Дифференциальные теоремы о среднем

Теорема Ферма

 

Теорема 9.1. Если функция определена в окрестности точки с, дифференцируема в этой точке и в пределах значение является наименьшим (наибольшим), то .

Доказательство. Ограничимся случаем наименьшего значения (для наибольшего значения рассуждения аналогичные). По определению наименьшего значения

.

Отсюда

, (9.1)

для всех , удовлетворяющих условию , и

, (9.2)

для всех , удовлетворяющих условию . В силу дифференцируемости функции в точке с существует предельное значение

. (9.3)

Если функция имеет производную в точке с, то в этой точке она имеет левую и правую производные, равные , т.е. существуют предельные значения

, .

 

Отсюда в силу (9.1) и (9.2) по свойству предела

 

, . (9.4)

 

Из (9.4) непосредственно следует, что .

 

 

Дифференциальные теоремы о среднем

 

Теорема Ролля. Если функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) на концах отрезка имеет равные значения ,

то на интервале найдется точка с такая, что .

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке , то по свойству непрерывных функций на отрезке эта функция достигает на отрезке своего наименьшего значения т и своего наибольшего значения М. Возможны два случая:

1) ;

2) .

В первом случае в силу неравенств для всех имеем . Отсюда производная равна нулю в любой точке отрезка . Во втором случае, поскольку можно утверждать, что хотя бы одно из двух значений т или М функция принимает в некоторой внутренней точке с отрезка . Так как функция дифференцируема в точке с и в окрестности этой точки достигает своего наименьшего или наибольшего значения, то по теореме Ферма . Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл. Если функция на отрезке удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля, то на графике этой функции найдется такая точка , в которой касательная параллельна оси ОХ (см. рис. 10.1). В самом деле, значение равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке .

 

 

 

Рис. 10.1

 

 

Теорема Коши. Если функции и :

1) непрерывны на отрезке ;

2) дифференцируемы на интервале ;

3) производная отлична от нуля всюду на интервале ,

то на интервале найдется точка с такая, что

. (10.1)

Доказательство. Прежде всего покажем, что . В противном случае функция на отрезке удовлетворяла бы всем трем условиям теоремы Ролля и по этой теореме на интервале нашлась бы точка такая, что . Последнее противоречит третьему условию доказываемой теоремы. Далее, рассмотрим следующую вспомогательную функцию

, (10.2)

где - некоторое число. Функция (10.2) непрерывна на отрезке как линейная комбинация непрерывных функций и дифференцируема на интервале как линейная комбинация дифференцируемых функций, причем

. (10.3)

Выберем число так, чтобы или в силу (10.2)

.

Так как , то такой выбор возможен, причем

 

. (10.4)

 

При указанном выборе функция будет удовлетворять всем трем условиям теоремы Ролля. По этой теореме на интервале найдется точка с такая, что или в силу (10.3) . Отсюда

 

. (10.5)

 

Из (10.4) и (10.5) следует утверждение теоремы (10.1).

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то на интервале найдется точка с такая, что

. (10.6)

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при . Действительно, функция непрерывна и дифференцируема на всей числовой оси, причем . По теореме Коши на интервале найдется точка с такая, что

 

.

 

Отсюда следует утверждение теоремы (10.6).

 

 

Рис. 10.2

 

Для выяснения геометрического смысла теоремы Лагранжа заметим, что величина есть угловой коэффициент секущей, проходящей через точки и графика функции , а есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке . Формула Лагранжа (10.6) означает, что на графике функции между точками А и В найдется точка С, касательная в которой параллельна секущей АВ (см. рис. 10.2).

Во многих случаях удобнее записывать формулу Лагранжа в виде, несколько отличном от (10.6). Положим

, (10.7)

где . Очевидно, . Из (10.7) выводим

. (10.8)

Используя (10.8), формулу Лагранжа можно переписать в идее

, (10.9)

где . Если переобозначить , , то формула Лагранжа (10.9) примет вид

. (10.10)

Формула Лагранжа в форме (10.10) дает точное выражение для приращения функции в точке х, соответствующего приращению аргумента. По этой причине формула Лагранжа называется еще формулой конечных приращений.

Рассмотрим два следствия из формулы Лагранжа.

Теорема 10.1. Если функция дифференцируема на интервале

и всюду на этом интервале , то функция постоянна на этом интервале.

Доказательство. Пусть - некоторая фиксированная точка на интервале , а х – любая точка на этом интервале. Отрезок целиком принадлежит интервалу . Поэтому функция дифференцируема на отрезке и, следовательно, непрерывна на этом отрезке. По теореме Лагранжа внутри отрезка найдется точка с такая, что

. (10.11)

Согласно условию производная функции всюду на интервале равна нулю. Отсюда и в силу (10.11) , для любого .

Теорема 10.2. (Достаточное условие монотонности функции на интервале). Если функция дифференцируема на интервале , причем всюду на этом интервале , то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Доказательство. Рассмотрим случай (для рассуждения аналогичные). Пусть , - любые две точки интервала , удовлетворяющие условию . Так как отрезок целиком принадлежит интервалу , то функция дифференцируема и, следовательно, непрерывна на этом отрезке. По теореме Лагранжа на интервале найдется точка с такая, что

. (10.12)

Но производная всюду положительна на интервале и, в частности, в точке с. Значит, в равенстве (10.12) , и кроме того, в силу выбора точек и . Следовательно, правая часть (10.12) положительна, отсюда или . Что и требовалось доказать.

Заметим, что положительность (отрицательность) производной на интервале не является необходимым условием возрастания (убывания) функции на этом интервале. Например, функция возрастает на всей числовой оси, но производная не всюду положительна, так как .

В теоремах Ролля, Коши и Лагранжа фигурирует некая «средняя» точка с, значение которой неизвестно. Однако, как будет видно далее, эти теоремы, носящие название дифференциальных теорем о среднем, лежат в основе многих формул и теорем математического анализа.