Условие параллельности прямых.

Лекция 5.

Аналитическая геометрия.

Тема: Уравнения линий на плоскости.

Уравнение линии является важнейшим понятием геометрии.

Пусть мы имеем на плоскости некоторую линию (кривую). Координаты х, у точки, лежащей на этой линии не могут быть произвольными, они должны быть некоторым образом связаны. Такая связь аналитически записывается виде некоторого уравнения.

Уравнением линии на плоскости Оху называется уравнение, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

В общем виде уравнение линии может быть записано в виде F(x,y)=0 или y=f(x), где F(x,y) и f(x) – некоторые функции.

Если точка М(х,у) передвигается по линии, то ее координаты меняются. Поэтому координаты точки М(х,у) называются текущими координатами (от слова «текут», меняются).

Пример. Найти уравнение множества точек, равноудаленных от точек А(-4, 2) и В(-2, -6).

Решение. Пусть М(х,у) – произвольная точка искомой линии. По условию: АМ=ВМ, следовательно, АМ²=ВМ².

, .

=

или - уравнение прямой.

 

Любую линию в принципе можно выразить соответствующим уравнением (хотя не всегда легко). Однако, не всякое уравнение определяет на плоскости линию.

Пример. - определяет одну точку (0,0)

- не определяет никакой линии.

Чтобы убедиться, лежит ли точка М(х,у) на данной линии F(x,y)=0, надо проверить, удовлетворяют ли координаты этой точки данному уравнению.

 

Тема: Прямая на плоскости.

Пусть прямая пересекает ось Оу в точке В(0; b) и образует с осью Ох угол a. () (см. рис. 4.3).

Возьмем на прямой произвольную точку М (х, у), Тогда тангенс угла а наклона прямой найдем из прямоугольного треугольника МВN:

,

kx=y-b, Þ y=kx+b (*)

Можно показать, что формула (*) остается справедливой и для случая

Итак, мы доказали, что координаты каждой точки прямой удовлетворяют уравнению (*). Нетрудно показать, что координаты любой точки, не лежащей на прямой, не удовлетворяют уравнению (*).

Уравнение (*) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Рассмотрим частные случаи уравнения (*).

1. Если b = 0, то получаем у = kx — уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей при k= tgа>0 острый угол а с осью Ох, а при k=tgа < 0 тупой угол (см. рис.).

2. Если a=0,то k =tg0=0 и уравнение прямой, параллельной оси Ох, имеет вид у = b, а самой оси Ох у = 0 (см. рис.).

3. Если , то прямая перпендикулярна оси Ох (см. рис. 2) и не существует, т. е. вертикальная прямая не имеет углового коэффициента. Предположим, что эта прямая отсекает на оси Ох отрезок, равный а. Очевидно, что уравнение такой прямой х = а (так как абсцисса любой точки прямой равна а), а уравнение оси Оу есть х=0.

Различные виды записи уравнения прямой.

1. y=kx+b – уравнение прямой с угловым коэффициентом. (1 ) k=tga - тангенс угла наклона прямой,

b – отрезок, отсекаемый на оси Ох

2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей данный угловой коэффициент (уравнение пучка прямых).

у

Пусть прямая проходит через точку М₁(х _1, у ₁) и образует с осью Ох угол .

Так как точка М₁(х _1, у ₁) лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению (1), т. е.

y₁=kx₁+b (**)

Вычтем из равенства (1) равенство (**), получим

у-y₁=k(х-x₁)+b (2)

(2) - уравнение пучка прямых.

Если k –произвольное число, то (2) - уравнение пучка прямых, проходящих через точку М₁(х _1, у ₁)

 

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3;-2) а). под углом 135⁰ к оси Ох б). параллельно оси Оу в). найти уравнение пучка прямых

3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Пусть

даны две точки М₁(х₁,у₁), М₂(х₂,у₂) и х₁¹ х₂, у₁¹ у₂

Для составления уравнения прямой М₁М₂ (рис. 4.10) запишем уравнение пучка прямых, проходящих через точку М₁:

у-y₁=k(х-x₁)+b

Так как точка М₂(х₂,у₂) лежит на данной прямой, то чтобы выделить ее из пучка, подставим координаты точки М₂ в уравнение пучка

у₂-y₁=k(х₂-x₁)+b

и найдем угловой коэффициент прямой

Теперь уравнение искомой прямой примет вид

или

(3)

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А (-5; 4) и В (3; -2).

4. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть прямая отсекает на осях координат отрезки а¹0 и b ¹0. Тогда она проходит через точки А(а, 0) и B(0, b). Используя уравнение (3), получим

или

(4)

(4) – уравнение прямой в отрезках.

 

5. Общее уравнение прямой и его исследование. Рассмотрим уравнение первой степени с двумя переменными в общем виде

Ах + Ву + С = 0, (5)

в котором коэффициенты А и В не равны одновременно нулю, т.е. А² + В²¹ 0.

1. Пусть В ^ 0. Тогда уравнение (5) можно записать в виде

Обозначим , .

а). Если А¹ 0, С ¹ 0, то получим у=kх+b (уравнение прямой с угловым коэффициентом);

б). если А¹0, С =0, то y = kx (уравнение прямой, проходящей через начало координат);

в). если А=0, С= 0, то у=b (уравнение прямой, параллельной оси Оу);

г). если А=0,С=0, то у = 0 (уравнение оси Ох).

2. Пусть В = 0, А¹ 0. Тогда уравнение (5) примет вид

Обозначим .

а). Если С¹ 0, то получим х = а (уравнение прямой, параллельной оси Оу);

б). если С = 0, то х = 0 (уравнение оси Оу).

 

Таким образом, при любых допустимых значениях коэффициентов А, В, С уравнение (5) есть уравнение некоторой прямой линии на плоскости Оху·

Уравнение (5) называется общим уравнением прямой.

Заметим, что в отличие от уравнения пучка прямых (2) общее уравнение (5) включает и уравнение любой вертикальной прямой, параллельной оси Оу.

 

Некоторые формулы.

1. Угол между двумя прямыми.

Пусть заданы две прямые

y=k₁x+b₁ (а)

y=k₂x+b₂ (б)

Найдем угол j между ними.

Из рисунка видно, что j=a₂-a₁.

Причем k₁= tg a₁, k₂= tg a₂,

, .

Тогда

(1)

Условие параллельности прямых.

Если прямые (а) и (б) параллельны, то угол j=0 и tgj=0. Тогда из формулы (1) следует, что k₂-k₁=0, т.е.

k₂=k₁ (2)

(2) – условие параллельности двух прямых.