Частоты встречаемости и частость из N опытов

Теоретический задел к лабораторной работе №1

Статистические методы контроля.

Основные понятия математической статистики

Испытание — понятие теории вероятностей, может иметь один (и только один) из п исходов. Каждый исход испытания рассмат­ривается как случайное событие, имеющее определенную вероят­ность. Например, испытанием будет контроль годности изделий проходными и непроходными калибрами, определение величины размера изделия, обработанного на станке. Явления, получающи­еся в результате испытания, называются событиями (например, появление бракованного изделия при контроле калибрами, полу­чение определенного размера изделия при его измерении). В тео­рии вероятностей обычно рассматриваются массовые испытания, т. е. испытания, происходящие при неизменных основных услови­ях неоднократно.

 

События можно подразделить следующим образом.

1. Событие называют достоверным, если в результате данного испытания оно обязательно произойдет (например, появление бра­кованного экземпляра в партии забракованных изделий будет до­стоверным событием).

2. Событие называют невозможным, если в результате данного испытания оно произойти не может (например, появление год­ного экземпляра в партии негодных изделий будет невозможным событием).

3. Событие называют случайным (или возможным), если в ре­зультате данного испытания оно может произойти, но может и не произойти (например, появление бракованного экземпляра в партии изготовленных изделий при неустановившемся или неизученном технологическом процессе является случайным (или возможным) событием).

4. Два события называют несовместными, если при испытании появление одного из них исключает возможность появления дру­гого (например, проходимость проходной и непроходной сторон калибра при контроле годной детали есть события несовместные).

5. Два события называют совместными, если при испытании появление одного из них не исключает возможность появления другого (например, проходимость проходной и непроходной сто­рон калибра при контроле бракованной детали есть события со­вместные).

6. События называют единственно возможными, когда при ис­пытании произойдет хотя бы одно из этих событий (например, при контроле изделий калибрами единственно возможным собы­тием будет появление или непоявление бракованного изделия; для годных изделий единственно возможными событиями являются
проходимость через проходной калибр и непроходимость через непроходной калибр).

7. Если при испытании могут появиться несколько возмож­ных событий, и при этом нет основания предполагать, что по­явление одних возможнее других, то такие события называют равновозможными. Например, партия изделий содержит 10 про­нумерованных бракованных изделий. При выборке из всей партии продукции 10 бракованных изделий нет основания предпола­гать, что появление того или другого номера бракованного из­делия возможнее другого. Появление бракованного изделия с тем или другим номером в данном случае — событие равновозможное.

Вероятностью события называется отношение числа случаев, благоприятствующих наступлению данного события, ко всему числу несовместных, единственно возможных и равновозможных событий:

где Р(А) — вероятность события А; т — число случаев, благопри­ятствующих наступлению события; N — число несовместных, един­ственно возможных и равновозможных событий.

 

Например, пусть задан допуск на диаметр (-0,1; +0,1). Изде­лия, выходящие за верхнюю и нижнюю границы допуска, счита­ются бракованными, а лежащие внутри поля допуска — годными. Положим, что партия, состоящая из N = 1000 изделий содержит т₁ = 15 изделий, выходящих за верхнюю границу допуска, и т₂ = - 18 изделий, выходящих за нижнюю границу допуска. В этом слу­чае вероятность появления в партии бракованного изделия при испытании будет равна:

Если т = N, то
— событие А достоверно.

Если т = 0, то Р(А) = 0 — событие невозможно.

Случайной величиной называют величину, которая в результате опыта может принимать различные значения. Например, извлече­ние из партии бракованного изделия есть случайная величина, ко­торая может принимать положительное значение («+») при появлении бракованного изделия и отрицательное значение («-») — при его отсутствии. Величина размера обработанного на станке год­ного изделия есть также случайная величина, которая может при­нимать любое значение в пределах заданного поля допуска. Случай­ные величины обычно обозначают прописными буквами, напри­мер X. Значения случайной величины, которые она принимает в результате опыта, обозначают строчными буквами x₁, х₂, …, x_n. При массовых испытаниях каждое из возможных значений случай­ной величины x₁, х₂, …, x_n может встретиться т₁, т₂,..., т_п раз. Эти числа называют частотами.

Если всего было проведено N испытаний, т.е. , то отношение называют частостью, или относительной частотой.

Совокупность, содержащая все исследуемые изделия, называ­ется генеральной совокупностью. Выбранные из генеральной сово­купности N изделий образуют выборку объема N.

Дискретными случайными величинами называют такие, кото­рые могут принимать лишь определенные значения, например 0,1; 0,2; 0,3 и т.д.

Непрерывными случайными величинами называют такие, кото­рые в некотором интервале могут принимать любые значения.

Число бракованных изделий в различных выборках из генераль­ной совокупности есть дискретная случайная величина, а размер этих изделий — непрерывная случайная величина.

Дискретная случайная величина задана, если имеется вероят­ность каждого ее значения (табл. 1).

Таблица 1

Таблица вероятности значения дискретной случайной величины

x	x1	x2	x3	…	x5
P(X = xi)	P(x1)	P(x2)	P(x3)	…	P(xn)

 

Всякую непрерывную случайную величину можно задать в виде дискретной, если все возможные ее значения разбить на интерва­лы и задать вероятности появления этих интервалов.

Определим понятия плотности и интегральной функции рас­пределения случайных величин.

Если X — случайная величина, а х — некоторое ее значение, то вероятность того, что X < х равна

F(x) = P(X < x),

где F(х) — некоторая функция, называемая интегральной функцией распределения (рис. 1).

На рис. 1 F (х) — ордината кривой в некоторой точке х при любом x₀ ≤ F(x) ≤ 1.

 

Рис. 1. Интегральная функция распределения

F(x) – ордината кривой; x – некоторое значение случайной величины; ∆x – приращение x

Плотность вероятности φ(x) есть предел отношения вероят­ности того, что случайная величина X примет значение, лежащее между х и х + ∆х, к величине интервала ∆х при ∆х > 0, т. е.

Функцию φ(x) называют также дифференциальным законом рас­пределения.

 

Функции ∆х и F(х) связаны соотношением:

Будем считать, что случайная величина задана теоретическим законом, если заданы ее интегральный закон или ее плотность вероятности.

Случайная величина задана эмпирическим законом распределе­ния, если для каждого значения случайной величины известна час­тота встречаемости или частость, полученная из N опытов (табл. 2).

Таблица 2

Частоты встречаемости и частость из N опытов

Значение случайной величины	Частота встречаемости	Частость
x1	m1
x2	m2
x3	m3
…	…	…
xn	mn

В пределе частости стремятся к вероятностям соответствующих значений случайной величины. Всякое теоретическое распределе­ние характеризуется величиной своих основных параметров: ма­тематическим ожиданием МХ (т.е. центром группирования) и дис­персией DX (величиной рассеяния). Для дискретной случайной ве­личины (см. табл. 1)

 

Рис. 2. Плотность вероятности φ(х) непрерывной случайной величины: МХ – математическое ожидание; а и b - наименьшее и наибольшее значения случайной величины x_i; ∆x_i – приращение x_i

 

Для непрерывной случайной величины, заданной своей плот­ностью вероятности φ(х) (рис. 2), математическое ожидание и дисперсию можно определить как:

 

Последние две формулы применяются для тех случаев, когда слу­чайная величина принимает значения от а до b; формулы (1.8), (1.9) — когда х изменяется от .

Величина называется средним квадратическим отклоне­нием.

 

Эмпирическое распределение характеризуется средним значе­нием , равным:

Среднее значение характеризует центр группирования значений случайной величины. При достаточно большом N (N выборочное значение стремится к величине математическому ожиданию, т.е. = МX.

 

Величина рассеяния выборочных значений вокруг их среднего значения характеризуется эмпирической дисперсией

Для N > 25 используют формулу

где .

 

При N .

 

Величина = DX называется эмпирическим квадратическим отклонением.

 

Кроме среднего значения и дисперсии кривые распределения характеризуются также асимметрией А и экцессом Е:

Если А = 0, то кривая симметрична.

Если А > 0, кривая имеет положительную асимметрию.

Если А < 0, кривая имеет отрицательную асимметрию (рис. 3).

Рис. 3.

Рис.4

 

Эксцесс характеризует крутизну кривой. В качестве кривой с нулевым эксцессом принята кривая нормального распределения, имеющая плотность вероятности:

где а = МХ – математическое ожидание; σ² – дисперсия.

 

Если Е > 0, то говорят, что имеется положительный эксцесс, т.е. вершина кривой находится выше кривой нормального распределения.

Если Е < 0, то говорят, что имеется отрицательный эксцесс, т.е. вершина кривой находится ниже кривой нормального распределения.

 

Во многих технических приложениях функции распределения характеризуются коэффициентом относительного рассеяния К, коэффициентом относительной асимметрии а и величиной практически предельного поля рассеяния.

 

Положим, что погрешности отклонений размеров изделий от их номинального значения заданы функцией плотности φ(x) и величинами параметров МХ, ∆ (рис. 5).

 

Положим, что погрешности отклонений размеров изделий от их номинального значения заданы функцией плотности φ(x) и величинами параметров МХ, ∆ (рис. 5). Примем номинальное их значение за начало координат.

 

Рис. 5. Определение коэффициента относительной асимметрии αδ:

φ(x)- плотность вероятности; МХ – математическое ожидание; t₁ и t₂ – наименьшее и наибольшее значение случайной величины x; δ – половина поля допуска; ∆ - координата середины поля допуска

 

 

Практически предельным полем рассеивания называется расстоя­ние между такими двумя значениями t₁ и t₂ случайной величины, при которых площадь, ограниченная кривой, осью абсцисс и от­резком [ t₁, t₂ ], равна 1 - 2β, где 2β — вероятность риска (брака). Обычно принимают 2β = 0,0027. По определению можно написать

На практике обычно t₁ и t₂ выбирают так, чтобы

 

Определенное таким образом практически предельное поле рассеяния принимают за поле допуска, т.е. 2δ_t = t₁ - t₂ половина поля допуска:

– половина поля допуска;

- координата середины поля допуска;

- коэффициент относительной асимметрии;

— коэффициент относительного рассеяния, где .

 

Индекс «т» при ∆, δ, α, К указывает на теоретическое значе­ние этих коэффициентов. Эти же коэффициенты, определяемые для эмпирических распределений, будут иметь индекс «э» и обо­значаться ∆_э, δ_э, α_э, К_э.

В тех случаях, когда целью эксперимента является лишь опре­деление или уточнение значений коэффициентов α и К относи­тельно заданного конструктором поля допуска, не подлежащего пересмотру, коэффициенты α_э и К_э определяются по формулам:

; .

 

При этом может оказаться, что заданное конструктором поле допуска не соответствует практически предельному полю рассея­ния, т.е. вероятность риска (брака) не равна 2β = 0,0027.

Практически предельное поле рассеяния оказывается не рав­ным полю допуска также в тех случаях, когда за величину поля допуска принимается вся зона рассеяния R (величина размаха), равная разности между максимальным и минимальным значени­ями случайной величины в выборке, т. е. R = x_мах - x_min.