Вычисление определенного интеграла

Правильные и неправильные рац. Дроби.

Рац. дробь называется правильной, если степень числителя строго меньше степени знаменателя (m<n). Неправильной, когда степень числителя >= степени знаменателя.

Задача интегрирования рациональной функции сводится к задачам интегрирования элементарных рациональных дробей четырех типов

1) , 2) , 3) , 4) .

 

Интегрирование простейших дробей:

1) ,

2)

3) =

 

4) = =

 

, где .

Интегрир. Правильных дробей

Класс рациональных функций представляет собой класс интегрируемых функций.

При интегрировании конкретных рациональных функций выделяют целую часть и раскладывают рациональную дробь на элементарные. Затем интегрируют элементарные рациональные дроби.

Интегрир. Неправильных дробей.

Если рациональная функция не является рациональной дробью, то ее можно привести к сумме целой части – полинома и рациональной дроби.

Определенный интеграл как предел интегральных сумм

Если существует предел интегральных сумм при неограниченном измельчении разбиения, то он называется определенным интегралом (по Риману) от функции по отрезку : .

Геом. смысл

Если функция принимает на отрезке неотрицательные значения, то определенный интеграл можно интерпретировать как площадь под графиком функции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Физ. смысл: путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t=а до t=b, равен

определенному интегралу от скорости v(t):

 

Эк. смысл

Т-время, лямбда<T=<бета

Р(T) –производная в момент времени Т

Интеграл от лямбда до бета по Р(Т)дТ=Q – кол-во произвед. Продукции за промежуток времени от лямбда до бета

Свойства определенного интеграла

Аддитивность:

1. Линейность: Свойства линейности

а) суперпозиции ,

б) однородности

Вообще говоря, свойствами линейности обладают все линейные операции (дифференцирование, интегрирование, проектирование и т.д.)

Теорема об оценке определенного интеграла.

Пусть на отрезке и функция интегрируема на отрезке. Тогда

Доказательство. Интегрируя по свойству переход к нер-ву неравенство , с учетом свойства 5 получаем требуемое утверждение.

 

От константы .

.

 

Переход к нер-ву

Если на отрезке , то .

Так как на отрезке, то . Переходя к пределу, получим .

 

 

Теорема о среднем значении определенного интеграла («теорема о среднем»).

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существует , что (или ).

Геометрически, смысл этого соотношения состоит в том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой .

Доказательство. По второй теореме Вейерштрасса функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своей верхней и нижней грани. По теореме об оценке , откуда, деля на , получим

. По второй теореме Больцано – Коши функция, непрерывная на отрезке, принимает на нем все промежуточные значения между m и M. В частности, существует и такая точка , в которой функция принимает свое промежуточное значение , т.е.

 

Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу (основная теорема математического анализа)

Пусть функция непрерывна на отрезке , пусть . Тогда .

Доказательство. .

При доказательстве мы воспользовались теоремой о среднем и непрерывностью функции .

Формула Ньютона – Лейбница.

Пусть функция непрерывна на отрезке - некоторая первообразная функции . Тогда .

Доказательство. Из теоремы о производной интеграла по переменному верхнему пределу следует, что , т.е. - первообразная для функции . По теоремам о первообразных две первообразных отличаются на константу т.е. Но (свойство 4 определенного интеграла), поэтому . Тогда . Следовательно, .

Вычисление определенного интеграла

Метод замены переменной.

Пусть

1) непрерывны при ,

2) значения , не выходят за границы ,

3) ,

Тогда