Правило 3. (корни характеристического уравнения действительные, кратные)

Тема 10. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

С постоянными коэффициентами

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристические уравнения

Дифференциальное уравнение вида (10.1)

где - известная функция, называющаяся линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Если то уравнение (10.1) называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Если f(x) – непрерывная на сегменте функция, то общее решение уравнения (10.1) состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (10.1).

Фундаментальную систему решений уравнения

(10.2)

можно найти, используя алгебраические методы, следующим образом (Метод Эйлера). Исходя из (10.2), составляем алгебраическое уравнение , (10.3).

называемое характеристическим. Оно имеет n корней, среди которых могут быть действительные простые и краткие корни, а также пары комплексно-сопряженных корней (простых и кратных).

Правило 1. (корни характеристического уравнения простые и действительные)

Если все корни характеристического уравнения (10.3) различные действительные числа то фундаментальная система решений уравнения (10.2) имеет вид и соответствующая компонента общего решения уравнения (10.2) имеет вид где - произвольные постоянные.

Пример 10.1. Найти общее решение уравнения .

Составим характеристическое уравнение согласно (10.3) . Находим его корни Фундаментальной системой решений, согласно правилу 1 является Общее решение исходного уравнения .

 

Правило 2. (корни характеристического уравнения пара комплексно-сопряженных корней)

Если среди различных корней характеристического уравнения (10.3) есть пара комплексно-сопряженных корней то этой паре корней соответствует два линейно независимых решения вида а соответствующая компонента общего решения уравнения имеет вид

Пример 10.2. Найти общее решение уравнения

Составим характеристическое уравнение . Находим корни Получаем следующую ФСР: .Общее решение исходного уравнения имеет вид

Правило 3. (корни характеристического уравнения действительные, кратные)

Если среди корней характеристического уравнения (10.3) есть равные действительные числа то корню кратности k соответствует k-линейно независимых частных решений а соответствующая компонента общего решения уравнения имеет вид где - произвольные постоянные.

Пример 10.3. Найти общее решение уравнения .

Составим характеристическое уравнение . Находим корни , . Общее решение исходного уравнения имеет вид