Методические указания
К выполнению самостоятельных работ и лабораторных работ
по курсу «Математические методы моделирования»
Часть 2. «Решение уравнений и систем уравнений»
Для студентов специальности ГИСИТ, 2 курс
Разработчик: Манакова Н.О.
Харьков, 2010
Самостоятельные работы. 3
Самостоятельная работа №2. Решение систем линейных уравнений. 3
Примеры выполнения практических заданий. 3
Контрольные вопросы и задания. 5
Индивидуальные задания. 6
Самостоятельная работа №3. Решение нелинейных уравнений. 10
Уточнение корней методом половинного деления (дихотомии) 10
Метод Ньютона для решения систем нелинейных алгебраических уравнений. 11
Индивидуальные задания. 13
Лабораторные работы. 15
Лабораторная работа №5. Реализация методов решения уравнений и их систем средствами VBA. 15
Лабораторная работа №6. Решение уравнений средствами Excel. 23
Подбор параметра. 23
Поиск решения. 25
Самостоятельные работы.
Самостоятельная работа №2. Решение систем линейных уравнений.
Примеры выполнения практических заданий.
1. Осуществить замену зависимой переменной s2 на независимую tr в системе:
.
Решение. Решение задачи достигается с помощью одного шага жордановых исключений.
Исходная таблица жордановых исключений в условиях примера имеет вид:
| t1 | t2 | t3 | |
| s1= | |||
| s2= |
Переменные, участвующие в транспозиции, определяют направляющую строку и направляющий столбец. Они в таблице выделены серым цветом.
Для осуществления шага жордановых исключений необходимо вычислить элементы новой таблицы жордановых исключений в соответствии с правилами.
Так, новый главный элемент 
. Новые элементы направляющей строки, кроме главного, есть 
; 
.Новый элемент направляющего столбца 
. Остальные новые элементы вычисляются по четвертому правилу жордановых исключений:
; 
.
Результирующая таблица жордановых исключений для рассматриваемого примера имеет вид:
| t1 | t2 | s2 | |
| s1= | -3 | ||
| t3 = | 1,5 | -0,5 |
Результирующей таблице соответствует новая (искомая) система линейных уравнений:
2. Решить систему линейных уравнений
относительно переменных х1 и х3.
Решение. Решить систему линейных уравнений относительно переменных х1 и х3 — это значит выразить переменные х1 и х3 через оставшиеся переменные х2 и х4. Это можно сделать с помощью жордановых исключений. Для этого введем вектор независимых переменных 
, каждая составляющая которого принимает только нулевое значение, и независимую переменную t, которая принимает единственное значение, а именно 1. Тогда заданную систему линейных уравнений можно представить в следующем виде:
.
Осуществим два шага жордановых исключений, в которых зависимую переменную s1 заменим на независимую х1, в s2 — на х3. Получим искомое решение:
.
Проверим правильность решения с помощью подстановки в исходную систему какого-либо частого решения. Для получения частного решения присвоим независимым переменным х2 и х4 какие-либо значения и подставим их в последнюю полученную систему для вычисления зависимых переменных х1 и х3. Например, пусть х2=2 и х4=2. Тогда х1=0,5∙2-0,5∙2-1=-1, х3=0,5∙2+2,5∙2-2=4.
Найденное частное решение 
превращает уравнение системы в тождества:
-1 = 0,5∙2-0,5∙2-1=-1.
4=0,5∙2+2,5∙2-2=4.
Следовательно, общее решение найдено правильно.
3. Решить систему линейных уравнений методом жордановых исключений:
Решение. Для решения задачи представим матрицу А как матрицу коэффициентов системы в следующем виде:
.
Преобразуем в систему 
с искомой обратной матрицей А-1. Для этого в систем осуществим последовательно три шага жордановых исключений (в общем случае n шагов), каждый раз выбирая в качестве главного элемента один из диагональных, и только диагональных. Цель жордановых исключений — заменить каждую зависимую переменную si на независиую ti (
). Последовательность замен несущественна, важно, что каждая i используется только единожды.
После проведения указанных шагов жордановых исключений получим новую систему линейных форм:
,
в которой матрица коэффициентов представляет собой искомую матрицу, обратную по отношению к заданной.
Для проверки правильности найденного решения необходимо перемножить исходную и искомую матрицы:
Поскольку произведением этих матриц является единичная матрица, найденная матрица согласно определению является обратной, то есть решение найдено верно.
Контрольные вопросы и задания.
1. Привести общую форму записи систем линейных уравнений в матричном виде.
2. Привести общую форму записи решения системы линейных уравнений в матричном виде при числе переменных, равном числу уравнений.
3. Привести общую форму записи решения системы линейных уравнений в матричном виде при числе переменных, превышающем число уравнений.
4. С помощью жордановых исключений заменить в следующей системе:
зависимые переменные х1, х2 на независимые х5, х6.
5. Разрешить систему линейных уравнений
относительно переменных х3, х5.
6. Какое применение в линейной алгебре находят жордановы исключения?
7. Решить систему линейных уравнений
относительно переменных х1, х2,х4.
8. Решить систему линейных уравнений
относительно переменных х2,х3.
Индивидуальные задания.
Индивидуальное задание №1. Решить систему линейных уравнений с помощью жордановых исключений относительно заданных переменных.
| 1.1. | 
| Решить относительно переменных х1, х2, х4. | |
| 1.2 | 
| Решить относительно переменных х1, х2 | |
| 1.3 | 
| Решить относительно переменных х2,х3 х4. | |
| 1.4 | 
| Решить относительно переменных х1, х4. | |
| 1.5 |
| Решить относительно переменных х1, х3, х4. | |
| 1.6 | 
| Решить относительно переменных х1, х5. | |
| 1.7 | 
| Решить относительно переменных х1, х2, х3. | |
| 1.8 |
| Решить относительно переменных х2, х4. | |
| 1.9 | 
| Решить относительно переменных х1, х2, х3. | |
| 1.10 | 
| Решить относительно переменных х2, х5. | |
| 1.11 |
| Решить относительно переменных х1, х2, х4 | |
| 1.12 |
| Решить относительно переменных х2, х4 | |
| 1.13 |
| Решить относительно переменных х1, х2, х5 | |
| 1.14 |
| Решить относительно переменных х3, х5 | |
| 1.15 |
| Решить относительно переменных х1, х3, х4 | |
| 1.16 |
| Решить относительно переменных х4, х5 | |
| 1.17 | 
| Решить относительно переменных х1, х2, х3 | |
| 1.18 | 
| Решить относительно переменных х2, х5 | |
| 1.19 | 
| Решить относительно переменных х1, х2, х3 | |
| 1.20 | 
| Решить относительно переменных х1, х2, х4 | |
| 1.21 |
| Решить относительно переменных х1, х3 | |
| 1.22 | 
| Решить относительно переменных х1, х3, х4 | |
| 1.23 | 
| Решить относительно переменных х1, х5 | |
| 1.24 | 
| Решить относительно переменных х2, х3, х4 | |
| 1.25 | 
| Решить относительно перемененных х1, х2, х3 | |
| 1.26 | 
| Решить относительно переменных х1, х2, х3. | |
| 1.27 | 
| Решить относительно переменных х1, х4. | |
| 1.28 | 
| Решить относительно переменных х1, х3. | |
| 1.29 | 
| Решить относительно переменных х1, х2, х4. | |
| 1.30 | 
| Решить относительно переменных х1, х4. |
Индивидуальное задание №2. Решить систему линейных уравнений с помощью метода жордановых исключений и выполнить проверку:
| 2.1. | 
| 2.16. | 
|
| 2.2. | 
| 2.17. | 
|
| 2.3. | 
| 2.18. | 
|
| 2.4. | 
| 2.19. | 
|
| 2.5. | 
| 2.20. | 
|
| 2.6. | 
| 2.21. | 
|
| 2.7. | 
| 2.22. | 
|
| 2.8. | 
| 2.23. | 
|
| 2.9. | 
| 2.24. | 
|
| 2.10. | 
| 2.25. | 
|
| 2.11. | 
| 2.26. | 
|
| 2.12. | 
| 2.27. | 
|
| 2.13. | 
| 2.28. | 
|
| 2.14. | 
| 2.29. | 
|
| 2.15 | 
| 2.30 | 
|
