “сегодня”, экономический субъект может вложить их в какое-нибудь доходное предприятие и заработать прибыль, в то время как получатель будущих денег лишен этой возможности. Расставаясь с деньгами “сегодня” на определенный период времени (допустим, давая их взаймы на 1 месяц), владелец не только подвергает себя риску их невозврата, но и несет реальные экономические потери в форме неполученных доходов от инвестирования;

3) кроме того снижается его платежеспособность, так как любые обязательства, получаемые им взамен денег, имеют более низкую ликвидность, чем “живые” деньги. То есть у кредитора возрастает риск потери ликвидности, и это третья причина положительного временного предпочтения. Естественно, большинство владельцев денег не согласны бесплатно принимать на себя столь существенные дополнительные риски. Поэтому, предоставляя кредит, они устанавливают такие условия его возврата, которые по их мнению полностью возместят им все моральные и материальные неудобства, возникающие у человека, расстающегося (пусть даже и временно) с денежными знаками.

Отсюда вытекает, по крайней мере, два важных следствия:

· необходимость учёта фактора времени при проведении финансовых операций;

· некорректность (с точки зрения анализа долгосрочных финансовых операций) суммирования денежных величин, относящихся к разным периодам времени.

 

Степень интенсивности изменения стоимости денег во времени показывает процентная ставка.

Проценты (процентные деньги) – абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой его форме: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счёт, учёт векселя, покупка сберегательного сертификата или облигации и т.д.

Процентная ставка – относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени, т.е. отношение дохода (процентных денег) к сумме долга за единицу времени (процентная ставка измеряется в процентах).

Период начисления – промежуток времени, в течение которого начисляются проценты. Период начисления может разбиваться на интервалы начисления.

Интервал начисления – минимальный промежуток времени, по истечении которого происходит начисление процентов.

Например, проценты начисляются ежемесячно в течение года. Тогда период начисления – один год, а интервал начисления – один месяц.

 

Пусть PV (presentvalue) – текущая стоимость (первоначальная сумма на момент инвестирования). Процесс увеличения первоначальной суммы денег в связи с присоединением к ней процентов называют наращением, или ростом, этой суммы.

Будущей стоимостью или наращенной суммой (долга, депозита, инвестированных денег и т.д.) называется первоначальная сумма с начисленными к концу периода (интервала) начисления процентами.

Пусть FV (futurevalue) - будущая стоимость. Будущая стоимость определяется умножением первоначальной суммы на множитель (коэффициент) наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной:

FV=kH×PV,

где kH - коэффициент наращения.

Конкретная расчётная формула зависит от вида применяемой процентной ставки и условий наращения.

 

Проценты различаются по базе для их начисления.

Простые проценты начисляются на одну и ту же сумму в течение всего периода начисления.

Сложные проценты начисляются на суммы, наращенные по итогам предшествующих интервалов начисления (иначе говоря, проценты начисляются на проценты - это называется капитализацией процентов).

 

Формула наращения по простым процентам имеет вид:

FV=PV(1+nr), где

r = r%/100% - годовая процентная ставка,

n – продолжительность периода начисления в годах,

kH=1+nr - коэффициент наращения.

Если ставка начисления процентов меняется и в течение n1 лет равна r1, в течение n2 лет равна r2 и т. д., то формула может быть модифицирована:

FV=PV(1+n1r1+ n2r2+ …)

 

Формула наращения по сложным процентам имеет вид:

FV=PV(1 + r)ⁿ, где

r = r %/100% - годовая ставка наращения,

n - продолжительность периода начисления в годах (n - целое),

kH=(1 + r)ⁿ- коэффициент наращения.

Если ставка начисления процентов меняется и в течение n1 лет равна r1, в течение n2 лет равна r2 и т. д., то формула может быть модифицирована:

FV=PV(1 + r1)ⁿ¹ * (1 + r2)ⁿ² * …

 

Проценты начисляются обычно не один, а несколько раз в году - по полугодиям, кварталам и т.д. При начислении сложных процентов несколько раз в году можно воспользоваться формулой

FV=PV(1 + r)ⁿ, вкоторой параметр n будет обозначать общее число интервалов начисления, а ставка r - процентную ставку за соответствующий период.

Важно! Однако на практике указывается не квартальная или месячная процентная ставка, а годовая ставка, которая называется номинальной.

 

Если номинальную ставку обозначать j (j=j%:100%), а количество интервалов начисления процентов в году m, то r= j / m и формулу FV=PV(1 + r)ⁿ можно записать в следующем виде:

,

где N=mn - общее количество интервалов начисления (периодов капитализации).

 

Дисконтирование

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме FV, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить PV. В таких случаях говорят, что сумма FV дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называют учётом, а удержанные проценты - дисконтом. Термин "дисконтирование" употребляется и в более широком смысле - как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени.

 

В зависимости от вида процентной ставки применяют два вида дисконтирования:

1) математическое дисконтирование, используется ставка наращения. При математическом дисконтировании решается задача, обратная определению наращенной суммы.

Формула математического дисконтирования по простой ставке наращения

 

Формула математического дисконтирования по сложной ставке

Величины и называют коэффициентами дисконтирования.

 

2) банковское дисконтирование (банковский учёт), используется учётная ставка.

Величина учетной ставки рассчитывается по формуле

Сравнивая процентную и учетную ставку, можно заметить, что смысл, вкладываемый в эти термины неодинаков: если в первом случае речь идет о приросте текущей стоимости, своего рода “наценке”, то во втором определяется снижение будущей стоимости, “скидка” с ее величины.

Эффективная ставка процента – это ставка, определяемая в рамках начисления сложного процента (в рамках одного года).

Аннуитет – это поток одинаковых по сумме платежей, которые осуществляются с равной периодичностью.

Будущая стоимость аннуитета определяется как , где: PMT – аннуитетный платеж.

Текущая стоимость аннуитета определяется как .

Текущая стоимость бессрочного аннуитета равна

 

 

Пример 1.

Вкладчик размещает в банке 20 000 руб. на три года. Капитализация процентов осуществляется ежегодно. За первый и второй года банк начисляет 12%, третий – 7% годовых. Какая сумма денег получится на счете через 3 года?

Решение

 

Пример 2.

Вкладчик положил в банк 20 тыс. рублей. Банк начисляет на сумму вклада простые проценты. Через пять лет на счете вкладчика была сумма, в 4 раза превышающая первоначальную. Необходимо определить банковскую ставку процента.

Решение

Из условия задачи и формулы простого начисления процента следует, что:

 

Пример 3.

За 80 дней до окончания года вкладчик размещает в банк 9000 рублей под 12% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов в конце каждого года, а в течение года по счету начисляется простой процент. Какая сумма средств будет на счете вкладчика по истечении 3 лет и 170 дней (база 365 дней)?

Решение

Пример 4.

В начале года на банковский счет вкладчик помещает 10000 рублей, затем в течение 3 лет в конце каждого месяца на счет вносит дополнительно по 200 рублей. Банк принимает вклады по 10% годовых (номинальная ставка при ежемесячном начислении процентов). Необходимо определить сумму в конце срока.

Решение

Результат от вложения 10000 рублей на 3 года равен:

Будущая стоимость аннуитета с РМТ=200 рублями равна:

Общий результат равен:

13481.82+8356.36=21838.18

 

Пример 5.

Вкладчику доступны три депозита:

1: 7% годовых, начисление процентов в конце года,

2: 6,5% годовых, начисление процентов ежеквартально,

3: 6% годовых, начисление процентов ежемесячно.

Определить депозит, на который выгоднее всего разместить средства вкладчику, если срок размещения средств равен 1 году.

Решение

Если вкладчик положит PV на 1 депозит, в конце года получит:

Если вкладчик положит PV на 2 депозит, в конце года получит:

Если вкладчик положит PV на 3 депозит, в конце года получит:

Вкладчику выгоднее положить средства на первый депозит, поскольку по нему максимальный коэффициент наращения.

 

 

Пример 6.

Банк начисляет по счету 13% годовых. Капитализация процентов осуществляется раз в 4 месяца. Определить величину эффективного процента.

Решение

Эффективная ставка процента составит

Пример 7.

По окончании третьего года на счете инвестора находится сумма 18250.5 руб. Начисление происходило по схеме сложного процента по ставке 15% в конце каждого года. Рассчитайте первоначальную сумму вклада.

Решение

 

Пример 8.

По окончании второго года на счете инвестора находится сумма 26400 руб. Начисление происходило по схеме сложного процента по ставке 10% в конце каждого года. Рассчитайте первоначальную сумму вклада.

Решение

 

Пример 9.

Банк А выплачивает сложные проценты раз в полгода. Банк Б выплачивает 10 % годовых по простой процентной ставке. Вкладчик разместил по 20 000 руб. в банках А и Б сроком на 2 года. Какую годовую процентную ставку должен начислять банк А, чтобы у вкладчика по итогам 2-х лет сумма вклада в банке А была на 20% больше, чем в банке Б.

Решение

FV (Б) = PV (1 + nr) = 20 000 х (1 + 2 х 0,10) = 24 000; 24 000 (1 + 0,2) = 20 000 х (1+ r/2)⁴;

r=19.09%