Тема 10. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
С постоянными коэффициентами
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристические уравнения
Дифференциальное уравнение вида 
(10.1)
где 
- известная функция, называющаяся линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Если 
то уравнение (10.1) называется однородным, в противном случае – неоднородным.
Если f(x) – непрерывная на сегменте функция, то общее решение уравнения (10.1) состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (10.1).
Фундаментальную систему решений уравнения
(10.2)
можно найти, используя алгебраические методы, следующим образом (Метод Эйлера). Исходя из (10.2), составляем алгебраическое уравнение 
, (10.3).
называемое характеристическим. Оно имеет n корней, среди которых могут быть действительные простые и краткие корни, а также пары комплексно-сопряженных корней (простых и кратных).
Правило 1. (корни характеристического уравнения простые и действительные)
Если все корни характеристического уравнения (10.3) различные действительные числа 
то фундаментальная система решений уравнения (10.2) имеет вид 
и соответствующая компонента общего решения уравнения (10.2) имеет вид 
где 
- произвольные постоянные.
Пример 10.1. Найти общее решение уравнения 
.
Составим характеристическое уравнение согласно (10.3) 
. Находим его корни 
Фундаментальной системой решений, согласно правилу 1 является 
Общее решение исходного уравнения 
.
Правило 2. (корни характеристического уравнения пара комплексно-сопряженных корней)
Если среди различных корней характеристического уравнения (10.3) есть пара комплексно-сопряженных корней 
то этой паре корней соответствует два линейно независимых решения вида 
а соответствующая компонента общего решения уравнения имеет вид 
Пример 10.2. Найти общее решение уравнения 
Составим характеристическое уравнение 
. Находим корни 
Получаем следующую ФСР: 
.Общее решение исходного уравнения имеет вид 
Правило 3. (корни характеристического уравнения действительные, кратные)
Если среди корней характеристического уравнения (10.3) есть равные действительные числа 
то корню 
кратности k соответствует k-линейно независимых частных решений 
а соответствующая компонента общего решения уравнения имеет вид 
где 
- произвольные постоянные.
Пример 10.3. Найти общее решение уравнения 
.
Составим характеристическое уравнение 
. Находим корни 
, 
. Общее решение исходного уравнения имеет вид 
