Н1. Сумма непрерывных функций есть непрерывная функция
Н2. Произведение непрерывных функций есть непрерывная функция
Н3. Частное непрерывных функций -- непрерывная функция, во всех точках, где знаменатель отличен от 0
Эти свойства являются непосредственным следствием соответствующих свойств пределов (см. LIM2-LIM4,).
Н4. Подстановка непрерывной функции в непрерывную функцию есть непрерывная функция
Это свойство следует из свойства LIM8 -- предел сложной функции.
Устойчивость знака непрерывной функции. Пусть 
непрерывна в точке a и 
. Тогда 
для всех 
достаточно близких к 
.
Доказательство. Для 
найдется 
такое, что как только 
, то 
. Для этих значений имеем: 
□
Примеры непрерывных функций
1. Константа, а также тождественная функция 
непрерывны.
Доказательство вытекает из LIM1.
2. Любой многочлен непрерывная функция.
Применяем Н1 и Н2 к тождественной функции
3. Рациональная функция, т.е. отношение двух многочленов, непрерывная функция в точках не являющихся корнями знаменателя.
Применяем Н3 к многочленам.
4. Функция 
непрерывна.
Действительно, 
(применяем неравенство 
полученное при выводе первого замечательного предела). Отсюда следует, что 
, т.е. 
непрерывна в точке .
Непрерывность на отрезке
Лемма 1. Из ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Из ограниченности последовательности 
вытекает, что все ее значения принадлежат отрезку 
. Делим этот отрезок пополам и выбираем ту половину 
, в которой бесконечное число членов последовательности 
(если обе половины удовлетворяют этому условию, то выбираем, например, левую). С отрезком 
поступаем точно также. Получаем систему вложенных друг в друга отрезков, которые по принципу Кантора о вложенных отрезках имеет общую точку d. Выберем затем индексы 
так, что 
. Тогда в силу 
, для любого 𝜺 >0 окрестность (d-𝜺,d+𝜺) содержит все отрезки 
а значит и все 
начиная с некоторого номера N. Это доказывает, что 
.□
Лемма 2 [замкнутость отрезка] Отрезок содержит все свои предельные точки.
Доказательство. Если все 
, то 
для всех n. Отсюда получаем 
. Аналогично, 
. Тогда 
.□
Теорема Вейерштрасса. Функция , непрерывная на отрезке 
, ограничена на этом отрезке и достигает своего наибольшего и наименьшего значения, т.е. существуют точки 
такие, что
для любого 
.
Доказательство. Пусть 
. Если функция неограничена сверху, то полагаем здесь A=+∞. Тогда найдется последовательность точек таких, что 
. Выберем из нее сходящуюся подпоследовательность 
(см. леммы выше). Тогда 
в силу непрерывности. Тем самым A=f(d)<+∞ и ограниченность следует. Полагаем 
.
Аналогично доказывается существование 
. □
Для интервала аналогичное утверждение неверно -- см. пример неограниченной функции tg x на интервале (-π /2,π /2).
Теорема Больцано-Коши. Пусть функция непрерывна на отрезке и в концах отрезка принимает значения разных знаков. Тогда найдется точка 
такая, что f(c)=0.
Доказательство. Строим систему вложенных друг в друга отрезков 
. Первый из них -- отрезок . Далее рассмотрим точку 
-- середину отрезка . Если f(d)=0, то c=d -- искомая точка. Иначе из двух отрезков 
и 
выбираем тот на концах которого функция принимает значения разных знаков. Его объявляем 
и с ним поступаем точно также как и с отрезком 
(см. рис. 2).
Рисунок 1. Решение уравнения f(x)=0 методом дихотомии
Либо мы на каком-то шаге придем к искомой точке c, либо получим бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков
каждый последующий из которых вдвое короче предыдущего. Из принципа Кантора вложенных отрезков вытекает, что существует точка 
принадлежащая всем отрезкам 
. Если 
, то найдется окрестность 
точки c такая, что для любого 
следует неравенство (устойчивость знака непрерывной функции). Но ясно, что 
для какого либо n. Это противоречит тому, что на концах отрезка функция принимает значения разных знаков. Аналогично приводится к противоречию предположение 
. Остается 
, что и требовалось доказать.□
Следствие. Пусть функция непрерывна на отрезке . Обозначим 
, 
. Тогда для любого числа C лежащего между m и M найдется точка 
такая, что 
.
Достаточно применить теорему Больцано-Коши к разности 
и отрезку 
вместо .
Определение. Функция 
называется обратной к функции 
, если 
и 
.
Например, 
обратна к функции 
. Немного не строго, в ситуации предыдущего определения, функцию 
также называют обратной к функции .
Теорема [непрерывность обратной функции]. Если непрерывно и строго монотонно отображает отрезок в отрезок 
так, что 
(либо 
в случае убывающей функции), то обратная функция 
существует, и она непрерывно и монотонно отображает отрезок на отрезок .
Доказательство. Существование обратной функции, т.е. фактически свойство 
, вытекает из следствия теоремы Больцано-Коши. Монотонность g ясна.
Пусть 
и 𝜺 >0. Предполагаем, что 
возрастает. Тогда
Возьмем
.
Тогда для 
выполняется неравенство 
. Это влечет непрерывность функции g. □
Ранее мы уже определили корень арифметический n-ой степени из неотрицательного числа. Однако непрерывность корня мы можем обосновать только сейчас.
Следствие. Существует и единственен арифметический корень 
-- непрерывная функция как обратная к непрерывной монотонной функции 
.
Принцип непрерывности
Ранее мы перечислили основные элементарные функции и определили обширный класс элементарных функций
Теорема. Любая элементарная функция непрерывна на всей естественной области определения.
Доказательство. Ранее доказана непрерывность многочленов, . Непрерывность 
примем на веру. Непрерывность 
следует из свойства Н4 (§ Непрерывность функции). Тогда и 
-- непрерывные функции (там, где они определены), как частное двух непрерывных функций (свойство Н3). Следовательно, 
непрерывны как обратные функции к непрерывным монотонным функциям. В силу свойств непрерывных функций Н1-Н4 и определения элементарной функции, получаем, что любая элементарная функция непрерывна. □
