Уравнение сохранения энергии в механической форме в абсолютном движении

Раздел 2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ДВИЖЕНИЕ РАБОЧЕГО ТЕЛА В ЛМ

§ 2.1. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ (или УРАВНЕНИЕ РАСХОДА)

Выделим некоторый контрольный объём рабочего тела в проточной части лопаточной машины. Считаем, что поток стационарен.

 

Рис. 2.1.

Разобьём поток на элементарные струйки, всего z_эл.стр. Рассмотрим одну элементарную струйку.

DF₁, DF₂ – площадь поперечного сечения элементарной струи на входе и выходе рассматриваемого объёма;

r₁, r₂ – плотности рабочего тела на входе и на выходе.

n₁, n₂ – нормали к DF₁, DF₂.

Поток набегает на DF₁ под углом к n₁. Проекция вектора скорости с₁ на n₁ - с_{1 n}, скорости с₂ на n₂ – с_{2 n}. Поскольку течение потока стационарно, то расход на выходе равен расходу на входе:

DG₂ = DG₁.

Поскольку DG₂ = с_2n. r₂ . DF₂ и DG₁ = с_1n. r₁ . DF₁,

то с_2n. r₂ . DF₂ = с_1n. r₁ . DF₁.

Это равенство справедливо для всех струй:

(с_2n. r₂ . DF₂)₁ = (с_1n. r₁ . DF₁)₁

(с_2n. r₂ . DF₂)₂ = (с_1n. r₁ . DF₁)₂

...

(с_2n. r₂ . DF₂)_z = (с_1n. r₁ . DF₁)_z

Сложим все эти равенства почленно:

(с_2n. r₂ . DF₂)_i = (с_1n. r₁ . DF₁)_i.

От конечно малых площадей перейдём к бесконечно малым: DF₁,DF₂® 0 (dF)

Может ещё осуществляться боковой подвод и боковой отвод рабочего тела через боковые поверхности контролируемого объёма рабочего тела в проточной части ЛМ.

Эта формула читается так: расход на выходе из рассматриваемого элемента ЛМ равен расходу на входе с учётом подвода и отвода рабочего тела через боковые поверхности.

Это уравнение рассматривается как для сжимаемого рабочего тела (r - var), так и для несжимаемого рабочего тела (r - const).

Запись уравнения неразрывности для сжимаемого рабочего тела с помощью ГДФ q(l)

Из МЖГ известно:

. Здесь , ,

Для элементарной струи DG₂ = DG₁: =

Запишем аналогичные уравнения для всех z_эл струй, сложим их между собой, затем устремим DF₁, DF₂ к нулю и перейдём к интегралам, с учётом бокового подвода и отвода получим:

Пример 1. Покажем одномерную схему течения рабочего тела через центробежный насос.

 

 

Рис. 2.2.

На входе: с_вх (перпендикулярна поперечному сечению F_вх)_, r_вх.

На выходе: с_вых (перпендикулярна поперечному сечению F_вых), r_вых.

G₂ = G₁

с_вых.r_вых.F_вых = с_вх.r_вх.F_вх.

Поскольку через насос прокачиваются жидкости, а они несжимаемы, то r - const, r_вых = r_вх.

с_вых.F_вых = с_вх.F_вх

Входная скорость равна с_вх = 5..10 м/с, с_вых = 10..20 м/с, следовательно F_вых < F_вх

Пример 2. Используем уравнение неразрывности для одномерной схемы осевой турбины.

G_Т = G_Г, с_Т.r_Т.F_Т = с_Г.r_Г.F_Г

В турбинах с_Т @ с_Г,

следовательно r_Т.F_Т = r_Г.F_Г.

Поскольку r_Т < r_Г, то F_Т > F_Г.

 

Рис. 2.3.

УРАВНЕНИЕ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В МЕХАНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ В АБСОЛЮТНОМ ДВИЖЕНИИ

Рис. 2.4.

Рассмотрим некоторую частицу А в непосредственной близости от пера лопатки рабочего колеса:

с - абсолютная скорость частицы;

S’ – траектория частицы;

dm – масса частицы.

Определим направления:

n – нормаль к S в точке А;

s – касательная к S’ в точке А.

На векторах s, n достроим правую связку координат, назовём третью координату l.

 

Рис. 2.5.

В координатах построим бесконечно малый параллелепипед с геометрическим центром в точке А и массой

Силы, действующие на частицу:

d P - сила давления

d T - сила трения, направлена по касательной к S

d R - сила, с которой лопатка воздействует на частицу

По второму закону Ньютона:

Спроецируем это уравнение на ось А s, перейдём к скалярным величинам.

Перейдём к удельным величинам, т.е. разделим обе части уравнения на dm.

d R_S ’ – удельная сила, с которой лопатки воздействует на рабочее тело;

d T ’ – удельная сила трения;

- удельная сила давления.

Если удельную силу умножить на элементарный путь ds, то получим удельную работу

 

 

dR_S’.ds = dL_МЕХ

dT’.ds = dL_r – удельная работа трения

- работа по изменению давления, т.е. работа по расширению, которая совершает сама частица.

(1)

Это уравнение сохранения энергии в механической форме в абсолютном движении в дифференциальном виде. Механическая работа идёт на работу по изменению сил давления, на изменение кинетической энергии потока и на работу по преодолению сил трения.

Теперь рассмотрим движение частицы на конечном участке пути от входа (1) до выхода (2)

(2)

Получили уравнение сохранения энергии в механической форме в абсолютном движении в интегральном виде.