Раздел 2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ДВИЖЕНИЕ РАБОЧЕГО ТЕЛА В ЛМ
§ 2.1. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ (или УРАВНЕНИЕ РАСХОДА)
Выделим некоторый контрольный объём рабочего тела в проточной части лопаточной машины. Считаем, что поток стационарен.
Рис. 2.1.
Разобьём поток на элементарные струйки, всего zэл.стр. Рассмотрим одну элементарную струйку.
DF1, DF2 – площадь поперечного сечения элементарной струи на входе и выходе рассматриваемого объёма;
r1, r2 – плотности рабочего тела на входе и на выходе.
n1, n2 – нормали к DF1, DF2.
Поток набегает на DF1 под углом к n1. Проекция вектора скорости с1 на n1 - с1 n, скорости с2 на n2 – с2 n. Поскольку течение потока стационарно, то расход на выходе равен расходу на входе:
DG2 = DG1.
Поскольку DG2 = с2n. r2 . DF2 и DG1 = с1n. r1 . DF1,
то с2n. r2 . DF2 = с1n. r1 . DF1.
Это равенство справедливо для всех струй:
(с2n. r2 . DF2)1 = (с1n. r1 . DF1)1
(с2n. r2 . DF2)2 = (с1n. r1 . DF1)2
...
(с2n. r2 . DF2)z = (с1n. r1 . DF1)z
Сложим все эти равенства почленно:
(с2n. r2 . DF2)i = (с1n. r1 . DF1)i.
От конечно малых площадей перейдём к бесконечно малым: DF1,DF2® 0 (dF)
Может ещё осуществляться боковой подвод и боковой отвод рабочего тела через боковые поверхности контролируемого объёма рабочего тела в проточной части ЛМ.
Эта формула читается так: расход на выходе из рассматриваемого элемента ЛМ равен расходу на входе с учётом подвода и отвода рабочего тела через боковые поверхности.
Это уравнение рассматривается как для сжимаемого рабочего тела (r - var), так и для несжимаемого рабочего тела (r - const).
Запись уравнения неразрывности для сжимаемого рабочего тела с помощью ГДФ q(l)
Из МЖГ известно:
. Здесь 
, 
, 
Для элементарной струи DG2 = DG1: 
= 
Запишем аналогичные уравнения для всех zэл струй, сложим их между собой, затем устремим DF1, DF2 к нулю и перейдём к интегралам, с учётом бокового подвода и отвода получим:
Пример 1. Покажем одномерную схему течения рабочего тела через центробежный насос.
Рис. 2.2.
На входе: свх (перпендикулярна поперечному сечению Fвх), rвх.
На выходе: свых (перпендикулярна поперечному сечению Fвых), rвых.
G2 = G1
свых.rвых.Fвых = свх.rвх.Fвх.
Поскольку через насос прокачиваются жидкости, а они несжимаемы, то r - const, rвых = rвх.
свых.Fвых = свх.Fвх
Входная скорость равна свх = 5..10 м/с, свых = 10..20 м/с, следовательно Fвых < Fвх
Пример 2. Используем уравнение неразрывности для одномерной схемы осевой турбины.
GТ = GГ, сТ.rТ.FТ = сГ.rГ.FГ
В турбинах сТ @ сГ,
следовательно rТ.FТ = rГ.FГ.
Поскольку rТ < rГ, то FТ > FГ.
Рис. 2.3.
УРАВНЕНИЕ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В МЕХАНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ В АБСОЛЮТНОМ ДВИЖЕНИИ
Рис. 2.4.
Рассмотрим некоторую частицу А в непосредственной близости от пера лопатки рабочего колеса:
с - абсолютная скорость частицы;
S’ – траектория частицы;
dm – масса частицы.
Определим направления:
n – нормаль к S в точке А;
s – касательная к S’ в точке А.
На векторах s, n достроим правую связку координат, назовём третью координату l.
Рис. 2.5.
В координатах 
построим бесконечно малый параллелепипед с геометрическим центром в точке А и массой 
Силы, действующие на частицу:
d P - сила давления
d T - сила трения, направлена по касательной к S
d R - сила, с которой лопатка воздействует на частицу
По второму закону Ньютона:
Спроецируем это уравнение на ось А s, перейдём к скалярным величинам.
Перейдём к удельным величинам, т.е. разделим обе части уравнения на dm.
d RS ’ – удельная сила, с которой лопатки воздействует на рабочее тело;
d T ’ – удельная сила трения;
- удельная сила давления.
Если удельную силу умножить на элементарный путь ds, то получим удельную работу
dRS’.ds = dLМЕХ
dT’.ds = dLr – удельная работа трения
- работа по изменению давления, т.е. работа по расширению, которая совершает сама частица.
(1)
Это уравнение сохранения энергии в механической форме в абсолютном движении в дифференциальном виде. Механическая работа идёт на работу по изменению сил давления, на изменение кинетической энергии потока и на работу по преодолению сил трения.
Теперь рассмотрим движение частицы на конечном участке пути от входа (1) до выхода (2)
(2)
Получили уравнение сохранения энергии в механической форме в абсолютном движении в интегральном виде.
