Каноническая форма одношаговых итерационных методов.

На примере методов Якоби и Зейделя видно, что итерационный метод можно записать различными способами. Целесообразно ввести некоторую стандартную форму его записи. Канонической формой одношагового итерационного метода решения системы (6.1) называется его запись в виде

, . (6.12)

Здесь матрица, задающая тот или иной итерационный метод, итерационный параметр. Предполагается, что задано начальное приближение и что существует матрица . Тогда из уравнений (6.12) можно последовательно определить все . Для нахождения по известным и достаточно решить систему уравнений

, где

Итерационный метод называется явным если и неявным, если . Неявные методы сходятся более быстро.

Итерационный метод (6.12) называется стационарным, если и не зависит от номера итерации, и нестационарным – в противном случае.

Приведем еще несколько примеров итерационных методов.

Метод простой итерации с постоянным параметром :

(6.13)

Итерационный метод Ричардсона с переменным параметром :

(6.14)

Обобщением метода Зейделя (6.11) является метод верхней релаксации

, (6.15)

где заданный числовой параметр. Можно показать, что в случае положительно определенной матрицы метод (6.15) сходится при .

Для получения расчетных формул перепишем (6.15) в виде

.

В покомпонентной записи получим (доказать)

, .

Отсюда последовательно, начиная с , находим все :

,

,

и т.д.

Исследование сходимости итерационных методов.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

, (6.16)

и одношаговый стационарный итерационный метод, записанный в форме

, , задан (6.17)

Говорят, что итерационный метод (6.17) сходится, если при . Под нормой вектора будем понимать среднеквадратичную норму

Перейдем к исследованию сходимости итерационного метода (6.17). Погрешность метода на -ой итерации характеризуется вектором , который согласно (6.16), (6.17) удовлетворяет однородному уравнению

, , . (6.18)

Теорема 1. Пусть симметричная положительно определенная матрица, и пусть выполнено неравенство

, (6.19)

что означает . Тогда итерационный метод (6.17) сходится.

Без доказательства.

Применим Теорему 1 к конкретным итерационным методам, рассмотренным в предыдущем параграфе. Метод Якоби имеет следующий канонический вид:

. (6.22)

Таким образом, в данном случае , и условие сходимости .

Следствие 1. Пусть симметричная положительно определенная матрица с диагональным преобладанием, т.е.

, , (6.23)

тогда метод Якоби сходится. Без доказательства.

Следствие 2. Пусть симметричная положительная определенная матрица. Тогда метод верхней релаксации

сходится при условии . В частности, метод Зейделя сходится.

Доказательство. Метод верхней релаксации приводится к каноническому виду (6.17) с , . Напомним, что исходная матрица представляется в виде суммы , где нижняя треугольная, верхняя треугольная и диагональная матрицы. Для симметричной матрицы матрица является транспонированной к , поэтому

.

Условие сходимости (6.19) принимает вид

и выполняется при .