Погрешности результатов приближенных вычислений
Формула для оценки главной части погрешности
Имеют место погрешности трех типов:
1) Погрешность задачи (математической модели). Как правило, неустранимая погрешность.
2) Погрешность метода – связана со способом решения поставленной задачи (линеаризация, дискретизация,...). Как правило, устранимая погрешность.
3) Погрешность округления – зависит от применяемой вычислительной техники и используемого типа данных.
Сумма всех трех типов погрешностей представляет собой полную погрешность результата решения задачи.
Нет смысла решать задачу точнее, чем это диктуется неопределенностью исходных данных. Таким образом, погрешность метода подчиняют погрешности задачи. Наконец, при анализе погрешности численных методов обычно исходят из предположения, что все операции над числами выполняются точно. Однако это не всегда так.
Пусть 
и 
‑ два близких числа: ‑ точное, ‑ приближенное. 
абсолютная погрешность приближенного числа, 
относительная погрешность.
Числа 
, такие, что 
и 
, называются оценками или границами соответствующих погрешностей – предельные погрешности.
Поставим вопрос о грубом оценивании погрешностей результата при вычислении значений дифференцируемой функции 
, 
, если известны 
. В этом случае значения аргументов 
лежат на отрезках 
, а точная абсолютная погрешность результата есть 
.
Главной, т.е. линейной частью этого приращения, является полный дифференциал 
.
Значит, за границу абсолютной погрешности результата приближенно может быть принята величина
. (1.1)
Отсюда
. (1.2)
Рассмотрим погрешности оценивания результата арифметических действий.
Пусть 
. Тогда 
и 
, т.е. при сложении и вычитании приближенных чисел их предельные абсолютные погрешности складываются.
Пусть 
, где можно считать все сомножители положительными. 
. Тогда, согласно (1.2),
. (1.3)
Если же 
, где 
и, значит
.
Таким образом, при умножении и делении приближенных чисел предельные относительные погрешности складываются.
Рассмотрим относительную погрешность суммы 
положительных приближенных чисел 
, имеющих границы относительных погрешностей 
соответственно:
где 
. Полученное неравенство говорит о том, что относительная погрешность суммы положительных приближенных чисел не превосходит максимальной относительной погрешности слагаемых.
С вычитанием приближенных чисел дело обстоит хуже: оценка
указывает на возможность сильного возрастания погрешности при 
. В этом случае говорят о потере точности при вычитании близких чисел.
Часто возникает обратная задача теории погрешностей: “Какой точности данные нужно подать на вход заданной процедуры действий над ними, чтобы на выходе гарантировать результат определенной точности?”
Для вычисления погрешности значений функции обратная задача заключается в оценивании величин (или ) по известной величине 
. Для случая функции одной переменной грубое решение обратной задачи тривиально: если 
, то 
, откуда
.
Для случая функции большего числа переменных обратная задача, вообще говоря, некорректна. Нужны дополнительные условия. Например, применяют принцип Ра вных влияний, состоящий в предположении, что частные дифференциалы 
в (1.1) одинаково влияют на погрешность значения функций; тогда
.
В качестве другого естественного допущения можно принять равенство относительных предельных погрешностей всех аргументов: 
. Тогда 
, а значит
.
Следовательно, за границы абсолютных погрешностей аргументов принимаем:
.
