Методические указания
К выполнению самостоятельных работ и лабораторных работ
по курсу «Математические методы моделирования»
Часть 2. «Решение уравнений и систем уравнений»
Для студентов специальности ГИСИТ, 2 курс
Разработчик: Манакова Н.О.
Харьков, 2010
Самостоятельные работы. 3
Самостоятельная работа №2. Решение систем линейных уравнений. 3
Примеры выполнения практических заданий. 3
Контрольные вопросы и задания. 5
Индивидуальные задания. 6
Самостоятельная работа №3. Решение нелинейных уравнений. 10
Уточнение корней методом половинного деления (дихотомии) 10
Метод Ньютона для решения систем нелинейных алгебраических уравнений. 11
Индивидуальные задания. 13
Лабораторные работы. 15
Лабораторная работа №5. Реализация методов решения уравнений и их систем средствами VBA. 15
Лабораторная работа №6. Решение уравнений средствами Excel. 23
Подбор параметра. 23
Поиск решения. 25
Самостоятельные работы.
Самостоятельная работа №2. Решение систем линейных уравнений.
Примеры выполнения практических заданий.
1. Осуществить замену зависимой переменной s2 на независимую tr в системе:
.
Решение. Решение задачи достигается с помощью одного шага жордановых исключений.
Исходная таблица жордановых исключений в условиях примера имеет вид:
t1 | t2 | t3 | |
s1= | |||
s2= |
Переменные, участвующие в транспозиции, определяют направляющую строку и направляющий столбец. Они в таблице выделены серым цветом.
Для осуществления шага жордановых исключений необходимо вычислить элементы новой таблицы жордановых исключений в соответствии с правилами.
Так, новый главный элемент . Новые элементы направляющей строки, кроме главного, есть
;
.Новый элемент направляющего столбца
. Остальные новые элементы вычисляются по четвертому правилу жордановых исключений:
;
.
Результирующая таблица жордановых исключений для рассматриваемого примера имеет вид:
t1 | t2 | s2 | |
s1= | -3 | ||
t3 = | 1,5 | -0,5 |
Результирующей таблице соответствует новая (искомая) система линейных уравнений:
2. Решить систему линейных уравнений
относительно переменных х1 и х3.
Решение. Решить систему линейных уравнений относительно переменных х1 и х3 — это значит выразить переменные х1 и х3 через оставшиеся переменные х2 и х4. Это можно сделать с помощью жордановых исключений. Для этого введем вектор независимых переменных , каждая составляющая которого принимает только нулевое значение, и независимую переменную t, которая принимает единственное значение, а именно 1. Тогда заданную систему линейных уравнений можно представить в следующем виде:
.
Осуществим два шага жордановых исключений, в которых зависимую переменную s1 заменим на независимую х1, в s2 — на х3. Получим искомое решение:
.
Проверим правильность решения с помощью подстановки в исходную систему какого-либо частого решения. Для получения частного решения присвоим независимым переменным х2 и х4 какие-либо значения и подставим их в последнюю полученную систему для вычисления зависимых переменных х1 и х3. Например, пусть х2=2 и х4=2. Тогда х1=0,5∙2-0,5∙2-1=-1, х3=0,5∙2+2,5∙2-2=4.
Найденное частное решение превращает уравнение системы в тождества:
-1 = 0,5∙2-0,5∙2-1=-1.
4=0,5∙2+2,5∙2-2=4.
Следовательно, общее решение найдено правильно.
3. Решить систему линейных уравнений методом жордановых исключений:
Решение. Для решения задачи представим матрицу А как матрицу коэффициентов системы в следующем виде:
.
Преобразуем в систему с искомой обратной матрицей А-1. Для этого в систем осуществим последовательно три шага жордановых исключений (в общем случае n шагов), каждый раз выбирая в качестве главного элемента один из диагональных, и только диагональных. Цель жордановых исключений — заменить каждую зависимую переменную si на независиую ti (
). Последовательность замен несущественна, важно, что каждая i используется только единожды.
После проведения указанных шагов жордановых исключений получим новую систему линейных форм:
,
в которой матрица коэффициентов представляет собой искомую матрицу, обратную по отношению к заданной.
Для проверки правильности найденного решения необходимо перемножить исходную и искомую матрицы:
Поскольку произведением этих матриц является единичная матрица, найденная матрица согласно определению является обратной, то есть решение найдено верно.
Контрольные вопросы и задания.
1. Привести общую форму записи систем линейных уравнений в матричном виде.
2. Привести общую форму записи решения системы линейных уравнений в матричном виде при числе переменных, равном числу уравнений.
3. Привести общую форму записи решения системы линейных уравнений в матричном виде при числе переменных, превышающем число уравнений.
4. С помощью жордановых исключений заменить в следующей системе:
зависимые переменные х1, х2 на независимые х5, х6.
5. Разрешить систему линейных уравнений
относительно переменных х3, х5.
6. Какое применение в линейной алгебре находят жордановы исключения?
7. Решить систему линейных уравнений
относительно переменных х1, х2,х4.
8. Решить систему линейных уравнений
относительно переменных х2,х3.
Индивидуальные задания.
Индивидуальное задание №1. Решить систему линейных уравнений с помощью жордановых исключений относительно заданных переменных.
1.1. | ![]() | Решить относительно переменных х1, х2, х4. | |
1.2 | ![]() | Решить относительно переменных х1, х2 | |
1.3 | ![]() | Решить относительно переменных х2,х3 х4. | |
1.4 | ![]() | Решить относительно переменных х1, х4. | |
1.5 | ![]() | Решить относительно переменных х1, х3, х4. | |
1.6 | ![]() | Решить относительно переменных х1, х5. | |
1.7 | ![]() | Решить относительно переменных х1, х2, х3. | |
1.8 | ![]() | Решить относительно переменных х2, х4. | |
1.9 | ![]() | Решить относительно переменных х1, х2, х3. | |
1.10 | ![]() | Решить относительно переменных х2, х5. | |
1.11 | ![]() | Решить относительно переменных х1, х2, х4 | |
1.12 | ![]() | Решить относительно переменных х2, х4 | |
1.13 | ![]() | Решить относительно переменных х1, х2, х5 | |
1.14 | ![]() | Решить относительно переменных х3, х5 | |
1.15 | ![]() | Решить относительно переменных х1, х3, х4 | |
1.16 | ![]() | Решить относительно переменных х4, х5 | |
1.17 | ![]() | Решить относительно переменных х1, х2, х3 | |
1.18 | ![]() | Решить относительно переменных х2, х5 | |
1.19 | ![]() | Решить относительно переменных х1, х2, х3 | |
1.20 | ![]() | Решить относительно переменных х1, х2, х4 | |
1.21 | ![]() | Решить относительно переменных х1, х3 | |
1.22 | ![]() | Решить относительно переменных х1, х3, х4 | |
1.23 | ![]() | Решить относительно переменных х1, х5 | |
1.24 | ![]() | Решить относительно переменных х2, х3, х4 | |
1.25 | ![]() | Решить относительно перемененных х1, х2, х3 | |
1.26 | ![]() | Решить относительно переменных х1, х2, х3. | |
1.27 | ![]() | Решить относительно переменных х1, х4. | |
1.28 | ![]() | Решить относительно переменных х1, х3. | |
1.29 | ![]() | Решить относительно переменных х1, х2, х4. | |
1.30 | ![]() | Решить относительно переменных х1, х4. |
Индивидуальное задание №2. Решить систему линейных уравнений с помощью метода жордановых исключений и выполнить проверку:
2.1. | ![]() | 2.16. | ![]() |
2.2. | ![]() | 2.17. | ![]() |
2.3. | ![]() | 2.18. | ![]() |
2.4. | ![]() | 2.19. | ![]() |
2.5. | ![]() | 2.20. | ![]() |
2.6. | ![]() | 2.21. | ![]() |
2.7. | ![]() | 2.22. | ![]() |
2.8. | ![]() | 2.23. | ![]() |
2.9. | ![]() | 2.24. | ![]() |
2.10. | ![]() | 2.25. | ![]() |
2.11. | ![]() | 2.26. | ![]() |
2.12. | ![]() | 2.27. | ![]() |
2.13. | ![]() | 2.28. | ![]() |
2.14. | ![]() | 2.29. | ![]() |
2.15 | ![]() | 2.30 | ![]() |