Процедура получения оценок максимального правдоподобия

В основе метода максимального правдоподобия лежит исходное предположение о том, что “лучшим” оценкам a ₀^*, a ₁^*,..., a_n ^* “истинных” значений параметров эконометрической модели a ₀, a ₁,..., a_n должен соответствовать наиболее вероятный набор “фактических” значений ошибки е ₁^*, е ₂^*,..., е_T ^*, рассматриваемых как “своего рода оценки” ее истинных значений e ₁, e ₂,..., e_T и поэтому удовлетворяющих предположениям об iid -свойствах.

Таким образом, максимум произведения р (е ₁)× р (е ₂)×...× р (е_Т) соответствует наиболее вероятному сочетанию значений e_t, t =1, 2,..., T, обеспечиваемому “наилучшими” оценками параметров модели. При этом имеется в виду, что для произвольного набора значений фактической ошибки е ₁, е ₂,..., е_T произведение вероятностей р (е ₁)× р (е ₂)×...× р (е_Т) в данном случае выражает вероятность совместного распределения их значений, соответствующих определенному набору оценок параметров a ₀, a ₁,..., a_n.

С учетом этого, оценки параметров эконометрической модели могут быть получены в результате максимизации целевой функции следующего вида:

по известным значениям зависимой переменной у_t и матрице значений независимых факторов Х размера Т ´(п +1).

y = Х = , (2.110)

Оптимальные значения оценок параметров a ₀^*, a ₁^*,..., a_n ^* и дисперсии фактической ошибки s _e ², соответствующие ее максимуму, должны обеспечивать и максимум ее логарифма. Иными словами, при определении значений этих оценок можно решать задачу максимизации

В условиях независимости разновременных ошибок e_t и e_t–i

Оптимальные значения a ₀^*, a ₁^*,..., a_n ^* и s _e ²в этом случае могут быть найдены путем решения системы из п +2 дифференциальных уравнений в частных производных по этим параметрам:



В векторно-матричной форме:

у = Х × a + e, (2.113)

вектор ошибки можно представить в виде:

e = у – Х × a, (2.114)

а последнее слагаемое в выражении (2.111) записать как скалярное произведение вектора ошибки строки на ее столбец. С учетом этого

(у – Х × a)¢×(у – Х × a). (2.115)

Дифференцируя выражение (2.115) по неизвестному вектору параметров a и по неизвестной дисперсии ошибки s_e ², получим следующую векторно-матричную форму записи системы (2.112):

¶ l /¶ a = (– Х ¢ × у + Х ¢ × Х × a)=0;

¶ l /¶ s_e ²= (у – Х × a)¢×(у – Х × a)=0. (2.116)

Поскольку s_e ²¹0, из первого уравнения системы (2.116) непосредственно получаем вектор оценок ММП коэффициентов линейной эконометрической модели в следующем виде:

a ^*= a =(Х ¢ Х)^–1× Х ¢× у, (2.117)

а из второго – оценку ММП дисперсии ошибки эконометрической модели:

s _е ²= (у – Х × a)¢×(у – Х × a)=