Краткие теоретические сведения. Практическое занятие № 6

Практическое занятие № 6

«Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей»

1. Цель: Выработать навыки и умения по вычислению пределов функций в точке и на бесконечности, по вычислению пределов функций с использованием замечательных пределов и на раскрытие неопределённостей

2. Пояснения к работе:

Краткие теоретические сведения

 

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а. Число В называется пределом функции f(x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любой последовательности значений аргумента х_n¹а, сходящейся к а, последовательность соответствующих значений функции f(x_n), nÎN сходится к числу В.

В этом случае пишут:

Короче, , если для любой последовательности х_n¹а, nÎN, сходящейся к а, т.е. x_n®a при n®¥.

Свойства пределов сформулируем в виде теорем:

 

Теорема 1: Функция не может иметь двух разных пределов в точке.

Теорема 2: Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют: ,

Теорема 3: Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют: ,

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

,

Теорема 4: Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя отличен от нуля:

,

Приводим некоторые приёмы вычисления пределов, излагая их на конкретных примерах.

 

1) Предел многочлена. Вычислить

Решение: Т.о. для вычисления предела многочлена f (x) при x →а достаточно вместо переменной x поставить значение а, к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия, т.е.

2) Предел отношения двух многочленов, , где а– число.

а) Если g (а) ≠ 0, то можно применить теорему о пределе частного.

 

 

 

Пример. Пусть требуется вычислить

 

Решение: f (x) = x ³ – 2 x – 3 и g (x) = x ² + 3 x + 3. Так как g (3) = 3² + 3 ∙ 3 + 3 = 21 ≠ 0. то имеем:

б) Если g (а) = 0, то теорему о пределе частного применить нельзя. Тогда если ƒ(а) = A ≠ 0, то , если же ƒ(а) = 0 – имеем неопределённость вида (0/0). В этом случае предел можно вычислить разложением многочленов ƒ(x) и g(x) на множители.

Пример. Вычислить .

 

Решение: здесь ƒ (2) = 2² - 5∙2 + 6 = 0, g (2) = 2² - 6∙2 + 8 = 0. Так как x ≠ 2, имеем

 

.

 

Дадим определение предела функции f(x) на бесконечности, т.е. х®+¥ и при х®-¥.

Пусть функция f(x) определена на всей числовой прямой. Число В называется пределом функции f(x) при х®+¥, если для любой последовательности (x_n) такой, что . В этом случае пишут . Аналогично, , если для любой последовательности (x_n) такой, что В ряде случаев поведение функции f(x) разное при х®+¥ и при х®-¥. Например, для функции , определенной для всех х ¹ 1, имеем

 

, .

 

Поэтому при исследовании свойств функций рассматривают как , так и .

Сформулируем определение бесконечного предела функции: если для любой последовательности значений аргумента (x_n) такой, что x_n ¹ а имеет место , то говорят, что предел функции f(x) в точке а есть бесконечность, и пишут .

3) Предел отношения многочленов при x → ∞.

Пример. Вычислить .

 

 

Решение:

.

Пример. Вычислить .

 

.

Пример. Вычислить .

 

Решение: .

 

4) Пределы некоторых иррациональных функций. Для вычисления ,

где ƒ (x) ≥ 0 и , воспользуемся равенством , которое принимается нами без доказательства. Например, .

Пример. Вычислить .

Так как , то теорему о пределе частного применить нельзя. Имеем неопределённость вида (0/0). Умножая числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю, получим

Пример: Найти предел .

= = = =0

 

Данный пример демонстрирует технику раскрытия неопределенности вида (¥-¥).

 

 

Если , то функция f(x) называется бесконечно большой при х®а. Если же , то функция f(x) называется бесконечно малой при х®а. Аналогично определяются бесконечно большие и бесконечно малые функции при х®+¥, х®-¥.

Заметим, что имеет место следующее утверждение: если функция f(x) – бесконечно малая при х®а и f(x) ¹ 0 для х ¹ а из некоторой окрестности точки а, то функция -

бесконечно большая при х®а. Верно и обратное утверждение: если функция f(x) – бесконечно большая при х®а, то функция - бесконечно малая при х®а.

5) Применение замечательных пределов и

Пользуясь этими формулами, можно вычислить ряд пределов.

Пример. Вычислить

Решение: , заменяя 3 x= y и учитывая, что y→ 0 при

x→ 0, получаем: .

 

Пример. Вычислить .

Решение:

Здесь мы воспользовались известным пределом .

 

Пример. Вычислить

Решение:

Заменяя и учитывая, что y → ∞ при x → ∞, можем написать

.

 

 

Задание

Вариант 1

 

1. Вычислить пределы функций в точке:

а) ; б) ; в) ; г) ;

2. Вычислить пределы функций на бесконечности:

а) ; б) ; в) ; г) ;

3. Вычислить, используя замечательные пределы:

а) ; б) ; в) ; г)

Вариант 2

 

1. Вычислить пределы функций в точке:

а) ; б) ; в) ; г) ;

2. Вычислить пределы функций на бесконечности:

а) ; б) ; в) ; г) ;

 

3. Вычислить, используя замечательные пределы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

Вариант 3

 

1. Вычислить пределы функций в точке:

а) ; б) ; в) ; г) ;

 

2. Вычислить пределы функций на бесконечности:

а) ; б) ; в) ; г) ;

 

3. Вычислить, используя замечательные пределы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

 

Вариант 4

 

1. Вычислить пределы функций в точке:

а) ; б) ; в) ; г) ;

 

2. Вычислить пределы функций на бесконечности:

а) ; б) ; в) ; г) ;

 

3. Вычислить, используя замечательные пределы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

 

4. Контрольные вопросы:

1. Что называется пределом функции в точке? На бесконечности?

2. Какие свойства пределов функций вы знаете?

3. Как раскрывать неопределенности?

4. Какие замечательные пределы вы знаете?

5. Содержание отчёта:

5.1 Наименование работы

5.2 Цель работы

5.3 Задание

5.4 Формулы для расчета

5.5 Необходимые расчеты. Анализ результатов расчетов

5.6 Выводы по работе

5.7 Ответы на контрольные вопросы

6. Литература:

1. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика в 2-х томах Учебное пособие - М. Новая волна, 2005, ч.1, с. 193-215;

2. Подольский В. А. Сборник задач по математике: Учебное пособие - М. Высшая школа,

2003, с. 164-191;

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов – учебник для вузов – М.: Юнити, 2003, с. 141-166;

4. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике» - Учебное пособие – М.:Высш. школа, 2003, с. 76-87.