В основе метода максимального правдоподобия лежит исходное предположение о том, что “лучшим” оценкам a 0*, a 1*,..., an * “истинных” значений параметров эконометрической модели a 0, a 1,..., an должен соответствовать наиболее вероятный набор “фактических” значений ошибки е 1*, е 2*,..., еT *, рассматриваемых как “своего рода оценки” ее истинных значений e 1, e 2,..., eT и поэтому удовлетворяющих предположениям об iid -свойствах.
Таким образом, максимум произведения р (е 1)× р (е 2)×...× р (еТ) соответствует наиболее вероятному сочетанию значений et, t =1, 2,..., T, обеспечиваемому “наилучшими” оценками параметров модели. При этом имеется в виду, что для произвольного набора значений фактической ошибки е 1, е 2,..., еT произведение вероятностей р (е 1)× р (е 2)×...× р (еТ ) в данном случае выражает вероятность совместного распределения их значений, соответствующих определенному набору оценок параметров a 0, a 1,..., an.
С учетом этого, оценки параметров эконометрической модели могут быть получены в результате максимизации целевой функции следующего вида:
по известным значениям зависимой переменной уt и матрице значений независимых факторов Х размера Т ´(п +1).
 |
y = 
Х = 
, (2.110)
Оптимальные значения оценок параметров a 0*, a 1*,..., an * и дисперсии фактической ошибки s e 2, соответствующие ее максимуму, должны обеспечивать и максимум ее логарифма. Иными словами, при определении значений этих оценок можно решать задачу максимизации
В условиях независимости разновременных ошибок et и et–i
Оптимальные значения a 0*, a 1*,..., an * и s e 2 в этом случае могут быть найдены путем решения системы из п +2 дифференциальных уравнений в частных производных по этим параметрам:
В векторно-матричной форме:
у = Х × a + e, (2.113)
вектор ошибки можно представить в виде:
e = у – Х × a, (2.114)
а последнее слагаемое в выражении (2.111) записать как скалярное произведение вектора ошибки строки на ее столбец. С учетом этого
(у – Х × a)¢×(у – Х × a). (2.115)
Дифференцируя выражение (2.115) по неизвестному вектору параметров a и по неизвестной дисперсии ошибки se 2, получим следующую векторно-матричную форму записи системы (2.112):
¶ l /¶ a = 
(– Х ¢ × у + Х ¢ × Х × a)=0;
¶ l /¶ se 2= 
(у – Х × a)¢×(у – Х × a)=0. (2.116)
Поскольку se 2¹0, из первого уравнения системы (2.116) непосредственно получаем вектор оценок ММП коэффициентов линейной эконометрической модели в следующем виде:
a *= a =(Х ¢ Х)–1× Х ¢× у, (2.117)
а из второго – оценку ММП дисперсии ошибки эконометрической модели:
s е 2 = 
(у – Х × a)¢×(у – Х × a)= 
