На примере методов Якоби и Зейделя видно, что итерационный метод можно записать различными способами. Целесообразно ввести некоторую стандартную форму его записи. Канонической формой одношагового итерационного метода решения системы (6.1) называется его запись в виде
, 
. (6.12)
Здесь 
матрица, задающая тот или иной итерационный метод, 
итерационный параметр. Предполагается, что задано начальное приближение 
и что существует матрица 
. Тогда из уравнений (6.12) можно последовательно определить все 
. Для нахождения 
по известным 
и достаточно решить систему уравнений
, где 
Итерационный метод называется явным если 
и неявным, если 
. Неявные методы сходятся более быстро.
Итерационный метод (6.12) называется стационарным, если 
и 
не зависит от номера итерации, и нестационарным – в противном случае.
Приведем еще несколько примеров итерационных методов.
Метод простой итерации с постоянным параметром 
:
(6.13)
Итерационный метод Ричардсона с переменным параметром 
:
(6.14)
Обобщением метода Зейделя (6.11) является метод верхней релаксации
, (6.15)
где 
заданный числовой параметр. Можно показать, что в случае положительно определенной матрицы 
метод (6.15) сходится при 
.
Для получения расчетных формул перепишем (6.15) в виде
.
В покомпонентной записи получим (доказать)
, 
.
Отсюда последовательно, начиная с 
, находим все 
:
,
,
и т.д.
Исследование сходимости итерационных методов.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
, (6.16)
и одношаговый стационарный итерационный метод, записанный в форме
, 
, 
задан (6.17)
Говорят, что итерационный метод (6.17) сходится, если 
при 
. Под нормой вектора 
будем понимать среднеквадратичную норму
Перейдем к исследованию сходимости итерационного метода (6.17). Погрешность метода на 
-ой итерации характеризуется вектором 
, который согласно (6.16), (6.17) удовлетворяет однородному уравнению
, , 
. (6.18)
Теорема 1. Пусть 
симметричная положительно определенная матрица, 
и пусть выполнено неравенство
, (6.19)
что означает 
. Тогда итерационный метод (6.17) сходится.
Без доказательства.
Применим Теорему 1 к конкретным итерационным методам, рассмотренным в предыдущем параграфе. Метод Якоби имеет следующий канонический вид:
. (6.22)
Таким образом, в данном случае 
, 
и условие сходимости 
.
Следствие 1. Пусть симметричная положительно определенная матрица с диагональным преобладанием, т.е.
, , (6.23)
тогда метод Якоби сходится. Без доказательства.
Следствие 2. Пусть симметричная положительная определенная матрица. Тогда метод верхней релаксации
сходится при условии . В частности, метод Зейделя 
сходится.
Доказательство. Метод верхней релаксации приводится к каноническому виду (6.17) с 
, 
. Напомним, что исходная матрица представляется в виде суммы 
, где 
нижняя треугольная, верхняя треугольная и 
диагональная матрицы. Для симметричной матрицы матрица 
является транспонированной к 
, поэтому
.
Условие сходимости (6.19) 
принимает вид
и выполняется при .
