Практическое занятие № 6
«Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей»
1. Цель: Выработать навыки и умения по вычислению пределов функций в точке и на бесконечности, по вычислению пределов функций с использованием замечательных пределов и на раскрытие неопределённостей
2. Пояснения к работе:
Краткие теоретические сведения
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а. Число В называется пределом функции f(x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любой последовательности значений аргумента хn¹а, сходящейся к а, последовательность соответствующих значений функции f(xn), nÎN сходится к числу В.
В этом случае пишут: 
Короче, 
, если 
для любой последовательности хn¹а, nÎN, сходящейся к а, т.е. xn®a при n®¥.
Свойства пределов сформулируем в виде теорем:
Теорема 1: Функция не может иметь двух разных пределов в точке.
Теорема 2: Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют: 
,
Теорема 3: Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют: 
,
Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
,
Теорема 4: Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя отличен от нуля:
,
Приводим некоторые приёмы вычисления пределов, излагая их на конкретных примерах.
1) Предел многочлена. Вычислить 
Решение: 
Т.о. для вычисления предела многочлена f (x) при x →а достаточно вместо переменной x поставить значение а, к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия, т.е. 
2) Предел отношения двух многочленов, 
, где а– число.
а) Если g (а) ≠ 0, то можно применить теорему о пределе частного.
Пример. Пусть требуется вычислить 
Решение: f (x) = x 3 – 2 x – 3 и g (x) = x 2 + 3 x + 3. Так как g (3) = 32 + 3 ∙ 3 + 3 = 21 ≠ 0. то имеем: 
б) Если g (а) = 0, то теорему о пределе частного применить нельзя. Тогда если ƒ(а) = A ≠ 0, то 
, если же ƒ(а) = 0 – имеем неопределённость вида (0/0). В этом случае предел можно вычислить разложением многочленов ƒ(x) и g(x) на множители.
Пример. Вычислить 
.
Решение: здесь ƒ (2) = 22 - 5∙2 + 6 = 0, g (2) = 22 - 6∙2 + 8 = 0. Так как x ≠ 2, имеем
.
Дадим определение предела функции f(x) на бесконечности, т.е. х®+¥ и при х®-¥.
Пусть функция f(x) определена на всей числовой прямой. Число В называется пределом функции f(x) при х®+¥, если 
для любой последовательности (xn) такой, что 
. В этом случае пишут 
. Аналогично, 
, если 
для любой последовательности (xn) такой, что 
В ряде случаев поведение функции f(x) разное при х®+¥ и при х®-¥. Например, для функции 
, определенной для всех х ¹ 1, имеем
, 
.
Поэтому при исследовании свойств функций рассматривают как 
, так и 
.
Сформулируем определение бесконечного предела функции: если для любой последовательности значений аргумента (xn) такой, что xn ¹ а имеет место 
, то говорят, что предел функции f(x) в точке а есть бесконечность, и пишут 
.
3) Предел отношения многочленов 
при x → ∞.
Пример. Вычислить 
.
Решение:
.
Пример. Вычислить 
.
.
Пример. Вычислить 
.
Решение: 
.
4) Пределы некоторых иррациональных функций. Для вычисления 
,
где ƒ (x) ≥ 0 и 
, воспользуемся равенством 
, которое принимается нами без доказательства. Например, 
.
Пример. Вычислить 
.
Так как 
, то теорему о пределе частного применить нельзя. Имеем неопределённость вида (0/0). Умножая числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю, получим
Пример: Найти предел 
.
= 
= 
= 
=0
Данный пример демонстрирует технику раскрытия неопределенности вида (¥-¥).
Если 
, то функция f(x) называется бесконечно большой при х®а. Если же 
, то функция f(x) называется бесконечно малой при х®а. Аналогично определяются бесконечно большие и бесконечно малые функции при х®+¥, х®-¥.
Заметим, что имеет место следующее утверждение: если функция f(x) – бесконечно малая при х®а и f(x) ¹ 0 для х ¹ а из некоторой окрестности точки а, то функция 
-
бесконечно большая при х®а. Верно и обратное утверждение: если функция f(x) – бесконечно большая при х®а, то функция 
- бесконечно малая при х®а.
5) Применение замечательных пределов 
и 
Пользуясь этими формулами, можно вычислить ряд пределов.
Пример. Вычислить 
Решение: 
, заменяя 3 x= y и учитывая, что y→ 0 при
x→ 0, получаем: 
.
Пример. Вычислить 
.
Решение:
Здесь мы воспользовались известным пределом 
.
Пример. Вычислить 
Решение: 
Заменяя 
и учитывая, что y → ∞ при x → ∞, можем написать
.
Задание
Вариант 1
1. Вычислить пределы функций в точке:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
2. Вычислить пределы функций на бесконечности:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
3. Вычислить, используя замечательные пределы:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
Вариант 2
1. Вычислить пределы функций в точке:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
2. Вычислить пределы функций на бесконечности:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
3. Вычислить, используя замечательные пределы:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
Вариант 3
1. Вычислить пределы функций в точке:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
2. Вычислить пределы функций на бесконечности:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
3. Вычислить, используя замечательные пределы:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
Вариант 4
1. Вычислить пределы функций в точке:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
2. Вычислить пределы функций на бесконечности:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
3. Вычислить, используя замечательные пределы:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
4. Контрольные вопросы:
1. Что называется пределом функции в точке? На бесконечности?
2. Какие свойства пределов функций вы знаете?
3. Как раскрывать неопределенности?
4. Какие замечательные пределы вы знаете?
5. Содержание отчёта:
5.1 Наименование работы
5.2 Цель работы
5.3 Задание
5.4 Формулы для расчета
5.5 Необходимые расчеты. Анализ результатов расчетов
5.6 Выводы по работе
5.7 Ответы на контрольные вопросы
6. Литература:
1. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика в 2-х томах Учебное пособие - М. Новая волна, 2005, ч.1, с. 193-215;
2. Подольский В. А. Сборник задач по математике: Учебное пособие - М. Высшая школа,
2003, с. 164-191;
3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов – учебник для вузов – М.: Юнити, 2003, с. 141-166;
4. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике» - Учебное пособие – М.:Высш. школа, 2003, с. 76-87.
