Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий кардиоинтервала по выборкам №1 и №2. (Критерий Стьюдента)

Карта № 1.11

Диагностическая процедура: физическая нагрузка

Выборка № 1 – выборка значений кардиоинтервала Т(с) до нагрузки

Выборка № 2 – выборка после нагрузки (15 приседаний)

Выборка №1

 

 

Средневыборочное значение:

 

T₁=∑T_1i/n₁=14,92/25=0,60 c

 

Дисперсия выборки:

 

Д₁=∑∆T₁²_i/n₁-1=0,1840/24=0,0077 c²

 

 

Среднеквадратичное отклонение в выборке:

 

ϭ₁=√Д₁=√0,0077=0,09 c

 

Средняя частота сердечных сокращений:

 

(ЧСС)₁=60с/мин/Ṫ₁=60/0,60=100 1/мин

Выборка №2

 

i	T2i	Упорядоченные T2i	Класс j	∆T2i=T2i-Ṫ2	∆T2i2
	0,545	0,460		-0,121	0,0147
	0,725	0,465		-0,116	0,0135
	0,550	0,495		-0,086	0,0075
	0,530	0,500		-0,081	0,0066
	0,535	0,515		-0,066	0,0044
	0,540	0,530		-0,051	0,0026
	0,535	0,535		-0,046	0,0022
	0,515	0,535		-0,046	0,0022
	0,550	0,540		-0,041	0,0017
	0,565	0,545		-0,036	0,0013
	0,500	0,545		-0,036	0,0013
	0,680	0,545		-0,036	0,0013
	0,585	0,550		-0,031	0,0010
	0,575	0,550		-0,031	0,0010
	0,580	0,555		-0,026	0,0007
	0,495	0,565		-0,016	0,0003
	0,850	0,575		-0,006	0,0000
	0,575	0,575		-0,006	0,0000
	0,460	0,580		-0,001	0,0000
	0,755	0,585		0,004	0,0000
	0,545	0,680		0,099	0,0097
	0,545	0,725		0,144	0,0206
	0,555	0,755		0,174	0,0301
	0,465	0,780		0,199	0,0394
	0,780	0,850		0,269	0,0721
∑	-	14,5	-	-	0,2345

Средневыборочное значение:

 

T₂=∑T_2i/n₂=14,535/25=0,58 c

 

Дисперсия выборки:

 

Д₂=∑∆T₂²_i/n₂-1=0,2345/24=0,0098 c²

Среднеквадратичное отклонение в выборке:

 

ϭ₂=√Д₂=√0,0098=0,10 c

 

Средняя частота сердечных сокращений:

 

(ЧСС)₂=60с/мин/Ṫ₂=58/0,60=103 1/мин

Характеристики выборок.

 

Состояние пациента	До физ.нагрузки	После физ.нагрузки
№ выборки
Средневыборочное значение кардиоинтервала	Т1=0,60 с	Т2=0,5814 с
Дисперсия выборки	Д1=0,0077 с2	Д2=0,0098 с2
Среднеквадратичное отклонение	ϭ1=0.09 с	ϭ2=0,10 с
Частота сердечных сокращений	(ЧСС)1=101 1/мин	(ЧСС)2=103 1/мин

 

 

Предварительные выводы по характеристикам выборок:

По результатам, представленным в таблице 3, можно сделать следующие выводы:

1. В ходе обследования среднее значение кардиоинтервала снизилось, но не значительно (T₂<Т₁), а ЧСС увеличилось. Средний кардиоинтервал уменьшился в Т₂/Т₁=0,5814/0,6=0,969 раз.

2. Средневыборочная дисперсия возросла в течение исследования (Д₂>Д₁) в Д₂/Д₁=0,0098/0,0077=1,27 раза. По-видимому, в состоянии 2 сердце пациента стало работать менее ритмично.

 

 

Таблица к построению диаграмм.

 

	Параметр	Выборка 1	Выборка 2
	Объем выборки	n1=25	n2=25
	Tmax	0,845c	0,850c
	Tmin	0,450c	0,460c
	Размах R=Tmax-Tmin	0,395	0,39
	Количество классовых интервалов k=log2n	k1=5	k2=5
	Ширина классового интервала h=R/k	h1=0,395/5=0,079c	h2=0,39/5=0,078
	Номер j класса	Граница классового интервала
		0,450-0,529 0,529-0,608 0,608-0,687 0,687-0,766 0,766-0,845	0,460-0,538 0,538-0,616 0,616-0,694 0,694-0,772 0,772-0,850
	Номер j класса	Частота nj попаданий в класс
	Проверка: (∑)=25	(∑)=25	(∑)=25
	Номер j класса	Относительная частота ѵj=nj/n
		0,12 0,52 0,28 0,08	0,32 0,48 0,04 0,08 0,08
	Проверка: (∑)=1	(∑)=1,00	(∑)=1,00
	Номер j класса	плотность вероятности ƒj=ѵj/h
		1,52 6,58 3,54 1,01	4,1 6,15 0,51 1,03 1,03
	Проверка: (∑)h=1	12,65*0,079=1	12,82*0,078=1

 

 

 

 

Вывод по гистограммам.

 

1. Центры гистограмм лишь слегка смещены по отношению друг к другу, следовательно в ходе процедуры значение кардиоинтервала Т изменялось не значительно, ЧСС соответственно так же почти не менялось.

2. Так как ширина гистограмм примерно одинакова, можно сделать вывод, что на протяжении всего исследования сердце пациента работало примерно в одном ритме (с малым разбросом значений кардиоинтервала).

3. Обе гистограммы довольно ассиметричны, следовательно можно предположить, что закон нормального распределения для них не выполняется.

 

Проверка гипотезы о нормально законе (критерий Пирсона)

Для выборки №1

К	∆T	αk	αk*∆T
	0,395	0,4450	0,1758
	0,305	0,3069	0,0936
	0,190	0,2543	0,0483
	0,140	0,2148	0,0301
	0,115	0,1822	0,0209
	0,100	0,1539	0,0154
	0,075	0,1283	0,0096
	0,065	0,1046	0,0068
	0,060	0,0823	0,0049
	0,040	0,0610	0,0024
	0,025	0,0403	0,0010
	0,005	0,0200	0,0001

 

b=∑_αk*∆T=0,4089

 

W_крит=0,918

 

W_контр=b²/(n-1)Д=0,1672/24*0,0077=0,9048

 

Вывод: Исходя из полученных результатов, W_контр<W_крит (0,9048<0,918), таким образом гипотеза о нормальном законе не выполняется. Так как гипотеза не выполняется, мы не можем использовать для дальнейших расчетов критерии Стьюдента и Фишера, вместо этого нам следует воспользоваться критерием Уилкоксона.

 

 

Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий кардиоинтервала по выборкам №1 и №2. (Критерий Стьюдента)

 

Исходные данные:

Ṫ₁=0,6; Д₁=0,0077;

Ṫ₂-0,58; Д₂=0,0098.

 

Т_контр=| Ṫ₁- Ṫ₂|/√Д₁+Д₂ *√n= | 0,6-0,58|/√0,0077+0,0098 *5=0,756

 

Т_крит=2,01

 

Вывод: Так как Т_контр<Т_крит гипотеза о равенстве истинных средних принимается, критерий Стьюдента выполняется. Доказано, что значение Ṫ₁=0,60с и Ṫ₂=0,58с отличаются незначительно, с доверительную вероятность р=95%.