Существование устойчивого стационарного состояния

Сейчас мы покажем, что экономика в конечном итоге достигнет состояния устойчивости/равновесия – ситуация, в которой производство на одного работника , потребление на одного работника и основной капитал на одного работника не изменяются с течением времени.

 

Теорема 4.1.1 (Существование единственной устойчивости и равновесия)

Если и удовлетворяют

(4.1.11)

то существует единственное положительное значение для уравнения (4.1.10) такое, что . Точка равновесия, , асимптотически стабильна в области .

Доказательство: введем функцию

где Для любых по непрерывности мы имеем

В итоге мы имеем

Это гарантирует, что для любого существует такое, что для любых . С другой стороны

Следовательно, существует такое, что для , что означает для . так как непрерывно, теорема о промежуточном значении гарантирует, что существует хотя бы одна точка такая, что , то есть

Пусть будет более чем одно положительное решение и пусть обозначает одну из них, имеющую минимально значение. Для начала, запишем

Так как и , существует такое, что Очень просто убедиться, что

Отсюда следует , что невозможно. Следовательно, мы имеем и Потому как и , мы имеем для любых Так как и для любых , мы заключаем, что невозможно найти такие , при которых Это значит, что система имеет единственное равновесие.

Сейчас мы подтвердим, что равновесие устойчиво. Точка равновесия системы асимптотически стабильна, если для любой допустимой начальной точки решение для удовлетворяет

Асимптотическая стабильность может быть доказана, применяя теорему Ляпунова. Определим функцию Ляпунова

,

где и - равновесное значение. Мы имеем и при Так как

Таким образом, равновесие глобально асимптотически стабильно.

 

Экономическое развитие может быть описано следующим образом. В долгосрочном периоде экономика всегда сходится в одну точку плавно к единственному равновесному соотношению труда и капитала от любой положительной отправной точки. Кроме того, вдоль траектории сбалансированного роста капитал растет с той же скоростью, с которой происходит рост населения плюс норма амортизации капитала. Важность данной модели заключается в том, что она восполняет очень простую последовательную систему, чтобы одновременно определить все значимые переменные – затраты труда и капитала к производству, продукцию производства, сбережения, потребление, инвестиции – в экономическом развитии. Вне зависимости от ее упрощенных предположений о производственной функции, сбережения и инвестиционное поведение, роль денежных переменных и так далее – это мощный инструмент, так как это дает нам логическую схему, чтобы проанализировать некоторые аспекты экономического развития.

Когда экономика достигает стационарной капиталоемкости, капитал на душу населения будет таким же, как и с течением времени, но запас капитала остается растущим бесконечно в том же темпе, что рабочая сила . Устойчивые темпы роста модели экзогенно задаются . Это может быть подтверждено с помощью

Теперь мы формально опишем свойства динамической системы.

Мы рассмотрели динамические свойства ОМР. Она имеет долгосрочное устойчивое состояние, при котором темпы роста потребления на душу населения равны нулю. Сейчас мы рассмотрим «переходную динамику» - процесс, зависящий от времени того процесса, когда доходы на душу населения сходятся к их долгосрочному устойчивому состоянию. Разделив уравнение (4.1.10) на , мы получаем темпы роста капитала на душу населения

Здесь обозначает темпы роста капитала на душу населения в момент времени . Верхнее уравнение говорит о том, что темпы роста капитала на душу населения равны разнице между двумя терминами, и , которые мы нанесли на рисунок 4.1.3. Первая кривая является нисходящей, вторая – горизонтальной линией. Вертикальное расстояние между кривыми и линия равных темпов роста на душу населения. Как было показано выше, существует единственное равновесие. На рисунке показано, что слева от стационарного состояния кривая находится выше линии. Таким образом, темпы роста положительны и увеличивается с течением времени. Так как увеличивается, скорость роста снижается. Наконец, достигает , когда темпы роста становятся равными нулю. Аналогичное рассуждение показывает, что если система начинается справа от стационарного состояния, уровень роста отрицателен. При уменьшении темпы роста увеличиваются и, наконец, достигают нуля.

Упражнение 4.1

1 Если производственная функция берется по форме Кобба-Дугласа

,

где - темпы технического прогресса, константа. Введем соотношение капитала и эффективности труда с помощью следующего:

Покажем, что уравнение накопления капитала, соответствующее форме уравнения (4.1.10), принимает вид

Кроме того, найдем условия равновесия и стабильности для ОМР с учетом экзогенных технологий.

 

 

4.2 ОМР с производственной функцией Кобба-Дугласа.

Этот раздел объясняет ОМР, когда производственная функция берется по производственной функции Кобба-Дугласа

где А – норма измерения общей производительности, а - параметры. Параметр А часто называют совокупной производительностью факторов производства или просто производительностью. Резюмируем ОМР на душу населения по уравнению (4.2.1)

Теперь имитируем эту модель с учетом параметров, таких, как

Население растет с годовым темпом роста, равным 1,5 процента, капитал обесценивается по ставке в 1,5 процента. Склонность к накоплению богатства равна 0,55, что может быть необоснованно низким для богатой экономики. В дальнейшее мы обсудим возможные изменения . Здесь мы не рассматриваем никаких технологических изменений и указываем А=1. Параметр установлен на уровне 0,3. При начальных условиях, таких, как , мы запускаем динамику экономики на 25 лет. Рисунок 4.1.1а описывает динамику капитала на душу населения и дохода на душу населения. Капитал и доходы на душу населения имеют сходные модели роста – в начальной стадии они растут очень быстро. Темпы роста этих двух переменных показаны на рисунке 4.2.1с. Так как потребление на душу населения и сбережения положительно пропорционально связаны с капиталом и доходом на душу населения, они растут по тем же схемам и , как показано на рисунке 4.2.1b. Ставка заработной платы растет не быстро даже на начальном этапе экономического роста, и становится стационарной через несколько лет. Аналогичным образом, но в противоположном направлении, процентная ставка снижается в исходном периоде, но становится стационарной в ближайшее время.

Мы опишем динамику модели с помощью компьютера. Фактически, мы можем аналитически решить все переменные. Уравнение (4.2.3) – уравнение Бернулли по переменной Подставляя в уравнение (4.2.3), получаем

которое является стандартным дифференциальным уравнением первого порядка. Решение берется как

Подставляя обратно в уравнение (4.2.5), мы получаем

где - начальное значение соотношения капитала и труда . Это решение, определяемое время пути . Как только мы узнаем , все точки будут точно установлены в любой момент времени.

При экспоненциальное выражение будет стремиться к нулю. Следовательно, позволяя , дает уникальное стационарное отношение капитала к активам

Соотношение капитала и труда подойдет в качестве равновесного значения, как равновесное значение. Это устойчивое состояние, как показано в предыдущем разделе, изменяется непосредственно с склонность к сбережениям , технологиями обратной склонностью к потреблению , темпами роста населения и амортизационной ставкой капитала .

Мы упоминали, что рост склонности к собственным богатствам может либо увеличивать, либо уменьшать потребление. Теперь мы сымитируем модель для демонстрации равновесных значений и , варьирующихся как склонность к изменению собственных богатств. Мы указываем параметры следующим образом

Используя

мы изображаем, как изменяются при , изменяющемся . Потребление на душу населения увеличивается с увеличением , пока не достигнет 0,5628; после =0,5628 потребление на душу населения уменьшается с ростом . Моделирование показывает, что с точки зрения долгосрочного периода предпочтительно иметь «правильную» склонность к обретению богатств. Сбережения на душу населения, текущий доход, а также одноразовый доход растут с ростом . Национальная экономика может, определенно, стать богатой в этой модели, увеличивая склонность к обретению богатств. Если экономика «чрезмерно экономит», ее доход повышает, но при этом уменьшается потребление.