Идея метода
Суть метода следует из его названия. Область, в которой ищется решение дифференциальных уравнений, разбивается на конечное количество подобластей (элементов). В каждом из элементов произвольно выбирается вид аппроксимирующей функции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Значения функций на границах элементов (узлах) является решением задачи и заранее неизвестны. Коэффициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов.
Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется решение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, система линейных алгебраических уравнений имеет разрежённый вид, что существенно упрощает её решение.
С точки зрения вычислительной математики, идея метода конечных элементов заключается в том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобласти, для численного анализа системы позволяет рассматривать его как одну из конкретных ветвей диакоптики — общего метода исследования систем путём их расчленения.
История развития метода
Возникновение метода конечных элементов связано с решением задач космических исследований в 1950-х годах. Идея МКЭ была разработана в СССР ещё в 1936 году, но из-за неразвитости вычислительной техники метод не получил развития, поэтому впервые был применён на ЭВМ лишь в 1944 году Аргирисом. Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже затем было получено его математическое обоснование. Существенный толчок в своём развитии МКЭ получил в 1963 году после того, как было доказано то, что его можно рассматривать как один из вариантов распространённого в строительной механике метода Рэлея — Ритца, который путём минимизации потенциальной энергии сводит задачу к системе линейных уравнений равновесия.
После того, как была установлена связь МКЭ с процедурой минимизации, он стал применяться к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона. Область применения МКЭ значительно расширилась, когда было установлено (в 1968 году), что уравнения, определяющие элементы в задачах, могут быть легко получены с помощью вариантов метода взвешенных невязок, таких как метод Галёркина или метод наименьших квадратов. Это сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, так как позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, метод конечных элементов превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений.
В общем случае МКЭ состоит из 4 этапов:
1) Выделение конечных элементов.
Это один из наиболее важных этапов МКЭ, т.к. от качества разбиения во многом зависит точность полученных результатов.
Например, разбиение на двумерные элементы, близкие по форме к равносторонним треугольникам, обеспечивает лучшие результаты по сравнению с разбиением на вытянутые треугольники.
Возможность легко изменять размеры элементов позволяет без труда учитывать концентрацию напряжения, температурные градиенты, свойства материалов и т.д.
Разбиение области на элементы обычно начинают от ее границы с целью наиболее точной аппроксимации формы границы, затем выполняют разбиение внутренних областей. Часто разбиение области на элементы выполняют в несколько этапов. Сначала область делится на достаточно большие подобласти, границы между которыми проходят там, где изменяются свойства материалов, геометрия, приложенная нагрузка и др.
Затем каждая подобласть делится на элементы, причем резкого изменения размеров конечных элементов на границах подобластей стараются избегать.
Разбиение на конечные элементы. Размер элементов можно менять, уменьшая его вблизи интересующей области, и увеличивая — для снижения затрат процессорного времени
§ 2) Нумерация узлов элементов.
Порядок нумерации имеет в данном случае существенное значение, так как влияет на эффективность последовательных вычислений. Дело в том, что матрица коэффициентов системы множества алгебраических уравнений, к которым приводит МКЭ – сильно разряженная матрица ленточной структуры. Ненулевые элементы матрицы располагаются параллельно главной диагонали. Целое число, являющееся максимальной разностью между номерами ненулевых элементов в строке, называется шириной полосы.
Чем меньше ширина полосы, тем меньший объем памяти требуется для хранения матрицы при реализации МКЭ и тем меньше затраты машинного времени на решение результирующей системы уравнений. Ширина полосы зависит от количества степеней свободы узлов и способа нумерации последних. При нумерации узлов предпочтителен способ, обеспечивающий минимальную разницу между номерами узлов в каждом отдельном элементе.
Если максимальная разность между номерами узлов для отдельного элемента обозначить через Н, а количество степеней свободы через М, то L=(Н+1)*М.
В некоторых случаях уменьшение числа Н может быть достигнуто последовательной нумерацией узлов при движении в направлении минимального размера рассматриваемой области.
Рациональная нумерация уменьшает необходимый объем памяти почти в 3 раза.
Информация о способе разбиения области на конечные элементы и нумерация узлов является исходной для всех следующих этапов алгоритмов МКЭ при реализации методов САПР. При этом требуется указывать не только номер, но и координаты каждого узла и принадлежность его к определенным конечным элементам. Такого рода информация называется топологической и содержит примерно в 6 раз больше цифр, чем количество узлов системы. При описании области, разбитой на конечные элементы, необходимо задавать тип конечного элемента, его порядковый номер, номера узлов элемента, координаты узлов, информацию о соединении элементов, значении физических параметров объекта в пределах конечного элемента.
3) Определение аппроксимирующей функции для каждого элемента (определение функции элемента).
На этом этапе искомая непрерывная аппроксимирующая кусочно-непрерывных, определенной на множестве конечных элементов. Эту процедуру нужно выполнить один раз для типичного элемента области безотносительно к его топологическому положению в ней. Полученная функция используется для всех остальных элементов области того же вида. Эта особенность является важным аспектом МКЭ.
Благодаря ей элементы с однажды определенными функциями легко включаются в библиотеку элементов соответствующего программного комплекса и далее используется для решения разнообразных краевых задач. В качестве аппроксимирующей функции элементов чаще всего используются полиномы, которые разбираются так, чтобы обеспечить непрерывность искомой функции в узлах и на границах элементов.
4) Объединение конечных элементов в ансамбль.
На этом этапе уравнения, относящиеся к отдельным элементам, объединяются в ансамбль, т.е. в систему алгебраических уравнений. При этом выполняется перенумерация узлов.
5) Решение полученной системы алгебраических уравнений.
Реальная конструкция апроксимируется сотнями конечных элементов, и следовательно появляются системы уравнений с сотнями и тысячами неизвестных, которые нужно решить. Решение таких систем - главная проблема реализации МКЭ. Методы решений зависят от размеров разрешающей системы уравнений. В связи с большой размерностью и сильной разряженностью матрицы коэффициентов для реализации МКЭ САПР разработаны специальные способы хранения матрицы жесткости, позволяющей уменьшить необходимый для этого объем памяти. Матрицы жесткости используются в каждом методе прочностного расчета, используя конечную элементную сетку. Название матрицы жесткости пришло из строительной механики, где МКЭ начал использоваться раньше, чем в других областях техники.
Преимущества и недостатки
Метод конечных элементов сложнее в реализации метода конечных разностей. У МКЭ, однако, есть ряд преимуществ, проявляющихся на реальных задачах: произвольная форма обрабатываемой области; сетку можно сделать более редкой в тех местах, где особая точность не нужна.
Долгое время широкому распространению МКЭ мешало отсутствие алгоритмов автоматического разбиения области на «почти равносторонние» треугольники (погрешность, в зависимости от вариации метода, обратно пропорциональна синусу или самого острого, или самого тупого угла в разбиении). Впрочем, эту задачу удалось успешно решить (алгоритмы основаны на триангуляции Делоне), что дало возможность создавать полностью автоматические конечноэлементные САПР.
Наиболее распространённые CAE-системы
§ T-FLEX Анализ — универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;
§ APM WinMachine 2010 — отечественная универсальная система для проектирования и расчета в области машиностроения, включающая КЭ анализ с встроенным пре-/постпроцессором;
§ APM Civil Engineering 2010 — отечественная универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором для проектирования и расчета металлических, железобетонных, армокаменных и деревянных конструкций;
§ ANSYS — универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;
§ MSC.Nastran — универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором MSC.Patran;
§ ABAQUS — универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;
§ FIDESYS — универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором, предназначенная для решения статических и динамических задач прочности при конечных деформациях с использованием метода конечных элементов (МКЭ), метода спектральных элементов (МСЭ), разрывного метода Галеркина (DG);
§ NEiNastran — универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором;
§ NX Nastran — универсальная система МКЭ анализа;
§ SAMCEF — универсальная система КЭ анализа с пре-постпроцессором SAMCEF Field.
§ OpenFOAM — свободно-распространяемая универсальная система КО пространственного моделирования механики сплошных сред;
§ SALOME — платформа для проведения расчётов МСС (подготовка данных — мониторинг расчёта — визуализация и анализ результатов);
§ CAElinux — дистрибутив операционной системы Линукс, включающий в себя ряд свободных САЕ-программ, в том числе OpenFOAM и SALOME.
§ STAR-CD — универсальная система МКО анализа с пре-/постпроцессором;
§ STAR-CCM + — универсальная система МКО анализа с пре-/постпроцессором;
§ ADAMS — система моделирования и расчёта многотельной динамики;
§ Универсальный механизм (UM) — программный комплекс предназначен для моделирования динамики и кинематики плоских и пространственных механических систем;
§ EULER (Эйлер) — программный комплекс автоматизированного динамического анализа многокомпонентных механических систем;
§ ФРУНД — комплекс моделирования динамики систем твёрдых и упругих тел;
§ Femap — независимый от САПР пре- и постпроцессор для проведения инженерного анализа методом конечных элементов;
§ QForm 2D/3D — специализированный программный комплекс для моделирования и оптимизации технологических процессов объёмной штамповки;
§ MBDyn — система комплексного анализа и расчётов нелинейной динамики твёрдых и упругих тел, физических систем, «умных» материалов, электрических сетей, активного управления, гидравлических сетей, аэродинамики самолётов и вертолётов. Распространяется на условиях лицензии GNU GPL 2.1.;
§ SimulationX — программный комплекс для моделирования и анализа динамики и кинематики автомобилей, индустриального оборудования, электро-, пневмо- и гидроприводов, ДВС, гибридных двигателей и т. д.
§ FEM-models — программный комплекс для моделирования и анализа методом конечных элементов. Специализация программы — геотехнические расчеты, совместные расчеты систем здание-основание.
