Повторение испытаний. Функция и плотность распределение случайной величины

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

СТАТИСТИКА

Методические указания к выполнению расчетно-графических работ

Пермь 2012

УДК 519.2

Теория вероятностей и математическая статистика: учебно-методическое пособие.

Составители: Валеева Р.Ф., Спицына Р.Х.

Пермский национальный исследовательский политехнический

Университет. Пермь, 2012

Методическое пособие предназначено для студентов вторых курсов, изучающих раздел математики «Теория вероятностей и математическая статистика». Пособие содержит два раздела: 1 - теория вероятностей, 2 – математическая статистика. В каждом разделе приведены варианты индивидуальных расчетно-графических заданий, определения, формулировки теорем и формулы, используемые при решении задач. Методика выполнения расчетного задания изложена при решении типового примера.

Табл. Рис. Библиогр. Назв.

Рецензенты:

Раздел 1 Теория вероятностей

Расчетная графическая работа 1

1.1 Основые понятия и теоремы теории вероятностей

Задание № 1

1. Переписать текст задачи, заменяя все параметры их значениями для решаемого варианта (V – номер варианта).

2. Определить испытания и элементарные события.

3. Определить исследуемое событие А и другие события.

4. Установить, какие формулы следует использовать для вычислений и выполнить последние. Вычисления произвести, по возможности точно.

Задача 1.1.

Бросают две монеты. Найти вероятность того, что:

1) на обеих монетах появится «герб»,

2) хотя бы на одной монете появится «герб»,

3) ни на одной монете не появится «герб»,

Бросают три монеты. Найти вероятность того, что:

4) на всех монетах появится «герб»,

5) хотя бы на одной монете появится «герб»,

6) только на двух монетах появится «герб»,

7) только на одной монете появится «герб»,

8) ни на одной монете не появится «герб»,

Бросают четыре монеты. Найти вероятность того, что:

9) на всех монетах появится «герб»,

10) хотя бы на одной монете появится «герб»,

11) только на одной монете появится «герб»,

12) только на двух монетах появится «герб»,

13) только на трех монетах появится «герб»,

14) ни на одной монете не появится «герб»,

Бросают игральную кость. Найти вероятность того, что на верхней грани появится:

15) четное число очков;

16) «1» или «6».

Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что на верхней грани появятся следующие числа очков:

17) только четные;

18) одно четное, другое нечетное;

19) сумма которых четна;

20) сумма которых нечетна;

21) сумма которых больше, чем их произведение;

22) сумма которых меньше шести;

23) сумма которых больше восьми.

Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появятся следующие числа очков:

24) только четные;

25) одно четное, остальные нечетные;

26) сумма которых четна;

27) сумма которых нечетна;

28) которые все одинаковы;

29) которые все различны;

30) сумма которых делится на четыре;

Задача 1.2.

Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.

Слова по вариантам:

0) МАТЕМАТИК 16) ПАМЯТЬ

1) ПРОГРАММА 17) УСТРОЙСТВО

2) ПРОГРАММИСТ 18) ПЕРФОЛЕНТА

3) ПРОГРАММИРОВАНИЕ 19) ПЕРФОКАРТА

4) СТАТИСТИК 20) ФЕРРИТ

5) СТАТИСТИКА 21) МАГНИТ

6) СОБЫТИЕ 22) ГИСТЕРЕЗИС

7) СЛУЧАЙНОСТЬ 23) СЕРДЕЧНИК

8) ВЕРОЯТНОСТЬ 24) ПОЛУПРОВОДНИК

9) АЛГОРИТМ 25) ТРАНЗИСТОР

10) БЛОК-СХЕМА 26) ИНТЕГРАЛ

11) ПОДПРОГРАММА 27) КАЛЬКУЛЯТОР

12) ПРОЦЕДУРА 28) ВЫЧИСЛИТЕЛЬ

13) ПРИСВАИВАНИЕ 29) ОПЕРАЦИЯ

14) УСЛОВИЕ 30) АРИФМЕТИКА

15) ПРОЦЕССОР

Задача 1.3.

Как и в предыдущей задаче, найти соответствующую вероятность случая, когда заданным словом является ваша фамилия и ваше имя.

Задача 1.4.

В урне содержится К черных и Н белых шаров. Случайным образом вынимают М шаров. Найти вероятность того, что в них имеется:

а) Р белых шаров;

б) меньше, чем Р, белых шаров;

в) хотя бы один белый шар.

Значения параметров К, Н, М, и Р по вариантам приведены в табл.1.

Таблица1

Вариант

Задача 1.5.

Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями и . Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя:

а) только один элемент;

б) хотя бы один элемент.

Значения параметров вычислить по следующим формулам:

Задача 1.6.

В первой урне К белых и L черных шаров, а во второй - М белых и N черных. Из первой урны вынимают случайным образом Р шаров, а из второй – Q шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

1) все шары одного цвета;

2) только три белых шара;

3) хотя бы один белый шар.

Значения параметров K, L, M, N, P и Q по вариантам приведены в табл. 2.

Таблица 2

Вариант

Задача 1.7.

В урне содержится К черных и белых шаров, к ним добавляют L белых шаров. После этого из урны вынимают М шаров. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, полагая, что все возможные предположения о первоначальном содержании урны равновозможны.

Значения параметров К, L и М по вариантам приведены в табл. 3.

Таблица3

Вариант

Задача 1.8.

В одной урне К белых и L черных шаров, а в другой - M белых и N черных. Из первой урны случайным образом вынимают Р шаров и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают R шаров. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые.

Значения параметров K, L, M, N, P, R по вариантам приведены в табл. 4.

Таблица 4

Вариант

Задача 1.9.

В пирамиде стоят R винтовок, из них L с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя, из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью , а стреляя из простой винтовки – с вероятностью . Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.

Значения параметров вычислить по формулам:

Задача 1.10.

В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются электродвигатели этих заводов соответственно в количестве М₁, М₂, М₃ штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями соответственно и . Рабочий берёт случайно один электродвигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятности того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом – изготовителем.

Значения параметров вычислить по следующим формулам:

Повторение испытаний. Функция и плотность распределение случайной величины

Задание № 2

1. Переписать текст задачи, заменяя все параметры их значениями для вашего варианта.

2. Определить исходные данные и результаты.

3. Определить подходящие формулы вычисления и выполнить вычисления при помощи калькулятора и таблиц.

4. Построить требуемые графики.

Задача 2.1.

В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р. Вычислить все вероятности , k=0,1,2 …n, где k – частота события А. Построить график вероятностей , найти наивероятнейшую частоту.

Значения параметров n и р вычислить по следующим формулам:

где V – номер варианта; р = 0,3 + 0,02 V.

Задача 2.2.

В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р. Найти вероятность того, что событие А происходит:

а) точно М раз;

б) меньше, чем М и больше, чем L раз;

в) больше, чем М раз.

Значения параметров n, p, M и L вычислить по следующим формулам:

Задача 2.3.

а) точно G раз;

б) точно L раз;

в) меньше чем М и больше чем F раз;

г) меньше чем R раз;

Значения параметров n, p, G, L, M, F и R вычислить по следующим формулам:

Задача 2.4.

На телефонной станции неправильное соединения происходит с вероятностью р. Найти вероятность того, что среди n соединений имеет место:

а) точно G неправильных соединений;

б) меньше, чем L неправильных соединений;

в) больше, чем М неправильных соединений.

Значение параметров р, n, G, L и M вычислить по следующим формулам:

Задача 2.5.

В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р. Найти вероятность того, что относительная частота k/n этого события отличается по абсолютной величине от вероятности р не больше, чем на ε > 0.

Значения параметров n, p, ε вычислить по следующим формулам

Задача 2.6.

Случайная величина Х задана рядом распределения

Х	х₁ х₂ х₃ х₄
P	р₁ р₂ р₃ р₄

Найти функцию распределения F(х) случайной величины Х и построить её график. Вычислить математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).

Значения параметров х₁, х₂, х₃, х₄, р₁, р₂, р₃, р₄ вычислить по следующим формулам:

Задача 2.7.

Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности

Найти функцию распределения F(x) случайной величины X. Построить графики функций f(х) и F(x). Вычислить математическое ожидание М(X) и дисперсию D(X).

Значения параметров К и R вычислить по следующим формулам:

Задача 2.8.

Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти функцию плотности вероятности f(х) случайной величины Х и построить графики функций f(х) и F(х). Вычислить для Х её математическое ожидание М(X) и дисперсию D(X).

Значения параметра К вычислить по формуле:

где V – номер варианта.

Задача 2.9.

Случайная величина Х распределена нормально. Найти вероятность того, что эта случайная величина принимает значение:

а) в интервале [а, b];

б) меньшее К;

в) большее L;

г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на ε.

Значения параметров m, σ, a, b, K, L и ε вычислить по формулам:

Задача 2.10.

Задана случайная величина Х и точки х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, на числовой оси разделяющие ее на шесть интервалов. Найти вероятность того, что случайная величина Х принимает значения в этих интервалах.

Значения m, σ, х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ вычислить по следующим формулам:

1.3 Решение задач варианта расчетной работы

Задача 1.1.

Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять.

Определим испытание и его результат, т. е. элементарное событие. Испытанием является бросание трех игральных костей; результатом - одно из сочетаний очков 1,…,6 на верхних гранях трех костей.

Исследуемое событие А - сумма очков на трех костях делится на пять. Вероятность события А вычислим с помощью формулы:

Общее количество элементарных событий п можно найти по правилу умножения. На каждой игральной кости 6 граней и все они могут сочетаться со всеми гранями других костей. Итак, получаем .

Количество элементарных событий m, входящих в состав события A или благоприятствующих событию A, найдем выписав всевозможные результаты испытаний и оставив из них только те, для которых сумма очков на всех трех костях делится на пять. Можно облегчить работу, выписав всевозможные исходы бросания первых двух костей, сочетая с ними подходящие значения количества очков, выпавших на третьей кости.

Имеем:

113 212 311 366 465 564 663

122 221 316 415 514 613

131 226 325 424 523 622

136 235 334 433 532 631

145 244 343 442 541 636

154 253 352 451 546 645

163 262 361 456 555 654

В результате получаем, что P(m) = 43, значит, P(A) = 43/216.

Ответ: P(A) = 43/216.

Задача 1.2.

Слово МАТЕМАТИКА составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность случая, когда буквы вынимаются в порядке заданного слова.

Испытание заключается в вынимании карточек с буквами в случайном порядке без возврата. Элементарным событием является полученная последовательность букв. Событие А состоит в получении нужного слова МАТЕМАТИКА. Элементарные события являются перестановками из 10 букв, значит имеем n = 10!

Некоторые буквы в слове МАТЕМАТИКА повторяются (М - 2 раза, А - 3 раза, Т – 2 раза), поэтому возможны перестановки, при которых слово не изменяется. Их число равно

Таким образом,

Ответ: Р(А) = 1/151200.

Задача 1.4.

В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) 2 белых шара;

б) меньше чем 2 белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

Испытанием будет случайное вынимание четырех шаров. Элементарными событиями являются всевозможные сочетания по 4 из 11 шаров. Их число равно

а) A₁ - среди вынутых шаров 2 белых. Значит, среди вынутых шаров 2 белых и 2 черных. Используя правило умножения, получаем

б) A₂ — среди вынутых шаров меньше чем 2 белых. Это событие состоит из двух несовместных событий:

B₁ - среди вынутых шаров только один белый и 3 черных шара,

B₂ - среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 4 шара черные:

Так как события B₁ и B₂ несовместны, можно использовать формулу

Имеем:

в) A₃ - среди вынутых шаров хотя бы один белый. Этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров: 1 белый и 3 черных (B₁), 2 белых и 2 черных (B₂), 3 белых и 1 черный (B₃), 4 белых (B₄). Имеем

Здесь событие A₃ определяется словами «хотя бы один» и прямое решение приводит обычно к сложным вычислениям. Проще сначала найти вероятность противоположного события и затем по формуле вычислить вероятность искомого события.

- среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае

Ответ: P(A₁) = 5/11, P(A₂) = 13/66, P(A₃) = 65/66.

Задача 1.5.

Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями 0,851, 0,751 и 0,701. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя:

а) только один элемент;

б) хотя бы один элемент.

Испытание, т. е. работу за время T, нужно рассмотреть на двух уровнях: на уровне устройства и на уровне элементов. Элементарные события определять не надо, так как их вероятности заданы.

а) A₁ - за время T выходит из строя только один элемент;

- первый элемент выходит из строя;

- второй элемент выходит из строя;

- третий элемент выходит из строя;

- первый элемент не выходит из строя;

- второй элемент не выходит из строя;

- третий элемент не выходит из строя.

Учитывая независимость элементов устройств, несовместность событий B_i и , и формулы получаем следующую формулу:

По условию

а по формуле получаем

Таким образом,

6) A₂ - за время T выходит из строя хотя бы один элемент.

Событие определяется словами «хотя бы один», значит используем противоположное событие.

- за время T все элементы работают безотказно:

Ответ: P(A₁) = 0,418, P(A₂) = 0,552.

Задача 1.6.

В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй урне 5 белых и 7 черных шаров. Из первой урны взяли случайно 3 шара, а из второй -2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а) все шары одного цвета;

б) только три белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

2урна

Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями являются извлечение трех шаров из первой урны и двух шаров из второй урны. Элементарными событиями будут сочетания по 3 или 2 из 10 или 12 шаров соответственно.

а) A₁ - все вынутые шары одного цвета, т е. они или все белые, или все черные.

Определим для каждой урны всевозможные события:

B₁ - из первой урны вынуты 3 белых шара;

B₂ - из первой урны вынуты 2 белых и I черный шар;

B₃ - из первой урны вынуты 1 белый к 2 черных шара;

B₄ - из первой урны вынуты 3 черных шара,

C₁ - из второй урны вынуты 2 белых шара;

C₂ - из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар;

C₃ - из второй урны вынуты 2 черных шара.

Значит, откуда, учитывая независимость и несовместимость событий, получаем

Найдем количество элементарных событий n₁ и n₂ для первой и второй урн соответственно. Имеем

Найдем количество каждого из элементарных событий, определяющих следующие события:

Следовательно,

6) A₂ - среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае

в) A₃ - среди извлеченных шаров имеется по крайней мере один белый.

- среди извлеченных шаров нет ни одного белого шара.

Тогда

Ответ: P(A₁) = 71/1980, P(A₂) = 4/11, P(A₃) = 653/660.

Задача 1.7.

В урне 4 черных и белых шара. К ним прибавляют 2 белых шара. После этого из урны случайным образом вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, предполагая, что все предположения о первоначальном содержании урны равновозможны.

Здесь имеют место два вида испытаний: сначала задается первоначальное содержимое урны и затем случайным образом вынимается 3 шара, причем результат второго испытания зависит от результата первого. Поэтому используем формулу полной вероятности

Событие A - случайно вынимают 3 белых шара. Вероятность этого события зависит от того, каким был первоначальный состав шаров в урне.

Рассмотрим события:

B₁ - в урне было 4 белых шара;

B₂ - в урне было 3 белых и 1 черный шар;

B₃ - в урне было 2 белых и 2 черных шара;

B₄ - в урне был 1 белый и 3 черных шара;

B₅ - в урне было 4 черных шара.

Формулу полной вероятности используем в следующем виде:

События B₁, B₂, B₃, B₄, B₅ образуют полную систему событий, значит, их сумма равна достоверному событию

Используя формулу (1.3), получаем

По условию все эти вероятности равны. Следовательно,

Общее число элементарных исходов

Найдем условные вероятности события А при различных условиях.

При B₁:

При В₂:

При В₃:

При В₄:

При В₅:

Ответ: Р(А) = 7/20.

Задача 1.8.

В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой - 4 белых 8 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые.

2урна

В этой задаче испытания также происходят в два этапа: вначале случайным образом вынимают шары из первой урны и опускают во вторую, а затем случайно вынимают шары из второй урны. Рассмотрим события:

А — шары, взятые из второй урны;

B₁ - из первой урны взяли 3 белых шара;

B₂ - из первой урны взяли 2 белых и 1 черный шар;

B₃ - из первой урны взяли 1 белый и 2 черных шара;

B₄ - из первой урны взяли 3 черных шара.

Используя формулу полной вероятности , находим

Количество элементарных событий на первом этапе равно

а на втором этапе

При B₁:
При В₂:
При В₃:
При B₄:

Ответ: Р{А) = .

Задача 1.9.

В пирамиде стоят 19 винтовок, из них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0,81, а стреляя из винтовки без оптического прицела, - с вероятностью 0,46. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.

В этой задаче первым испытанием является случайный выбор винтовки, вторым - стрельба по мишени. Рассмотрим следующие события:

А - стрелок поразит мишень;

B₁ - стрелок возьмет винтовку с оптическим прицелом;

B₂ - стрелок возьмет винтовку без оптического прицела.

Используем формулу полной вероятности .

Имеем

Учитывая, что винтовки выбираются по одной, получаем и соответственно (для B₁) и (для B₂); таким образом, P(B₁) = 3/19, P(B₂) = 16/19.

Условные вероятности заданы в условии задачи:

Следовательно,

Ответ: Р(А) = 0,515.

Задача 1.10.

В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются электродвигатели названных заводов соответственно в количестве 19, 6 и 11 шт., которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока соответственно с вероятностями 0,85, 0,76 и 0,71. Рабочий берет случайно один двигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятности того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен третьим заводом - изготовителем.

Первым испытанием является выбор электродвигателя, вторым - работа электродвигателя во время гарантийного срока. Рассмотрим следующие события:

А - электродвигатель работает безотказно до конца гарантийного срока;

B₁ - монтер возьмет двигатель из продукции 1-го завода;

B₂ - монтер возьмет двигатель из продукции 2-го завода;

B₃ - монтер возьмет двигатель из продукции 3-го завода.

Вероятность события А вычисляем по формуле полной вероятности:

Условные вероятности заданы в условии задачи:

Аналогично предыдущей задаче найдем вероятности:

P(B₁) = 19/36 = 0,528; P(B₂) = 6/36 = 0,167; P(B₃) = 11/36 = 0,306;.

По формуле Бейеса вычисляем вероятность того, что работающий безотказно двигатель поставлен третьим заводом-изготовителем

Ответ: Р(B₃ | A) = 0,274.

Задач 2.1.

В каждом из 11 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,3. Вычислить все вероятности p_k, k = 0, 1, 2,..., 11, где k - частота события А. Построить график вероятностей p_k.. Вычислить наивероятнейшую частоту.

Задано: n = 11, p = 0,3, q = 1 – p = 0,7.

Найти: p₀, p₁, p₂,…, p₁₁ и k.

Используем формулу Бернулли и формулу

Значение p₀ вычисляем по первой из формул, а остальные вероятности p_k - по второй.

Для формулы вычисляем постоянный множитель:

Результаты вычислений запишем в табл. 5. Если вычисления верны, то должно выполняться равенство

По найденным значениям вероятностей построим их график (рис. 1.).

Найдем наивероятнейшую частоту по заданным условиям:

Получим .

Так как - целое число, то искомая наивероятнейшая частота и значение является максимальным.

Таблица 5


0	-	0,0197732	6	6/6	0,0566056
1	11/1	0,0932168	7	5/7	0,0173282
2	10/2	0,1997503	8	4/8	0,0037131
3	9/3	0,2568218	9	3/9	0,0005304
4	8/4	0,2201330	10	2/10	0,0000454
5	7/5	0,1320798	11	1/11	0,0000017
			∑	-	0,9999994