ЛЕКЦИЯ 3
ПЛОСКОСТЬ
Положение плоскости в пространстве можно определить:
1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой;
2. Прямой и точкой вне ее;
3. Двумя пересекающимися прямыми;
4. Двумя параллельными прямыми (рис.1).
| 
| 
| 
|
 (А1В1С1)
|  (a1 С)
|  (m ∩ n)
| δ (b ║ с) |
| Рис. 1. |
|
| Рис. 2. |
Плоскость может быть задана также отсеками плоской фигуры (рис.2).
Возможны следующие положения плоскости относительно плоскостей проекций:
1.Плоскость, не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения (рис.1 и 2).
2. Частные положения плоскости:
а) Плоскость, перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций 
, называется горизонтально-проецирующей (рис.3). Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую, являющуюся следом этой плоскости 
= ∩ угол 
, который образуется между плоскостью и 
, проецируется на плоскость без искажения.
Горизонтальные проекции всех точек и любых фигур, лежащих в горизонтально-проецирующей плоскости, совпадают со следом этой плоскости α1= (АВС)∩ (рис. 3).
| 
|
| Рис. 3. |
б) Плоскость, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций , называется фронтально-проецирующей плоскостью, изображается следом плоскости, полученной от пересечения заданной плоскости (АВС) с фронтальной плоскостью проекций . 
= (АВС)∩ .
| 
|
| Рис. 4. |
Фронтальные проекции всех точек и фигур, лежащих в этой плоскости, совпадают с ее фронтальным следом. Угол φ между плоскостью и проецируется без искажения, т.е.φ2 ≡ φ (рис. 4.).
Плоскость, перпендикулярная к профильной плоскости проекций называется профильно-проецирующей плоскостью.
Частный случай, когда профильно-проецирующая плоскость проходит через ось ОХ и делит пополам угол между плоскостями и - плоскость симметрии (рис.5).
|
| |
| Рис.5 | ||
Основные свойства проецирующих плоскостей состоят в том, что все геометрические образы, лежащие в них, на одной из плоскостей проекций изображаются прямой, совпадающей со следом плоскости, т.е. с линией пересечения проецирующей плоскости с соответствующей плоскостью проекций.
Плоскости, перпендикулярные к двум плоскостям проекций, называется плоскостями уровня. Плоскость δ 
и 
. Фронтальная и профильная проекция такой плоскости – горизонтальные прямые. Любая фигура, расположенная в плоскости δ2 на горизонтальную плоскость проекций проецируется без искажения.
а) Плоскость δ, параллельная горизонтальной плоскости проекций , называется горизонтальной плоскостью (рис.6). Изображается следом плоскости, полученным от пересечения плоскости δ с плоскостью проекций : δ2= δ 
. АВС 
δ; А2В2С2 
δ2; А1В1С1=АВС.
| 
|
| Рис.6. |
б) Плоскость , параллельная плоскости , называется фронтальной (рис.7). 1= . АВС ; А1В1С1 1; А2В2С2=АВС.
|
|
| Рис.7. |
Любая фигура, расположенная в этой плоскости, проецируется на без искажений.
Все геометрические образы, расположенные в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на эти плоскости проекций без искажения.
3.2. ПРЯМАЯ И ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ
1. Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с этой плоскостью две общие точки (рис.8).
2. Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна прямой, лежащей в этой плоскости (рис.9).
| 
| |
| Рис.8. | Рис.9 | |
| с (а ║ b); [12] c (а ║ b)
| С (АВС); С d; С1 d1; С2 d2;
d ║[AB]; d 1║[A1B1]; d 2║[A2B2].
| |
Построение точки в плоскости производится, исходя из условия, что она должна находиться на прямой, лежащей в этой плоскости. Т.о. задача на построение точки в плоскости сводится к задаче на построение прямой в этой плоскости (рис.10). Чтобы построить горизонтальную проекцию точки М, принадлежащей плоскости (а b), нужно провести прямую ℓ (а b); [12] ℓ; [1222] ℓ2; [1121] ℓ1; М2 ℓ2 ; М1 ℓ1 .
|
| Рис.10 |
3.3. ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ
Главными линиями плоскости называются прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные плоскостям проекций , или . Линии плоскости, параллельные называются горизонталями плоскости; линии плоскости, параллельные – фронталями плоскости; линии плоскости, параллельные – профильными прямыми (рис.11).
Линии наибольшего ската – прямые, проведенные по плоскости перпендикулярно к горизонталям (рис.12).
Линия наибольшего ската и ее горизонтальная проекция образуют линейный угол, которым измеряется двугранный угол, составленный плоскостью (f ∩ h) и плоскостью проекций .
С помощью главных линий плоскости оказывается удобным решать вопросы о взаимном расположении точки и плоскости (рис.13). Дана плоскость (f ∩ h) и точка А. Нужно определить принадлежит ли точка А плоскости. Для этого через точку А проводим горизонталь. Горизонтальная проекция точки А вне горизонтали, значит точка А не лежит в плоскости.
| 
|
| Рис.11 | Рис.12а |
| 
|
| Рис. 12б | Рис. 13 |
ПРОЕЦИРУЮЩАЯ ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ.
Прямая относительно плоскости вообще и проецирующей в частности может занимать следующие положения:
а) прямая лежит в проецирующей плоскости
Прямая, лежащая в проецирующей плоскости, имеет одну свою проекцию на соответствующем следе плоскости (рис.14). [A2B2] 
; [A2B2] .
| 
|
| Рис.14 | Рис.15 |
Вторая проекция прямой располагается в зависимости от положения прямой в проецирующей плоскости.
б) прямая, параллельная проецирующей плоскости, имеет одну из своих проекций параллельной соответствующему следу этой плоскости (рис.15). [A1B1]║ 
.
| 
|
| Рис.16 | Рис.17 |
в) прямая, пересекающаяся с проецирующей плоскостью, имеет одну свою проекцию пересекающейся со следом плоскости и точка их пересечения есть проекция точки пересечения прямой с этой плоскостью (рис.16). а ∩ = К; а1 ∩ = К1.
Точка К есть точка пересечения прямой с плоскостью. Как точка прямой ее проекция должна располагаться на одноименных проекциях прямой, как точка проецирующей плоскости, она должна иметь одну проекцию на следе плоскости.
Прямая, пересекающаяся с проецирующей плоскостью и перпендикулярная к ней, всегда параллельна той плоскости, к которой проецирующая плоскость перпендикулярна.
