Лекция №8
Универсальные алгебры с двумя бинарными операциями
План
1. Определение кольца, тела и поля. Определение числового поля Галуа.
2. Алгебра полиномов над полем Галуа. Изоморфизм алгебры полиномов и множества кодов с поразрядным сложением.
Определение кольца, тела и поля. Определение числового поля Галуа.
Кольцом называется алгебра
á М; +, × ñ,
в которой для сложения действительны все аксиомы абелевой группы, для умножения достаточно только аксиомы ассоциативности А 1 и установлена специальная аксиома дистрибутивности умножения относительно сложения:
А 5: a ×(b + c) = a×b + a×c.
Можно сказать, что кольцо представляет соединение абелевой группы по сложению (так называемой аддитивной группы кольца) с мультипликативной полугруппой общего вида. Задавая дополнительно аксиомы о свойствах умножения, можно получить коммутативное кольцо, кольцо с единицей и т.п.
Телом называется кольцо, у которого все отличные от нуля элементы образуют группу общего вида (не обязательно коммутативную). Особое положение нуля в этом определении объясняется тем, что не может быть одного и того же нейтрального элемента для двух операций кольца.
Поэтому присутствие нуля в мультипликативной группе неизбежно приводит к противоречию: здесь он не может быть нейтральным элементом, а использование его в качестве одного из обычных элементов противоречит его роли в сложении. В итоге нуль получает уникальные свойства: умножать на него можно, но делить уже нельзя, так как нуль не имеет обратного элемента.
Полем называется тело с коммутативным умножением. Поле представляет соединение двух абелевых групп: аддитивной и мультипликативной, причем нуль имеет те же уникальные свойства, что в кольце или теле.
Перейдем к описанию примеров конечных колец и полей, постепенно усложняя аксиоматику умножения. Для сложения, как уже было установлено, необходимы все четыре аксиомы аддитивной абелевой группы: А 1 (ассоциативность), А 2 (коммутативность), А 3 (наличие нуля) и А 4 (наличие противоположного элемента).
Пример 1. Рассмотрим алгебру á М; +, ×ñ, где носитель образован из квадратных матриц размера 2´2, элементами которых являются положительные и отрицательные чётные числа. Сложение матриц ассоциативно и коммутативно. Существует нейтральный для сложения элемент (нулевая матрица). Для каждой из матриц можно подобрать противоположную, например
Следовательно, аддитивная группа имеется. Нейтральный элемент для умножения отсутствует, так как для построения единичной матрицы
,
требуется нечетное число 1, отсутствующее по определению данной алгебры. Если нет нейтрального элемента, не может быть и обратного. Кроме того, умножение матриц, вообще говоря, не коммутативно:
, но 
.
Следовательно, в данном примере мы получили кольцо общего вида.
Пример 2. Берем такое же множество матриц, но теперь элементами матриц будут целые числа, положительные и отрицательные. Теперь для умножения будет иметься нейтральный элемент: единичная матрица, которая является и левой и правой единицей мультипликативной полугруппы кольца. Обратные элементы могут иногда найтись, например:
,
но в общем случае их существование не гарантировано. Это можно доказать так. Возьмем равенство
,
в котором первый сомножитель выбран произвольно, а во втором элементы имеют буквенные обозначения. Чтобы узнать, существует ли такое равенство при целых значениях всех чисел, составим и решим систему уравнений, вытекающую из данного равенства.
Равенство удовлетворяется только при дробном значении с. Следовательно, аксиома о существовании обратного элемента здесь не имеет места. Кроме того, умножение остается некоммутативным, вследствие чего в этом примере получается тело.
Пример 3. Возьмем множество чисел М = {0, 1, 2, 3} и определим на нем операции Å4 и Ä4, т.е. сложение и умножение по модулю 4. Составим таблицы Кэли для обеих операций (таблицы 8.1 и8.2).
Таблица 8.1 Таблица 8.2
| Å | Ä | |||||||||
Таблица 8.1 показывает все необходимые для аддитивной группы свойства: ассоциативность и коммутативность операции, наличие нуля и противоположного элемента. Последнее видно из наличия нуля в каждой строке.
Таблица 8.2 показывает все свойства умножения, кроме наличия обратного элемента. Таким образом, в этом примере получилось коммутативное кольцо с единицей.
Пример 4. Построим алгебру, аналогичную предыдущей, но сложение и умножение теперь будем выполнять по модулю 5. Построим таблицы Кэли (табл. 8.3 и 8.4).
Таблица 8.3 Таблица 8.4
| Å | Ä | |||||||||||
Таблица сложения показывает наличие аддитивной коммутативной группы. Таблица умножения показывает ассоциативность и коммутативность операции. Кроме того, в каждой строке или столбце содержится единица, что указывает на аксиомы о существовании единицы и обратного элемента. В данном примере мы получили поле.
Конечные числовые поля вроде полученного в примере 4 называются полями Галуа по имени Эвариста Галуа, который их впервые описал, и который ввёл термины "группа", "поле" и т.п.
Интересна биография Э.Галуа. Обычно знаменитый ученый, оставляющий глубокий след в истории науки, достигает этого в итоге большого трудового жизненного пути.
Наследие такого ученого бывает великим не только по своему значению, но и просто по объему материала. И. Ньютон прожил 85 лет, А.Н. Крылов - 82, Леонард Эйлер -76 (да еще имел 13 детей от двух жен!), Галилео Галилей - 78, Н.Е. Жуковский -74. Бывают и короткие биографии, но насыщенные плодотворным трудом, как у Блеза Паскаля, который прожил всего 39 лет и из них последние девять - в монастыре, в болезненном состоянии, когда он уже не работал. Но за предшествующие одиннадцать лет он создал гидростатику, заложил основы комбинаторного анализа, построил первые вычислительные машины и другие замечательные механизмы.
Иначе сложилась судьба Галуа. Вся его теоретическая работа уместилась на нескольких страницах письма, написанного им в ночь перед дуэлью, на которой он был убит в возрасте 21 года (в 1832 г). Ранее он дважды подавал свои записки во французскую Академию, но оба раза маститые академики Коши и Фурье теряли рукопись, не поняв её значения.
Для обозначения в общем виде числовых полей Галуа принята запись
GF(p),
где р - простое число, являющееся модулем пересчета при сложении и умножении.
При составном р получается не поле, а кольцо G(p), как в нашем третьем примере. Поля и кольца Галуа иначе называются просто полями или кольцами вычетов по модулю р.
Самым простым из таких полей является GF(2), описываемое таблицами 8.5 и 8.6. Оно играет важную роль в кодирования цифровой информации, с его помощью образуются более сложные алгебраические системы.
Таблица 8.5 Таблица 8.6
| Å | Ä | |||||
