Действия над матрицами.
Пусть даны две матрицы 
и 
одинаковых размеров 
.
Матрицы А и В называются равными (А = В), если их размеры одинаковы и соответствующие элементы равны: 
(при всех i, j).
Матрицы одинаковых размеров можно складывать и вычитать. Для этого надо сложить (вычесть) их соответствующие элементы.
Пример: 
.
Из определения вытекают следующие свойства сложения:
А + В = В + А
(А + В) + С = А + (В + С)
Умножение матрицы на число. Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на число: 
:
.
Пример: 
- матрица, но 
- определитель.
Если А и В – матрицы одного размера, то из определения вытекают очевидные свойства:
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.
.
Очевидно, что А + О = А.
г) Умножение матриц. Пусть имеется строка и столбец с одинаковым числом элементов: 
«Скалярным произведением» строки на столбец называется число, равное сумме произведений элементов с одинаковыми номерами.
Произведение матрицы 
на матрицу 
определяется лишь при условии, что размеры их согласованы: число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Пусть матрица А имеет размеры , а матрица В – размеры 
, т.е. длина строки матрицы А равна высоте столбца матрицы В.
Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица 
, элементы которой находятся по формуле:
или 
(«Скалярное произведение» iй строки матрицы А на jй столбец матрицы В).
С = АВ
Пример 1.
Число строк произведения равно числу строк у первого множителя, а число столбцов - числу столбцов второго.
(В данном примере матрица ВА не существует!).
Пример 2. 
; 
.
В общем случае переместительный закон для матриц не выполняется. Во-первых, произведение ВА может не существовать. Во-вторых, если существуют АВ и ВА, то они могут быть не равны. В некоторых случаях может оказаться, что АВ = ВА. Такие матрицы называются перестановочными (коммутативными).
Перестановочные матрицы существуют, например, единичная матрица порядка n:
перестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка:
; 
, т.е. AI = IA = A.
Свойства умножения матриц.
1.
2. (АВ)С = А(ВС) – сочетательный закон умножения.
Доказательство *:
3. (А + В)С = АС + ВС – распределительный закон
4. 
Для квадратных матриц:
1. 
2. det(AB) = detA·detB
Проверим это на примере: 
, 
.
; det(AB) = -12; detA = 6; detB = -2; det(AB) = detA·detB = -12.
Транспонированные матрицы.
Транспонировать матрицу А – значит записать новую матрицу АТ, столбцы которой совпадают с соответствующими строками матрицы А. Очевидно, что при этом матрица А будет транспонированной к матрице АТ. Отметим свойства:
1. |A| = |AT|
2. (А + В)Т = АТ + ВТ
3.(АВ)Т = ВТАТ (без доказательства)
Обратная матрица.
Пусть А – квадратная матрица порядка n: 
. 
Если 
, то матрица А называется невырожденной. Если 
, то матрица А вырождена.
Матрица В называется обратной к матрице А, если АВ = ВА = I (I – единичная матрица), (по аналогии с обратной величиной в алгебре). Обозначается А-1. Т.к. матрицы А и А-1 перестановочны, то они д.б. квадратными матрицами одного порядка.
Теорема: Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной ().
1. Необходимость. Дано: 
, т.е. АА-1 = А-1А = I. Доказать: .
Вычислим 
и 
, т.е .
Вырожденная матрица обратной не имеет.
2. Достаточность. Дано: . Покажем, что существует матрица А-1 такая, что АА-1 = А-1А =I, причем, например, для матрицы третьего порядка:
,
где Aij – алгебраические дополнения элементов aij определителя Д матрицы А. Проверим, например, соотношение АА-1 = I:
Свойства обращения матриц: *
1. (АВ)-1 = В-1А-1
2. |А-1| = |А|-1 – смотри необходимость
3. (лА)-1 = л-1А-1: (лА)(л-1А-1) = I
Пример: 
, 
;
А11 = 4; А21 = -8; А31 = 4 || A12 = -7; A22 = 9; A32 = -5 || A13 = -6; A23 = 10; A33 = -6.
или 
Матричная запись и решение систем линейных алгебраических уравнений.
Пусть дана система трех уравнений: 
(1).
Рассмотрим матрицы: 
, 
, 
. Систему (1) можно представить теперь в виде равенства двух столбцевых матриц: 
или
АХ = В (2) – матричная запись системы (1).
Если 
, то существует обратная матрица А-1 и можно записать решение системы в матричной форме: умножим слева обе части (2) на А-1 и используем сочетательное свойство умножения:
А-1(АХ) = А-1В 
(А-1А)Х = А-1В ЕХ = А-1В или
Х = А-1В.
Если подробно записать эту формулу, то получим правило Крамера.
Пример 1. 
, ,
АХ = В, Х = А-1В; ; 
; 
; 
, 
.
Пример 2 *(Э). 
, 
, 
, 
, 
.
Случай detA = 0. Ранг матрицы.
Если , то система (1) может быть несовместной (например, система 
), или иметь бесчисленное множество решений. Для решения вопроса о разрешимости системы введем понятие ранга матрицы A. Пусть дана прямоугольная матрица размера :
.
Рассмотрим все возможные определители (миноры), составленные из элементов этой матрицы.
Рангом r матрицы называется наибольший порядок ее минора, отличного от нуля, называемого ранговым минором.
Очевидно, что 
. Из свойств определителей вытекает, что ранг матрицы не изменяется при следующих преобразованиях:
1. транспонировании;
2. перестановке двух любых рядов матрицы;
3. при сложении двух параллельных ее рядов, умноженных на любые, отличные от нуля числа;
4. при умножении ряда на любое число 
.
Действительно, ранговый минор при этих преобразованиях в нуль не обращается, а любой минор, равный нулю, остается равным нулю. Эти преобразования называются элементарными преобразованиями матрицы.
Матрицы, полученные одна из другой при помощи конечного числа элементарных преобразований, называются эквивалентными: 
.
Вычислять ранг матрицы можно также с помощью следующей теоремы:
Теорема. Если матрица имеет минор порядка r, отличный от нуля, для которого все содержащие его миноры порядка r + 1 (окаймляющие миноры) равны нулю, то ранг матрицы равен r (без доказательства).
Вычисление ранга матрицы методом окаймления надо вести от миноров низших порядков к высшим.
Пример 1. 
Сразу видно, что матрица содержит миноры второго порядка, не равные нулю. Поэтому вычисляем единственный минор третьего порядка:
, значит rA = 2.
Пример 2. 
. Минор 
. Окаймляем его снизу 3 строкой, а справа – 4 или 5 столбцом. Слева окаймлять этот минор 1 столбцом не нужно, т.к. он пропорционален 2 столбцу. Поэтому минор, в который входят 1 и 2 столбцы, будет равен нулю.
; 
.
Следовательно, rA = 3.
Пример 3. 
. Выполним элементарные преобразования, чтобы получить матрицу с более простыми элементами. Вычтем из 2 строки 1, а из 3 – вторую. Получим новую матрицу:
, B ~ A. У матрицы В 2 и 3 строки пропорциональны. Умножим 2 строку на (-2) и сложим с третьей, получим матрицу:
, C ~ B. Очевидно, что rC = 2, но rC = rB = rA, поэтому rA = 2.
Теорема Кронекера-Капелли.*
Рассмотрим произвольную линейную систему уравнений:
А – матрица системы (1), В – расширенная матрица системы.
Теорема. Для того, чтобы система линейных уравнений (1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А был равен рангу расширенной матрицы В: rA = rB (без доказательства).
Очевидно, что 
, т.к. все миноры матрицы А входят и в матрицу В. Если 
, то система несовместна и возможны следующие случаи.
