Математическая модель, как было отмечено выше, представляет собой систему математических уравнений, отражающих сущность происходящих в исследуемом объекте процессов. Кроме системы уравнений необходимо также задать моделирующий алгоритм, позволяющий исследовать поведение объекта при различных условиях функционирования.
Таким образом, для использования математического моделирования необходимо рассматривать три аспекта этого процесса:
· Смысловая сторона математической модели – формализованное описание природы протекающих в объекте процессов, позволяющее установить внутренние связи объектов системы и создать на этой основе их математическое описание.
· Аналитическая сторона – математические уравнения, описывающие процесс в соответствии с формализованным описанием.
· Вычислительная сторона – моделирующий алгоритм, представляющий последовательность математических операций, которые необходимо выполнить для получения решения уравнений математической модели и проведения, таким образом, исследования поведения объекта путем решения его математической модели при различных параметрах модели, соответствующих различным условиям его функционирования.
Рассмотрим более детально эти основные этапы математического моделирования.
Формализованное описание.
При формализованном описании выделяют основные процессы, которые протекают в объекте и которые должны найти отражение в математическом описании объекта. При этом также формулируются основные допущения, позволяющие сократить до разумных пределов число элементарных процессов, установить их взаимосвязи и определить характер их протекания.
При математическом моделировании сложных технологических объектов обычно принимаются во внимание следующие «элементарные» процессы:
1) движение сырьевых и продуктовых потоков в различных фазах;
2) массо- и теплообмен между фазами;
3) химические превращения компонентов:
4) тепловые эффекты химических и физических процессов:
5) теплообмен с окружающим пространством:
6) изменение агрегатного состояния реагентов (плавление, испарения, конденсация и т.д.):
Полнота учета «элементарных» процессов при составлении математической модели объекта зависит от того, насколько тесно взаимосвязаны эти процессы и какое влияние они оказывают на общий итог функционирования процесса. На этом этапе часто вводят различные упрощающие допущения, что позволяет упростить структуру объекта и выделить только основные свойства, имеющие значение для достижения поставленной цели моделирования.
Поэтому одним из важных и основных этапов при составлении формализованного описания объекта моделирования является формулирование цели моделирования. Это позволяет создать достаточно простую модель и выделить основные свойства, интересующие исследователя на данном этапе.
При формализованном описании выделяются также основные параметры, характеризующие объект. Эти параметры должны быть включены в математическое описание. Среди основных параметров можно выделить следующие группы параметров:
· Конструктивные параметры. К этому классу параметров относятся структурные и геометрические параметры, отражающие конструктивное оформление моделируемого объекта.
Структурные параметры. Под структурными параметрами понимают описательные характеристики моделируемого объекта, не имеющие численного выражения. К таким параметрам относится тип модели потоков (идеально вытеснение или идеальное смешение), последовательность прохождения сырьевых потоков через аппарат (прямоток или противоток), организация теплообмена и т.д.
Геометрические параметры. Под геометрическими параметрами понимаются численные характеристики аппаратурного оформления моделируемого объекта, например, объем печи, площадь поперечного сечения и высота аппарата, число секций нагрева, удельная поверхность шихты и другие характеристики.
Физические параметры. К этому классу относятся параметры, описывающие физические характеристики сырьевых и продуктовых потоков веществ моделируемого объекта. Среди этих параметров можно выделить следующие группы:
Параметры состояния потоков представляют численные значения потоков веществ и характеристики их состава.
Параметры свойств потоков. Под параметрами свойств потоков понимают количественные характеристики параметров потоков, не входящие непосредственно в выражение для движущих сил, но необходимые для расчетов условий протекания процессов – теплоемкость, вязкость, плотность, теплота испарения и другие. Параметры этой группы могут зависеть от параметров состояния потоков, например, от состава и температуры, что требует учета этих свойств при составлении математического описания объекта.
Параметры «элементарных» процессов. К этому классу параметров относятся гидродинамические и физико-химические параметры, используемые для описания механизмов «элементарных» процессов, например, движения потов фаз, тепло- и массопередачи, химических реакций и т.д.
Гидродинамические параметры представляют собой характеристики потоков веществ в модели, обусловленные типом используемой модели. Эти параметры модели могут зависеть от физических параметров модели.
Физико-химические параметры -характеристики процессов тепло- и массопередачи, скоростей химических реакций, фазовых превращений и т.д.
Точность полученных результатов моделирования зависит от того, насколько полно отражены различные параметры реального объекта в его математической модели и насколько количество и пределы изменения переменных состояния соответствуют наблюдаемости системы.
Математическое описание.
Этапы составления математического описания. Наиболее общим приемом разработки математического описания является блочный принцип составления математического описания. Согласно этому принципу составление математического описания базируется на результатах системного анализа объекта моделирования, выделение отдельных подсистем, или блоков модели и их описанию. Общее описание объекта выполняется путем объединения описания отдельных блоков на основе структурного анализа с учетом взаимосвязей между отдельными блоками.
Состав математического описания. В составе математического описания, разработанного на основе физико-химической природы протекающих в системе процессов, можно выделить следующие группы уравнений:
1. Уравнения баланса масс и энергии, записанные с учетом выбранной структуры потоков веществ и количества взаимодействующих фаз.
2. Уравнения «элементарных» процессов для локальных элементов потоков. К ним относятся описания процессов массо- и теплообмена, скоростей химических реакций, фазовых переходов и т.д.
3. Теоретические, полуэмпирические или эмпирические соотношения между параметрами процесса. Например, зависимость коэффициента теплопередачи от скоростей потоков и их состава, зависимость теплоемкости от состава и т.д.
Ограничения на параметры процесса. При моделировании некоторых процессов необходимо учитывать ограничения на диапазон изменения некоторых параметров. Например, температура процесса не должна превышать допустимую температуру, при которой материал сохраняет прочность, давление в аппарате не должно превышать допустимого, скорости потоков не должны превышать возможности насосного оборудования и т.д.
Общим требованием для всех моделей является то, что число уравнений и различных соотношений, включенных в математическое описание, должно быть равно числу внутренних, т.е. зависящих от режима моделируемого объекта параметров, находимых в результате моделирования.
Типы уравнений. Для математического описания различных свойств моделируемых объектов обычно применяют следующие типы уравнений:
· Конечные алгебраические или трансцендентные уравнения – для описания стационарных режимов работы объектов с сосредоточенными параметрами.
· Обыкновенные дифференциальные уравнения – для описания стационарных режимов работы объектов с распределенными параметрами или для описания нестационарных режимов работы объектов с сосредоточенными параметрами.
·. Дифференциальные уравнения в частных производных – для описания динамики объектов с распределенными параметрами или для описания стационарных режимов работы объектов, с несколькими пространственными координатами.
Иногда, для описания динамики объектов с распределенными параметрами рассматривают времена релаксации отдельных параметров. Тогда выделив параметры, для которых времена релаксации очень малы, можно для них приравнять частные производные по времени нулю. В этом случае можно получить так называемые квазинестационарные модели. Для описания динамики таких объектов можно использовать более простые уравнения.
Моделирующий алгоритм.
Математическое описание служит исходным материалом для создания алгоритма, моделирующего исследуемый объект. Задачей моделирующего алгоритма является решение системы уравнений математического описания, что позволяет находить внутренние параметры математической модели при заданной совокупности внешних параметров. В процессе математического моделирования иногда встречаются задачи, в которых фиксируют определенные значения ряда внутренних параметров и требуется определить набор внешних параметров, обеспечивающих получение фиксированных внутренних параметров. Такие задачи возникают, например, при решении задач управления, когда для заданного режима работы объекта необходимо найти значения управляющих воздействий, обеспечивающих заданный режим функционирования объекта. Эта проблема не так проста, как кажется на первый взгляд. По существу это обратная задача, так как нужно искать набор управляющих воздействий, соответствующих заданному режиму.
Для решения систем уравнений математической модели в настоящее время имеются пакеты программ для решения дифференциальных уравнений как обыкновенных, так и в частных производных. В частности, такие возможности предоставляют известные системы Mathlab и Mathcad. Созданы также специализированные программные комплексы Aspen, HYSYS и ReactOp для решения математических моделей технологических объектов. Так что выбор моделирующего алгоритма в настоящее время сводится к четкой формулировке задачи, выбору внутренних и внешних переменных и соответствующего программного пакета.
2. Общие принципы и этапы построения математических моделей систем.
