Исследование робастности полученной ЗС методом В.Л.Харитонова

Задание 2 – Построение МТЧ ДОУ к вариации интервала дискретности

 

Дан интервал дискретности , метод перехода к дискретному векторно-матричному описанию ВСВ описанию объекта управления (ДОУ) – заменой производной отношением конечно малых.

 

 

Переход к дискретному описанию ОУ осуществляется по формулам:

 

откуда при имеем:

 

, , .

 

Построим модель траекторной чувствительности к вариации интервала дискретности:

 

где , ,

 

, .

 

Получим:

 

, .

Построим агрегированный ОУ:

 

где , , .

 

, , .

 

В результате была построена ФТЧ дискретного ОУ к вариации интервала дискретности.

 

Вывод к разделу 1:

Была построена модель траекторной чувствительности непрерывного объекта управления и проранжированы параметры. Было проведено построение модели траекторной чувствительности дискретного объекта управления к вариации интервала дискретности.

Задание 3 – Построение МТЧ спроектированной непрерывной замкнутой системы (ЗС)

 

Закон управления (ЗУ): должен доставлять системе

 

 

образованной объединением НОУ и ЗУ, с помощью:

- матрицы прямой связи по входу равенство входа и выхода в неподвижном состоянии при номинальных значениях параметров;

- матрицы обратной связи по состоянию при номинальных значениях параметров распределение мод Баттерворта с характеристической частотой .

Построить МТЧ спроектированной системы по каждому из параметров и для значения выделить доминирующие параметры по степени их влияния на величину перерегулирования и длительность переходного процесса.

Построить матрицу функций модальной чувствительности и выделить неблагоприятное сочетание вариаций параметров.

Имеем:

 

, , .

 

Из требований к проектируемой системе найдем матрицы :

, ,

, .

 

Учитывая, что , найдем :

 

,

 

,

откуда , .

 

Полином Баттерворта при заданной частоте:

отсюда:

 

Матрица H выбирается из условия полной наблюдаемости пары Г и Н:

 

Решим задачу медианного МУ с помощью уравнения Сильвестра:

МГ - АМ = - ВН

 

Посчитаем K:

 

Найдем :

 

,

 

,

 

.

 

.

 

.

 

Математическая версия закона управления:

 

,

 

 

Реализационная версия имеет вид:

 

.

 

Замечание 1.

Последняя версия будет реализуемой только в случае доступности измерению всех переменных состояния. В противном случае необходимо синтезировать наблюдатель с целью получения оценок переменных состояния. В этом случае закон управления примет вид:

 

,

 

где и - оценки переменных состояния и соответственно.

Найдем :

, ,

 

Замечание 2.

При полученном желаемом полиноме передаточная функция системы управления примет вид:

 

.

 

Переходная функция такой системы представлена на рисунке 3.1

 

t,c

 

Рисунок 3.1 – Переходная функция системы управления

 

Перерегулирование менее 5 %. Требование об обеспечении распределения мод Баттерворта выполнено.

Построение семейства моделей траекторной чувствительности:

 

 

где , ,

 

, .

 

и формирование семейства агрегированных систем:

 

где , , , .

 

Получим:

 

, , , .

, ,

 

,

 

, ,

 

, .

 

, ,

 

, .

 

, , , .

 

На рисунке 3.2 представлена структурная схема агрегированной системы: номинального объекта управления и модели траекторной чувствительности к вариации одного из параметров.

 

 

Рисунок 3.2 – Структурная схема агрегированной системы

 

Теперь представим графики переходных функций номинальной системы и параметрически возмущенной (только по одному параметру).

 

 

Рисунок 3.3 – Переходные функции системы при , и . Разница между и =75 %.

 

Рисунок 3.4 – Переходные функции системы при , и . Разница между и = 77,7%.

 

Рисунок 3.5 – Переходные функции системы при , и

Разница между и = 75%.

 

 

Рисунок 3.6 – Переходные функции системы при , и

Разница между и = 77,5%.

 

Анализируя представленные графики переходных функций, параметры по степени влияния на качество процессов следует проранжировать следующим образом: .

Следует указать, что вариация параметра оказывает наибольшее влияние, как на перерегулирование, так и на время переходного процесса (наибольшие значения среди рассмотренных возмущенных систем).

Задание 4 – Построение матрицы функций модальной чувствительности

 

Выделение доминирующих параметров:

 

, .

 

Из уравнения , где найдем матрицу вещественного вида:

 

, .

 

Вычислим функции модальной чувствительности () с помощью соотношений:

, ;

, ;

, ;

, .

 

Сконструируем матрицу функций модальной чувствительности в виде функций чувствительности вещественной и мнимой частей:

 

,

где

 

По нормам столбцов выделяем доминирующие параметры:

 

 

Для выделения неблагоприятного сочетания вариаций параметров воспользуемся сингулярным разложением матрицы модальной чувствительности:

. Используем функцию svd() пакета Matlab.

,

 

,

 

.

 

Зададимся сферой с тем, чтобы все вариации параметров ограничить числом 0,5 – пределы применимости теории чувствительности. Введем наиболее неблагоприятное сочетание вариаций параметров, задаваемое вектором:

,

а также наименее неблагоприятное сочетание вариаций параметров, задаваемое вектором:

Задание 5 – Построение закона управления для объекта, заданного интервальными элементами

 

Дано ВМО ВСВ НОУ с интервальными матричными компонентами в форме

получаемое с использованием интервальной арифметики на основе интервальной реализации параметров , записываемых в форме

при следующих граничных (угловых) значениях:

Закон управления (ЗУ): должен доставлять системе с интервальными матричными компонентами

образованной объединением НОУ и ЗУ, с помощью:

- матрицы прямой связи по входу равенство входа и выхода в неподвижном состоянии при медианных значениях параметров;

- матрицы обратной связи по состоянию при медианных значениях параметров распределение мод Баттерворта с характеристической частотой , которая гарантирует достижение оценки относительной интервальности матрицы состояния системы

 

 

не больше заданной .

Методом модального управления, базовый алгоритм которого, опирающийся на решение матричного уравнения Сильвестра и примененный к медианным составляющим интервальных матричных компонентов ВМО ВСВ НОУ, дополняется контролем нормы медианной составляющей интервальной матрицы спроектированной системы с последующим вычислением оценки , вычислить матрицы и .

Формирование ВМО ВСВ интервального ОУ:

 

, , .

 

Для упрощения задачи, добьемся того, чтобы интервальной была бы только матрица состояния. Сделаем сигнал управления третьей переменной состояния и введем новое входное воздействие .

 

`

 

Пусть управление имеет вид:

 

.

 

Новая модель ВСВ примет вид:

 

 

Итак, имеем новые матрицы описания объекта

 

 

Далее определим угловые значения матрицы

 

Легко видеть, что элементы матрицы примут максимальные значения при , , а минимальные, наоборот, при , . Остается лишь сравнить значения матрицы при , и , .

Итак,

при , .

при , .

 

Интервальные матрицы вычисляем по правилам интервальной арифметики:

 

Граничные значения матрицы получим, скомпоновав экстремальные значения каждой составляющей матрицы .

 

, .

 

Необходимо отметить, что полученные граничные значения интервальной матрицы физически не реализуемы, то есть элементы матрицы не могут принять одновременно указанные экстремальные значения. Другими словами, здесь неизбежно закладывается избыточность в задании матрицы. Это сделано формально с тем, чтобы все реализации матрицы ограничивались указанными значениями.

Медианное значение интервальной матрицы найдем как половину суммы угловых значений.

.

.

, .

Формирование ММ:

 

 

Матрица составляется, исходя из требуемого распределения мод

 

, ;

, .

.

Матрица выбирается из условия полной наблюдаемости пары и :

 

.

 

Решим задачу медианного МУ с помощью уравнения Сильвестра:

 

,

 

.

 

Формирование медианной составляющей интервальной матрицы :

 

, ,

 

Проверка выполнения условия :

.

 

Таким образом, на частоте среза достигается требуемая относительная интервальность матрицы состояния системы.

Формирование закона управления:

 

, .

, .

 

Закон управления имеет вид:

 

.

 

Переходя от виртуального управления к реальному , получим следующий математическую версию закона управления:

 

.

 

 

Реализационная версия этого закона имеет вид:

 

.

Замечание 4.

Последняя версия будет реализуемой только в случае доступности измерению всех переменных состояния. В противном случае необходимо выстраивать наблюдатель, с целью получения оценок переменных состояния. В этом случае закон управления примет вид:

 

,

где и - оценки переменных состояния и соответственно.

 

З амечание 5.

Схема моделирования полученной интервальной системы представлена на рисунке 5.1:

 

Рисунок 5.1 – Схема моделирования интервальной системы

 

Переходная функция интервальной системы представлена на рисунке 5.2

 

 

Рисунок 5.2 – Переходная функция интервальной системы

Вывод к разделу 2:

 

Была построена модель траекторной чувствительности спроектированной непрерывной замкнутой системы. Был синтезирован закон управления доставляющей системе желаемые динамические и точностные свойства. Были оценены наиболее и наименее благоприятные распределения параметров. Был синтезирован закон управления для объекта, заданного интервальными элементами.

 

Исследование робастности полученной ЗС методом В.Л.Харитонова

Интервальная матрица состояния спроектированной ЗС имеет вид:

 

Матрица [F] имеет интервальный характеристический полином (ИХП)

 

 

где

 

Полиномы В.Л.Харитонова в этом случае записываются в форме:

 

 

Нетрудно увидеть, что ИХП является гурвицевым. А это, по теореме В.Л.Харитонова, означает, что полученная в пункте 5 замкнутая система робастно устойчива.

Синтез параметрически инвариантной системы

Дано ВМО ВСВ НОУ с интервальными матричными компонентами в форме

 

,

 

получаемое с использованием интервальной арифметики на основе интервальной реализации параметров , записываемых в форме при следующих граничных (угловых) значениях: .

 

Формирование ВМО ВСВ интервального НОУ:

 

, , .

 

При условии , матрица состояния объекта принимает вид:

 

 

1. Назначим желаемую структуру собственных значений матрицы состояний F проектируемой системы в форме σ{F}={λ , λ =-2 } где λ =arg{(λ I-A)D ImB}

2. Формирование матриц описания объекта

 

; =>rank =1

3.Формирование матрицы D

Так как rank =1, то матрицу вариаций можно представить как произведения столбца на строку:

x(t)=

Определяем свободные параметры условия принадлежности:

Откуда следует, что .

 

Таким образом, спектр собственных чисел матрицы F примет вид:

 

σ{F}={λ =-1,9, λ =-2}

 

Проверка на принадлежность ядру матрицы:

Условие не выполняется, поэтому абсолютной параметрической инвариантности не достичь, и нужно ограничиться только некоторым значением ошибки по выходу в проектируемой системе.

 

4.Решение уравнений Сильвестра.

 

Представим это выражение в виде двух уравнений Сильвестра:

,

,

где

 

Найдем решение этих уравнений относительно матриц и соответственно:

Вычислим матрицу отрицательной обратной связи :

5.Формирование матрицы прямой связи по задающему воздействию.

Сконструируем матрицу прямой связи по внешнему задающему воздействию g(t):

361,34

Построим реализационную версию закона управления в виде

,

где

Проверим эффективность спроектированного неадаптивного закона управления на предмет удовлетворения техническим требованиям показателей качества по выходу и ошибке номинальной версии системы, а также наличие у системы параметрической инвариантности.

 

 

Рисунок 7.1. Схема моделирования спроектированной системы

 

 

Рисунок 7.2. Графики переходных процессов

Как видно из приведенных на рисунке 7.2 графиков, абсолютной параметрической инвариантности не достичь, и нужно ограничиться только некоторым значением ошибки по выходу в проектируемой системе.

 

Заключение

В ходе расчётной работы были построены модели траекторной чувствительности по всем варьируемым параметрам. Данные параметры были проранжированы по их потенциальной чувствительности. Была построена модель траекторной чувствительности дискретного объекта к вариации интервала дискретности. Был синтезирован закон управления доставляющей системе желаемые динамические и точностные свойства. Были оценены наиболее и наименее благоприятные распределения параметров. Был синтезирован закон управления для объекта, заданного интервальными элементами.

Также был синтезирован закон управления, обеспечивающий системе желаемых точностных и динамических показателей параметрическую инвариантность выходной переменной.

Список использованной литературы:

 

1 Никифоров В.О., Слита О.В., Ушаков А.В. Интеллектуальное управления в условиях неопределенности: учебное пособие. – СПб: СПбГУ ИТМО,2011. – 231 с.

2 Мирошник И.В. Теория автоматического управления: Линейные системы: Учебное пособие. – СПб: 2005. – 337 с.

3 Дударенко Н.А., Слита О.В, Ушаков А.В. Теоретические основы современной теории управления: аппарат метода пространства состояний: Учебное пособие/ Под ред. А.В. Ушакова – СПб: СПбГИТМО, 2009. – 342с.

4 Никифоров В.О., Ушаков А.В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация и робастность. СПб: СПбГИТМО(ТУ), 2002. – 256с.

5 Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управления сложными динамическими системами. – СПб: Наука, 2000. – 214с.

6 Розенвассер Е.Н., Юсупов Р.М. Чувствительность систем управления. – Москва: Наука, 1981.

7 Ушаков А.В.Условия нулевой параметрической чувствительности и задаче слижения. Автоматика и телемеханика. – СПб, 1981.

8 Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1973.

9 Григорьев В.В., Дроздов В.Н., Лаврентьев В.В., Ушаков А.В. Синтез регуляторов при помощи ЭВМ. – Л.: Машиностроение, Лениенгр.отд-ние, 1983.

10 ХаритоновВ.Л. Об асимптотической устойчивости семейства систем линейных дифференциальных уравнений// Диф.уравн. 1978. Т.14. №11. С. 2099