Наилучшее приближение функции, заданной таблично

Общая постановка задачи интерполирования

Пусть на отрезке задана система функций

(2.30)

и введена сетка

. (2.31)

Образуем линейную комбинацию

. (2.32)

Задача интерполирования функции системой функций (2.30) на сетке (2.31) состоит в нахождении коэффициентов , , для которых выполнены условия

. . (2.33)

Интерполирование алгебраическими многочленами является частным случаем сформулированной задачи, когда , . Возникает вопрос о существовании и единственности решения общей задачи интерполирования. Запишем систему (2.33) более подробно

...

Для того чтобы эта система имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы

(2.34)

был отличен от нуля. Более того, поскольку узлы , могут быть как угодно расположены на , лишь бы среди них не было совпадающих, необходимо потребовать, чтобы при любом расположении узлов. Выполнение или не выполнение этого требования зависит от выбора системы функций .

Система называется системой Чебышева на , если определитель отличен от нуля при любом расположении узлов , , когда среди этих узлов нет совпадающих. Таким образом, общая задача интерполирования однозначно разрешима, если чебышевская система функций. Функция , определенная согласно (2.32) и удовлетворяющая условиям интерполирования (2.33), называется обобщенным интерполяционным многочленом по системе .

Вообще из (2.34) видно, что если какая-либо из функций обращается на отрезке в нуль более чем раз, то система не является чебышевской. Действительно, если, например, для некоторого и для , то, выбирая точки в качестве узлов интерполирования, получим, что столбец матрицы содержит только нулевые элементы.

Можно доказать следующее утверждение. Для того чтобы система была чебышевской на , необходимо и достаточно, чтобы любой обобщенный многочлен по этой системе, у которого хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, имел на не более нулей. Иногда это свойство принимается за определение чебышевской системы.

Наилучшее приближение функции, заданной таблично

Пусть значения функции и функции , из системы (2.30) известны в точках , . Если , то задача интерполирования становится неопределенной. В этом случае можно рассматривать задачу о наилучшем приближении, которая формулируется следующим образом.

Введем обобщенный многочлен (2.32) и будем рассматривать его значения только в узлах , т.е.

, .

Образуем разности

, ,

характеризующие отклонение в узлах точного значения функции от ее приближенного значения, полученного с помощью обобщенного многочлена (2.32). Для вектора погрешностей можно ввести ту или иную норму, например,

, (2.35)

или

. (2.36)

Задача о наилучшем приближении функции , заданной таблично, состоит в нахождении коэффициентов , минимизирующих норму вектора . В зависимости от выбора нормы получим различные задачи. Так, норме (2.35) соответствует задача о наилучшем среднеквадратичном приближении, а норме (2.36) – задача о наилучшем равномерном приближении функции, заданной таблично.

Если , то независимо от выбора нормы решение задачи о наилучшем приближении совпадает с решением задачи интерполирования. Действительно, в этом случае требование приводит к условиям , , т.е. к задаче интерполирования.