Примеры применения многочленов Чебышева

Итерационные методы решения СЛАУ

Многочлены Чебышева

Свойства многочленов Чебышева

В ряде вопросов численного анализа, связанных с проблемой минимизации погрешности вычислительного алгоритма, нашли применение многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля.

Рассмотрим следующую задачу: среди всех многочленов степени со старшим коэффициентом 1 найти такой многочлен , для которого величина

является минимальной. Многочлен, обладающий этим свойством, называется многочленом наименее уклоняющимся от нуля на отрезке или многочленом Чебышева. Покажем, что функция

(6.42)

является многочленом Чебышева.

Рассмотрим сначала функцию

. (6.43)

Проводя преобразования

убеждаемся в том, что справедливо рекуррентное соотношение

. (6.44)

Кроме того, согласно (6.43) имеем , . Отсюда и из (6.44) легко доказать, что многочлен степени со старшим коэффициентом , Следовательно, многочлен степени со старшим коэффициентом 1.

Корни многочлена расположены в точках

, , (6.45)

а экстремумы – в точках

, , (6.46)

причем

, .

Следовательно,

. (6.47)

Можно доказать (доказательство опускаем), что среди всех многочленов степени со старшим коэффициентом 1 многочлен наименее уклоняется от нуля на отрезке .

Иногда требуется найти многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на заданном отрезке , среди всех многочленов степени со старшим коэффициентом 1. Эта задача сводится к предыдущей с помощью замены

Переводящий отрезок в отрезок . При такой замене многочлен Чебышева

преобразуется к виду

причем коэффициент при оказывается равным . Следовательно, многочленом, наименее уклоняющемся от нуля на , среди всех многочленов степени со старшим коэффициентом 1 является многочлен

. (6.48)

Корни этого многочлена расположены в точках

, , (6.48’)

а его максимальное отклонение от нуля равно (доказать)

. (6.49)

В теории итерационных методов возникает следующая задача: найти многочлен степени , наименее уклоняющийся от нуля на отрезке , среди всех многочленов степени , принимающих при значение 1. Ясно, что искомый многочлен отличается от многочлена (6.48) только нормировкой, т.е.

. (6.50)

Будем считать в дальнейшем, что .

Из (6.48), (6.50) получим при , что

, (6.51)

где

. (6.52)

Обозначая , и проводя необходимые преобразования, получаем (доказать)

. (6.53)

Таким образом, приходим к следующему выводу: среди всех многочленов степени , принимающих при , значение 1, наименее уклоняется от нуля на отрезке многочлен

, (6.54)

где

. . . (6.55)

Корни многочлена (6.54) расположены в точках

, . (6.56)

Примеры применения многочленов Чебышева

Пример 1. В теории интерполирования возникает следующая задача. Рассмотрим многочлен

степени . Требуется так подобрать числа (среди которых нет совпадающих чисел), принадлежащие заданному отрезку , чтобы минимизировать величину

Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, для решения данной задачи достаточно потребовать, чтобы совпал с многочленом Чебышева (см. (6.48))

. (6.57)

Условие будет выполнено тогда и только тогда, когда совпадут все корни многочленов и . Корнями многочлена являются числа , а корни определяются, согласно (6.48’) формулами