Распределение интенсивности в дифракционной картине от одной щели. Метод диаграмм.

Мы определили условия образования минимумов и максимумов в дифракционной картине, возникающей при прохождении света через узкую прямоугольную щель (9.4 и 9.5).Рассмотрим распределение интенсивности в дифракционной картине с помощью метода фазовых диаграмм. Разделим узкую щель шириной a на N очень узких полосок шириной Dy (рис.9.3). Пусть ширина Dy гораздо меньше длины волны l монохроматического света, падающего на щель, так, что лучи, исходящие из одной полоски, имеют одну и ту же фазу.

Рис.9.3

Все полоски имеют одну и ту же ширину, и если щель освещена равномерно, то амплитуды светового вектора волн DЕ₀, испускаемых узкими полосками можно считать одинаковыми (если Ðq- мал) (см уравнение плоских волн).

Разность фаз, отвечающую соседним полоскам, обозначим Db:

(9. 6)

Полная амплитуда светового вектора на экране равна сумме амплитуд световых волн, пришедших от всех полосок. Чтобы получить полную амплитуду нужно воспользоваться векторной диаграммой.

Построим векторные диаграммы для различных углов дифракции:

1) угол дифракции q=0, в этом случае все векторы DЕ₀ лежат на одной прямой, так как разность фаз в этом случае равна нулю

Рис.9.4

Суммарный световой вектор в центре экрана (9.7)

При данном угле дифракции формируется центральный максимум (см. рис.9.2б)

2) Если мы найдем результирующую амплитуду на экране, в любой его точке, то можно найти распределение интенсивности. Световые волны, идущие от различных участков щели под одним углом дифракции, формируют на экране максимум или минимум. Найдем полную амплитуда светового вектора на экране, соответствующую произвольному углу дифракции q, которая равна

рис.9.5

равна сумме световых векторов от всех полосок Dy, все элементарные волны имеют одинаковую амплитуду DЕ₀, но различаются по фазе (9.6), поэтому каждый последующий вектор DЕ₀ будет повернут на угол, соответствующей разности фаз Db между двумя ближайшими полосками. Построим векторную диаграмму, отвечающую произвольному углу дифракции (см. лекцию 8, метод векторных диаграмм). E_q- результирующий световой вектор (см. рис. 9.5) для данного угла дифракции. Пусть число полосок N стремиться к бесконечности, в этом случае ширина полоски становиться бесконечно малой величиной, а ломаную линию можно заменить частью окружности радиуса r. Сравним значения амплитуд светового вектора со световым вектором в центре дифракционной картины. При любом угле дифракции q полная амплитуда светового вектора в точке наблюдения равна длине хорды , а длина дуги равна длине светового вектора . Если радиус кривизны дуги r, то длина хорды, на которую опирается центральный угол b находится следующим образом

(9.8)

Длина дуги в этом случае определяется

(9.9)

разность фаз b колебаний, идущих от нижнего и верхнего краев щели световых векторов в этом случае должна быть выражена в радианах. Выразим радиус r из условия (9.9) и подставим его в выражение (9.8), получаем связь вектора напряженности, возбужденного волнами, идущими под углом дифракции , со световым вектором в центре дифракционной картины

(9.10)

Разность хода между крайними лучами щели , так как разность фаз и разность хода связаны соотношением , то получим

(9.11)

Формулу (9.11) подставим в (9.10) и получим

(9.12)

Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды волны, поэтому интенсивность минимума или максимума, сформированного волнами, идущими от всех полосок, на которые мы разделили щель, под углом дифракции q будет определяться следующим образом:

(9.13)

При всех значениях угла дифракции q, удовлетворяющих условию

 

(9.14)

амплитуда превращается в нуль(рис.9.6), таким образом

(m=1,2) (9.15)

является условием минимумов для дифракции на плоскопараллельной щели, m не может принимать значение равное нулю, так как при m=0 наблюдается центральный максимум. asinq представляет собой разность хода лучей, идущих в точку наблюдения от краев щели. Векторная диаграмма для данного угла дифракции может быть представлена следующим образом:

рис9.6

Из формулы (9.13) следует, что дифракционный спектр в этом случае является симметричным относительно центра линзы . Центральный максимум всегда наблюдается в главном фокусе линзы (см рис.9.2), а экран, на котором наблюдается дифракционная картина всегда находится в фокальной плоскости линзы.

Количество минимумов интенсивности, наблюдаемых в данной дифракционной картине, определяется из соотношения (9.15)

, но модуль sinq не может превысить единицу, поэтому ,

отсюда

(9.16)

Как следует из формулы (9.16) при ширине щели, меньшей длины волны световой волны, которая дифрагирует на этой щели, минимумы вообще не возникают. В этом случае интенсивность света монотонно убывает от середины картины к ее краям.

Краям центрального максимума соответствует значение угла q, получающегося из условия . Эти значения равны . Следовательно, угловая ширина центрального максимума равна

(если значение синуса заменить значением тангенса tgq»sinq), если a>>l, то , то ширина центрального дифракционного максимума равна

(9.!7)

максимума.(см рис 9.2).На рис.9.2 углу j соответствует угол q.

Если же ширина щели a< <l, то и угловая и линейная ширина центрального максимума стремиться к бесконечности, т.е. максимум размывается по всему экрану, дифракционная картина не наблюдается.

Первый максимум получается при условии .

рис.9.7

В этом случае колебания от краев щели отличаются по фазе на 3p. Строя последовательно векторы DЕ₀, мы обойдем полтора раза окружность диаметра Е₁=(2/3p). Диаметр этой окружности и есть амплитуда первого максимума (рис.9.7) Таким образом, интенсивность первого максимума равна

Аналогично можно найти и относительную интенсивность остальных максимумов. Расчеты показывают, что интенсивности центрального и последующих максимумов относят как 1:0,045:0,017:0,0083:..., т. е. основная часть световой энергии сосредоточена центральном максимуме.

Заключение

Распределение интенсивности при дифракции на круглом отверстии зависит от того четное или нечетное число зон Френеля укладывается в это отверстие. При нечетном числе зон Френеля в центре дифракционной картины всегда наблюдается максимум, а при четном – минимум.

В дифракции Френеля на диске в центре дифракционной картины всегда наблюдается максимум интенсивности. Значение интенсивности в этом максимуме зависит от размеров диска, чем диск больше, тем большее число зон Френеля перекрывается, а интенсивность максимума уменьшается.

В дифракции Фраунгофера используются плоские волны, следовательно, амплитуда не зависит от расстояния, пройденного волной. Поэтому распределение интенсивности отличается от распределения в дифракции Френеля.