Способы определения радиуса сходимости степенного ряда

Функциональные ряды

Пусть – последовательность функций, заданных на одном и том же множестве, причем при каждом значении числовой ряд сходится. Тогда мы можем рассматривать функциональный ряд на множестве и исследовать свойства функции – суммы ряда – на том же множестве .

 

В связи с вопросами сходимости функциональных рядов отметим

 

следующий из теоремы сравнения мажорантный признак сходимости

 

функционального ряда: если тчо и ряд с положительными членами сходится, то функциональный ряд абсолютно сходится на множестве .

 

П р и м е р. Функциональный ряд сходится при любом значении переменной , так как мажорирующим рядом для него является сходящийся ряд .

 

Степенные ряды

 

Простейшим примером функционального ряда является степенной ряд – ряд вида . Числа , называются коэффициентами степенного ряда. Поскольку простой заменой переменной исходный степенной ряд превращается в ряд , мы будем рассматривать только степенные ряды вида . Очевидно, что такой ряд обязательно сходится в точке . Ответом на вопрос об области сходимости степенного ряда дает

 

Теорема Абеля. Пусть ряд сходится в точке , тогда он сходится, причем абсолютно, при .

Пусть ряд расходится в точке , тогда он расходится при .

Доказательство. Так как ряд сходится, то общий член этого ряда стремится к нулю, и значит, ограничен, то есть, тчо .

Пусть тогда . Так как ряд сходится, то по теореме сравнения абсолютно сходится ряд .

Так как расходится, то не может сходиться ни при каких значениях , так как в противном случае он бы сходился, в

 

соответствии с доказанной частью теоремы, и при .

 

 

Из теоремы Абеля следует, в частности, что область сходимости степенного ряда представляет собой некоторый интервал , а область расходимости – внешность этого интервала. Что касается двух точек , являющихся границами этого интервала, то сходимость или расходимость ряда в этих точках следует проверять для каждой функции индивидуально.

 

Число называется радиусом сходимости степенного ряда. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда.

 

Способы определения радиуса сходимости степенного ряда

1. В соответствии с признаком Даламбера если , то сходится, если , то ряд расходится. Следовательно, при имеем: или .

2. Аналогично используя признак Коши, получим .

П р и м е р 1. Найти область сходимости степенного ряда . Найдем радиус сходимости. Здесь . Следовательно, .

Проверим сходимость в точке . Имеем ряд , который сходится, если и расходится, если .

Проверим сходимость в точке . Имеем ряд , который сходится, если и расходится, если .

 

Замечание. Внутри интервала сходимости ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз. Это значит, что если , то 1) ,

2) .