Пусть A, B, C – матрицы размерности 
.
1. Коммутативность суммы матриц
.
2. Ассоциативность суммы
.
3. Дистрибутивность
,
,
- числа.
4. Ассоциативность произведения
,
- числа.
5. 
, где 
- нулевая матрица.
6. 
, где - нулевая матрица.
Определение 3. Произведением матрицы 
(размерности ) на матрицу 
(размерности 
) называется матрица 
, элементы которой вычисляются по формулам:
, (2)
Пример 3.
.
Замечание 1. Из определения 3 следует, что умножить матрицу 
на матрицу 
можно лишь в том случае, когда число столбцов в матрице равно числу строк в матрице .
Замечание 2. Пусть - квадратная матрица n -ого порядка, а 
- единичная матрица также n -ого порядка, тогда
. (3)
В самом деле, по определению умножения матриц, имеем
.
Аналогичным образом получаем, что 
.
Свойства умножения матриц.
1. Ассоциативность
, где , , 
- матрицы размерности соответственно: , , 
.
2. Дистрибутивность
,
где и - матрицы размерности , - матрица размерности .
3. 
,
где 
- число, и - матрицы размерности соответственно и .
Замечание 3. Произведение матриц в общем случае некоммутативно, т.е. 
, если в частности 
, то матрицы и называются перестановочными.
Обратная матрица.
Определение 1. Квадратная матрица называется невырожденной, если 
и вырожденной, если 
.
Пусть задана квадратная матрица:
.
Определение 2. Матрица называется обратной к матрице , если выполняется равенство 
, где - единичная матрица. Матрица, обратная к матрице , обозначается символом 
:
.
Справедлива следующая теорема.
Всякая невырожденная матрица имеет единственную обратную матрицу.
Пусть задана матрица
и , тогда матрицу можно получить следующим образом:
1) вычисляем определитель матрицы ;
2) находим матрицу
(заменим в матрице каждый элемент 
соответствующим ему алгебраическим дополнением 
);
3) транспонируем матрицу , полученная матрица 
называется союзной и обозначается символом 
:
;
4) находим матрицу
.
Поясним сказанное на примере:
.
1) 
;
2) вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы и находим матрицы и 
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
;
4) 
;
5) проверяем:
.
Легко убедиться, что
.
Ранг матрицы.
Определение 1. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие действия:
1) вычеркивание нулевых строк (столбцов);
2) перестановка двух строк (столбцов);
3) прибавление к одной из строк (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число .
Определение 2. Матрица называется ступенчатой, если ее диагональные элементы 
, а все элементы, лежащие ниже диагональных, равны нулю (
, если 
).
Например, матрица
- ступенчатая.
Теорема 1. Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.
Теорема 2. При любом способе приведения матрицы с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду количество строк в полученной ступенчатой матрице будет одним и тем же.
Определение 3. Рангом матрицы называется число строк в ступенчатой матрице, которая получается из матрицы элементарными преобразованиями. Ранг матрицы обозначается символами: 
Для вычисления ранга матрицы можно применить следующий алгоритм.
1. Вычеркиваем в матрице все нулевые строки, если они есть.
2. Т.к. теперь нулевых строк нет, то в 1-ой строке полученной матрицы найдется хотя бы один отличный от нуля элемент. Переставим столбцы так, чтобы в 1-ой строке на 1-ом месте стоял элемент, отличный от нуля 
.
3. Первую строку, умноженную последовательно на 
; 
; 
; 
, прибавим соответственно ко 2-ой, 3-ей, …, m -ой строке. Получим матрицу:
.
Вычеркнем в матрице нулевые строки, если они есть. Можно считать, что во 2-ой строке есть хотя бы один элемент, отличный от нуля. Переставим столбцы так, чтобы 
.
4.Умножим 2-ую строку последовательно на 
; 
; ; 
и прибавим соответственно к каждой из последующих строк. В результате получим матрицу
.
Вообще говоря, 
, т.к. при переходе от одной матрице к другой некоторые строки (нулевые) могли быть вычеркнуты.
Повторяя описанные рассуждения через конечное число шагов, мы получим матрицу ступенчатого вида, число строк в которой и будет рангом матрицы . Поясним сказанное на примере.
Вычислим ранг матрицы:
.
Умножим первую строку на «-2» и сложим ее со 2-ой, затем умножим 1-ую строку на «-1» и сложим ее с 3-ей; наконец, первую строку, умноженную на «-5», сложим с 4-ой. Приходим к матрице:
.
В матрице 
вторую строку, умноженную последовательно на «-2» и «-3», складываем соответственно с 3-ей и 4-ой строками, получаем:
.
Вычеркиваем в матрице 
третью и четвертую нулевые строки, получим
,
число строк в ступенчатой матрице 
равно 2. Следовательно, 
Теорема 3. Ранг матрицы не меняется при транспонировании.
Рекомендуем читателю транспонировать матрицу в рассмотренном примере и убедиться, что 
