Теорема. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы равнялся рангу ее расширенной матрицы
.
Пример 1. С помощью критерия Кронекера – Капелли определить, будут ли совместны следующие системы:
а) 
;
б) 
.
Решение. а) Вычисляем ранг матриц 
. Для этого путем элементарных алгебраических преобразований приведем матрицу 
к ступенчатому виду:
.
1. Умножаем элементы 1-ой строки на «-3» и складываем с элементами 2-ой строки, затем умножаем элементы 1-ой строки на «-1» и складываем с элементами 3-ей строки.
2. Умножаем элементы 2-ой строки на «-1» и складываем с элементами 3-ей строки.
Число строк в полученной матрице равно 3, следовательно, согласно определению ранга матрицы (см. определение 3 §7 главы 1) имеем:
.
Аналогичным образом, получим
.
Т.к. 
, то в силу критерия Кронекера – Капелли, система решений не имеет (несовместна).
б) Составляем расширенную матрицу:
1. Меняем местами 1-ую и 2-ую строки.
2. Умножаем элементы 1-ой строки последовательно на «-2»; на «-1»; на «-5» и на «-3» и складываем соответственно с элементами 2-ой, 3-ей, 4-ой и 5-ой строк.
3. Умножаем элементы 2-ой строки последовательно на «-2»; «-3» и «-1» и складываем соответственно с элементами 3-ей, 4-ой и 5-ой строк.
4. Вычеркивая нулевые строки, получаем ступенчатую матрицу.
Число строк в полученной ступенчатой матрице равно 2:
; ; ,
следовательно, система совместна.
Замечание. Для сокращения записи мы приводим к ступенчатому виду одновременно матрицы .
Однородные системы линейных уравнений.
Определение 1. Система уравнений вида:
(I)
называется однородной.
Очевидно, что система (I) всегда имеет решение:
(нулевое решение). Таким образом, однородная система всегда совместна.
Теорема. Если в системе (I) 
, то система (I) имеет единственное (следовательно, нулевое) решение, если определитель системы
,
и – бесчисленное множество решений (в том числе ненулевых), если
.
Замечание. Если в системе (I) 
(число уравнений меньше числа неизвестных), то система имеет бесчисленное множество решений.
Примеры.
Решить системы уравнений:
а) 
;
б) 
.
Решение.
а) 
.
Мы сложили соответствующие элементы 2-ой и 3-ей строк. Система имеет единственное (нулевое) решение:
б) Решаем систему методом Гаусса (см. § 5).
.
Таким образом,
.
Система имеет бесчисленное множество решений. Давая 
различные значения, мы будем получать соответствующие решения заданной системы.
Например,
, тогда 
, получаем решение 
;
, тогда 
, получаем решение 
.
При подстановке в уравнения системы этих чисел, убеждаемся, что каждый раз мы получаем решение.
СЕМИНАР 1
Задание 1.
Даны определители:
, 
.
Вычислить:
а) определитель 
по правилу треугольников;
б) определитель разложением по элементам 2-го столбца;
в) определитель 4-го порядка 
.
Решение:
а)
б)
в) Для вычисления определителя 4-го порядка выберем строку (столбец), где больше нулей и, пользуясь свойством определителя (см. главу I §4 свойство 8), получим в этом столбце все нули, кроме, быть может, одного элемента. В нашем случае – это 3-ий столбец. Мысленно умножим элементы 1-ой строки на «-4» и сложим с элементами 2-ой строки, а затем умножим элементы 1-ой строки на «-2» и сложим с элементами 4-ой строки.
Мы разложили определитель 4-го порядка по элементам 3-его столбца (см. главу I §4 свойство 9). В этом разложении 3 последних слагаемых, очевидно, равны нулю. Таким образом, вычисление определителя 4-го порядка сводится к вычислению определителя 3-го порядка. Умножим элементы 1-ого столбца этого определителя на «-1» и сложим с элементами 2-ого столбца:
.
Замечание 1. Следует обратить внимание на то, что та строка (столбец), которую мы умножаем, в определителе не изменяется. Меняется лишь та строка (столбец), к которой мы прибавляем результат умножения.
Например, в нашем определителе 3-го порядка 1-ый столбец, который мы умножаем на «-1», вошел в новый определитель без изменения, поменялся лишь 2-ой столбец.
Задание 2.
Даны матрицы:
, 
, 
.
Найти: а); б); в); г); д).
Решение.
а) 
.
б) 
.
в) 
.
г) 
.
д) 
.
Найдем определитель матрицы A:
следовательно, обратная матрица существует.
Определим алгебраические дополнения 
:
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
.
Найдем 
(обратную матрицу к матрице А):
.
Проверка:
Задание 3.
Дана система линейных уравнений:
Решить эту систему:
а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы;
в) методом Гаусса.
Решение.
а) Найдем определитель системы:
В этом определителе заменим 1- ый столбец столбцом свободных членов, получим определитель:
.
Вычислим определитель, который получается из определителя системы заменой 2-ого столбца столбцом свободных членов:
.
Аналогичным образом, заменяя в определителе системы 3-ий столбец столбцом свободных членов, получим:
.
Найдем значения x, y и z по формулам Крамера:
;
;
.
Ответ:,,.
б) Рассмотрим матрицы:
- матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных;
- матрица свободных членов;
- матрица неизвестных.
Тогда, в матричной форме система линейных уравнений может быть записана следующим образом:
.
Если 
, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формуле:
.
Для матрицы 
в задании №2 (пункт д) нами была найдена обратная матрица:
.
Найдем матрицу 
:
.
Ответ:,,.
в) Выпишем расширенную матрицу системы:
.
1. Проверяем: 
.
2. Мысленно умножим элементы 1-ой строку на «-1» и сложим с элементами 3-ей строки, получим:
.
3. Проверяем: 
.
4. Мысленно умножим 2-ую строку на «1» и сложим с 3-ей строкой:
,
получаем матрицу ступенчатого вида (см. определение 2 §7 главы I).
5. Составляем систему уравнений, соответствующую матрице 
:
.
Подставляем 
в предпоследнее уравнение системы:
,
отсюда
.
Из первого уравнения находим
.
Ответ: 
.
Задание 4.
Пользуясь критерием Кронекера – Капелли, исследовать систему линейных уравнений на совместность, и в случае совместности найти ее решение методом Гаусса
.
При переходе от 1-ой матрице ко 2-ой мы поменяли местами 1-ую и 2-ую строки для простоты вычислений, затем мысленно умножили элементы1-ой строки на «-2»; «-1» и «-5» и результат прибавили соответственно к элементам 2-ой, 3-ей, 4-ой строк, получили 3-ю матрицу. Затем перешли к 4-ой матрице: 1-ую и 2-ую строки оставили без изменения; умножив элементы 2-ой строки на «-2», затем на «-3», прибавили результаты умножения соответственно к элементам 3-ей и 4-ой строк. Затем убрали нулевые строки и перешли к матрице ступенчатого вида. Мы одновременно приводим к ступенчатому виду основную и расширенную матрицы и 
.
По определению ранга матрицы (см. определение 3 §7 главы I)
.
В силу критерия Кронекера – Капелли система уравнений совместна. Переходим от последней матрицы к системе уравнений:
.
Из последнего уравнения выражаем 
:
.
И, подставляя это равенство в первое уравнение системы, получаем:
,
отсюда имеем:
.
Таким образом, полученная система имеет бесчисленное множество решений. Давая произвольные значения независимым переменным и 
, мы каждый раз будем получать частные решения системы.
