При распространении бегущей волны возникает поток энергии, пропорциональный скорости волны и квадрату ее амплитуды.

Бегущие волны распространяются в средах с определенными скоростями, зависящими от типа волны, а также от инертных и упругих свойств среды.

Скорость поперечных волн в натянутой струне или резиновом жгуте зависит от погонной массы μ (то есть массы единицы длины) и силы натяжения T:

 

Скорость распространения продольных волн в безграничной среде определяется плотностью среды ρ (то есть массой единицы объема) и модулем всестороннего сжатия B, который равен коэффициенту пропорциональности между изменением давления Δp и относительным изменением объема ΔV / V, взятому с обратным знаком:

 

Выражение для скорости распространения продольных волн в безграничных средах имеет вид

 

Например, при температуре 20 °С скорость распространения продольных волн в воде υ ≈ 1480 м/с, в различных сортах стали υ ≈ 5–6 км/с.

При распространении продольных волн в упругих стержнях в формулу для скорости волн вместо модуля всестороннего сжатия B входит модуль Юнга E (см. §1.12):

 

Для стали отличие E от B невелико, для других материалов оно может составлять 20–30 % и даже больше.

Если механическая волна, распространяющаяся в среде, встречает на своем пути какое-либо препятствие, то она может резко изменить характер своего поведения. Например, на границе раздела двух сред с разными механическими свойствами волна частично отражается, а частично проникает во вторую среду. Волна, бегущая по резиновому жгуту или струне отражается от неподвижно закрепленного конца; при этом появляется волна, бегущая во встречном направлении. В струне, закрепленной на обоих концах, возникают сложные колебания, которые можно рассматривать как результат наложения (суперпозиции) двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях и испытывающих отражения и переотражения на концах. Колебания струн, закрепленных на обоих концах, создают звуки всех струнных музыкальных инструментов. Очень похожее явление возникает при звучании духовых инструментов, в том числе органных труб.

Если волны, бегущие по струне во встречных направлениях, имеют синусоидальную форму, то при определенных условиях они могут образовать стоячую волну.

Пусть струна длины l закреплена так, что один из ее концов находится в точке x = 0, а другой – в точке x = l (рис. 2.6.5). В струне создано натяжение T.

Рисунок 2.6.5. Образование стоячей волны в струне, закрепленной на обоих концах.

По струне одновременно распространяются в противоположных направлениях две волны одной и той же частоты:

• y₁(x, t) = A cos (ωt + kx) – волна, бегущая справа налево;
• y₂(x, t) = –A cos (ωt – kx) – волна, бегущая слева направо.

В точке x = 0 (один из закрепленных концов струны) падающая волна y₁ в результате отражения порождает волну y₂. При отражении от неподвижно закрепленного конца отраженная волна оказывается в противофазе с падающей. Согласно принципу суперпозиции

y = y1 + y2 = (–2A sin ωt) sin kx.

 

Это и есть стоячая волна. В стоячей волне существуют неподвижные точки, которые называются узлами. Посередине между узлами находятся точки, которые колеблются с максимальной амплитудой. Эти точки называются пучностями.

Оба неподвижных конца струны должны быть узлами. Приведенная выше формула удовлетворяет этому условию на левом конце (x = 0). Для выполнения этого условия и на правом конце (x = l), необходимо чтобы kl = nπ, где n – любое целое число. Это означает, что стоячая волна в струне возникает не всегда, а только в том случае, если длина l струны равняется целому числу полуволн:

 

Набору значений λ_n длин волн соответствует набор возможных частот f_n:

где – скорость распространения поперечных волн по струне. Каждая из частот и связанный с ней тип колебания струны называется нормальной модой. Наименьшая частота f₁ называется основной частотой, все остальные (f₂, f₃, …) называются гармониками. На рис. 2.6.5 изображена нормальная мода для n = 2.

В стоячей волне нет потока энергии. Колебательная энергия, заключенная в отрезке струны между двумя соседними узлами, не транспортируется в другие части струны. В каждом таком отрезке происходит периодическое (дважды за период T) превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно как в обычной колебательной системе. Но в отличие от груза на пружине или маятника, у которых имеется единственная собственная частота струна обладает бесчисленным количеством собственных (резонансных) частот f_n. На рис. 2.6.6 изображены несколько типов стоячих волн в струне, закрепленной на обоих концах.

Рисунок 2.6.6. Первые пять нормальных мод колебаний струны, закрепленной на обоих концах.

В соответствии с принципом суперпозиции стоячие волны различных типов (то есть с разными значениями n) могут одновременно присутствовать в колебаниях струны.

Звук

Звуковыми волнами или просто звуком принято называть волны, воспринимаемые человеческим ухом. Диапазон звуковых частот лежит в пределах приблизительно от 20 Гц до 20 кГц. Волны с частотой менее 20 Гц называются инфразвуком, а с частотой более 20 кГц – ультразвуком. Волны звукового диапазона могут распространяться не только в газе, но и в жидкости (продольные волны) и в твердом теле (продольные и поперечные волны). Однако волны в газообразной среде – среде нашего обитания – представляют особый интерес. Изучением звуковых явлений занимается раздел физики, который называют акустикой.

При распространении звука в газе атомы и молекулы колеблются вдоль направления распространения волны. Это приводит к изменениям локальной плотности ρ и давления p. Звуковые волны в газе часто называют волнами плотности или волнами давления.

В простых гармонических звуковых волнах, распространяющихся вдоль оси OX, изменение давления p(x, t) зависит от координаты x и времени t по закону

p(x, t) = p0 cos (ωt ± kx).

 

Два знака в аргументе косинуса соответствуют двум направлениям распространения волны. Соотношения между круговой частотой ω, волновым числом k, длиной волны λ, скоростью звука υ такие же, как и для поперечных волн в струне или резиновом жгуте (см. §2.6):

 

Важной характеристикой звуковых волн является скорость их распространения. Она определяется инертными и упругими свойствами среды. Скорость распространения продольных волн в любой безграничной однородной среде определяется по формуле (см. §2.6)

где B – модуль всестороннего сжатия, ρ – средняя плотность среды. Еще Ньютон пытался получить числовое значение скорости звука в воздухе. Он предположил, что упругость воздуха просто равна атмосферному давлению p_атм. Тогда скорость звука в воздухе получается меньшей 300 м/с, в то время, как истинная скорость звука при н ормальных условиях (то есть при температуре 0 °С и давлении 1 атм) равна 331,5 м/с, а скорость звука при температуре 20 °С и давлении 1 атм равна 343 м/с. Только через сто с лишним лет французский ученый П. Лаплас показал, что предположения Ньютона равносильно предположению о быстром выравнивании температуры между областями разрежения и сжатия. Это предположение из-за плохой теплопроводности воздуха и малого периода колебаний в звуковой волне не выполняется. На самом деле между областями разрежения и сжатия газа возникает разность температур, которая существенно влияет на упругие свойства. Лаплас предположил, что сжатие и разрежение газа в звуковой волне происходят по адиабатическому закону (см. §3.8), то есть без влияния теплопроводности. Формула Лапласа (1816 г.) имеет вид

где p – среднее давление в газе, ρ – средняя плотность, γ – некоторая константа, зависящая от свойств газа. Для двухатомных газов γ = 1,4. Расчет скорости звука по формуле Лапласа дает значение υ = 332 м/с (при нормальных условиях).

В термодинамике доказывается, что коэффициент γ равен отношению теплоемкостей при постоянном давлении C_p и при постоянном объеме C_V (см. §3.10). Формулу Лапласа можно представить в другом виде, если воспользоваться уравнением состояния идеального газа (см. §3.3). Приведем здесь окончательное выражение:

где T – абсолютная температура, M – молярная масса, R = 8,314 Дж/моль·К – универсальная газовая постоянная. Скорость звука сильно зависит от свойств газа. Чем легче газ, тем больше скорость звука в этом газе. Так, например, в воздухе (M = 29·10^–3 кг/моль) при нормальных условиях υ = 331,5 м/с, в гелии (M = 4·10^–3 кг/моль) υ = 970 м/с, в водороде (M = 2·10^–3 кг/моль) υ = 1270 м/с.

В жидкостях и твердых телах скорость звуковых волн еще больше. В воде, например, υ = 1480 м/с (при 20 °С), в стали υ = 5–6 км/с.

При восприятии различных звуков человеческое ухо оценивает их прежде всего по уровню громкости, зависящей от потока энергии или интенсивности звуковой волны. Воздействие звуковой волны на барабанную перепонку зависит от звукового давления, то есть амплитуды p₀ колебаний давления в волне. Человеческое ухо является совершенным созданием Природы, способным воспринимать звуки в огромном диапазоне интенсивностей: от слабого писка комара до грохота вулкана. Порог слышимости соответствует значению p₀ порядка 10^–10 атм, то есть 10^–5 Па. При таком слабом звуке молекулы воздуха колеблются в звуковой волне с амплитудой всего лишь 10^–7 см! Болевой порог соответствует значению p₀ порядка 10^–4 атм или 10 Па. Таким образом, человеческое ухо способно воспринимать волны, в которых звуковое давление изменяется в миллион раз. Так как интенсивность звука пропорциональна квадрату звукового давления, то диапазон интенсивностей оказывается порядка 10¹²! Такой огромный диапазон человеческого уха эквивалентен использованию одного и того же прибора для измерения диаметра атома и размеров футбольного поля.

Для сравнения укажем, что при обычных разговорах людей в комнате интенсивность звука приблизительно в 10⁶ раз превышает порог слышимости, а интенсивность звука при рок-концерте приближается к болевому порогу.

Еще одной характеристикой звуковых волн, определяющей их слуховое восприятие, является высота звука. Колебания в гармонической звуковой волне воспринимаются человеческим ухом как музыкальный тон. Колебания высокой частоты воспринимаются как звуки высокого тона, колебания низкой частоты – как звуки низкого тона. Звуки, издаваемые музыкальными инструментами, а также звуки человеческого голоса могут сильно различаться по высоте тона и по диапазону частот. Так, например, диапазон наиболее низкого мужского голоса – баса – простирается приблизительно от 80 до 400 Гц, а диапазон высокого женского голоса – сопрано – от 250 до 1050 Гц.

Диапазон звуковых колебаний, соответствующий изменению частоты колебаний в два раза, называется октавой. Голос скрипки, например, перекрывает приблизительно три с половиной октавы (196–2340 Гц), а звуки пианино – семь с лишним октав (27,5–4186 Гц).

Когда говорят о частоте звука, издаваемого струнами любого струнного музыкального инструмента, то имеется в виду частота f₁ основного тона (см. §2.6). Но в колебаниях струн могут присутствовать и гармоники, частоты f_n которых удовлетворяют соотношению:

fn = nf1, (n = 1, 2, 3...).

 

Поэтому звучащая струна может излучать целый спектр волн с кратными частотами. Амплитуды A_n этих волн зависят от способа возбуждения струны (смычок, молоточек); они определяют музыкальную окраску звука или тембр. Аналогично обстоит дело с духовыми музыкальными инструментами. Трубы духовых инструментов являются акустическими резонаторами. При определенных условиях в воздухе внутри труб возникают стоячие звуковые волны. На рис. 2.7.1 показаны несколько типов стоячих волн (мод) в органной трубе, закрытой с одного конца и открытой с другого. Звуки, издаваемые трубами духовых инструментов, состоят из целого спектра волн с кратными частотами.

Рисунок 2.7.1. Стоячие волны в органной трубе, закрытой с одного конца и открытой с другого. Стрелками показаны направления движения частиц воздуха в течение одного полупериода колебаний.

При настройке музыкальных инструментов часто используется устройство, называемое камертоном. Оно состоит из деревянного акустического резонатора и скрепленной с ним металлической вилки, настроенных в резонанс. При ударе молоточком по вилке вся система возбуждается и издает чистый музыкальный тон.

Акустическим резонатором является и гортань певца. На рис. 2.7.2 представлены спектры звуковых волн, испускаемых камертоном, струной пианино и низким женским голосом (альт), звучащими на одной и той же ноте.

Рисунок 2.7.2. Относительные интенсивности гармоник в спектре звуковых волн, испускаемых камертоном (1), пианино (2) и низким женским голосом (альт) (3), звучащими на ноте «ля» контроктавы (f1 = 220 Гц). По оси ординат отложены относительные интенсивности I / I0.

Звуковые волны, частотные спектры которых изображены на рис. 2.7.2, обладают одной и той же высотой, но различными тембрами.

Рассмотрим теперь явление, возникающее при наложении двух гармонических звуковых волн с близкими, но все же несколько отличающимися частотами. Это явление носит название биений. Оно возникает, например, при одновременном звучании двух камертонов или двух гитарных струн, настроенных на почти одинаковые частоты. Биения воспринимаются ухом как гармонический тон, громкость которого периодически изменяется во времени. Пусть звуковые давления p₁ и p₂, действующие на ухо, изменяются по законам

p1 = A0 cos ω1t и p2 = A0 cos ω2t.

 

Для простоты будем считать, что амплитуды колебаний звуковых давлений одинаковы и равны p₀ = A₀.

В соответствии с принципом суперпозиции полное давление, вызываемое обеими волнами в каждый момент времени, равно сумме звуковых давлений, вызываемых в тот же момент времени каждой волной в отдельности.

Суммарное действие обеих волн можно представить с помощью тригонометрических преобразований в виде

где , а

На рис. 2.7.3(1) изображены зависимости давлений p₁ и p₂ от времени t. В момент времени t = 0 оба колебания находятся в фазе, и их амплитуды складываются. Так как частоты колебаний несколько отличаются друг от друга, через некоторое время t₁ колебания окажутся в противофазе. В этот момент суммарная амплитуда обратится в нуль (колебания «гасят» друг друга). К моменту времени t₂ = 2t₁ колебания снова окажутся в фазе и т. д. (рис. 2.7.3 (2)).

Минимальный интервал между двумя моментами времени с максимальной (или минимальной) амплитудой колебаний называется периодом биений T_б. Медленно изменяющаяся амплитуда A результирующего колебания равна

 

Период T_б изменения амплитуды равен 2π / Δω. Это можно показать и другим способом, предположив, что периоды колебаний давлений в звуковых волнах T₁ и T₂ таковы, что T₁ < T₂ (то есть ω₁ > ω₂). За период биений T_б происходит некоторое число n полных циклов колебаний первой волны и (n – 1) циклов колебаний второй волны:

Tб = nT1 = (n – 1)T2.

 

Отсюда следует:

 

Частота биений f_б равна разности частот Δf двух звуковых волн, воспринимаемых ухом одновременно.

Человек воспринимает звуковые биения до частот 5–10 Гц. Прослушивание биений является важным элементом техники настройки музыкальных инструментов.

Рисунок 2.7.3. Биения, возникающие при наложении двух звуковых волн с близкими частотами.

Эффект Доплера

Если источник звука и наблюдатель движутся друг относительно друга, частота звука, воспринимаемого наблюдателем, не совпадает с частотой источника звука. Это явление носит название эффекта Доплера (1842 г.).

Звуковые волны распространяются в воздухе (или другой однородной среде) с постоянной скоростью, которая зависит только от свойств среды. Однако, длина волны и частота звука могут существенно изменяться при движении источника звука и наблюдателя.

Рассмотрим простой случай, когда скорость источника υ_И и скорость наблюдателя υ_Н относительно среды направлены вдоль прямой, которая их соединяет. За положительное направление для υ_И и υ_Н можно принять направление от наблюдателя к источнику. Скорость звука υ всегда считается положительной.

Рисунок 2.8.1. Эффект Доплера. Случай движущегося наблюдателя. Последовательные положения наблюдателя показаны через период TН звука, воспринимаемого наблюдателем.

Рис. 2.8.1 иллюстрирует эффект Доплера в случае движущегося наблюдателя и неподвижного источника. Период звуковых колебаний, воспринимаемых наблюдателем, обозначен через T_Н. Из рис. 2.8.1 следует:

υНTН + υTН = λ.

 

Принимая во внимание и получим:

 

Если наблюдатель движется в направлении источника (υ_Н > 0), то f_Н > f_И, если наблюдатель движется от источника (υ_Н < 0), то f_Н < f_И.

Рисунок 2.8.2. Эффект Доплера. Случай движущегося источника. Последовательные положения источника показаны через период T звука, излучаемого источником.

На рис. 2.8.2 наблюдатель неподвижен, а источник звука движется с некоторой скоростью υ_И. В этом случае согласно рис. 2.8.2 справедливо соотношение:

υt + υИT = υ(t – T) + λ или (υИ + υ)T = λ,

где и

Отсюда следует:

 

Если источник удаляется от наблюдателя, то υ_И > 0 и, следовательно, f_Н < f_И. Если источник приближается к наблюдателю, то υ_И < 0 и f_Н > f_И.

В общем случае, когда и источник, и наблюдатель движутся со скоростями υ_И и υ_Н, формула для эффекта Доплера приобретает вид:

 

Это соотношение выражает связь между f_Н и f_И. Скорости υ_И и υ_Н всегда измеряются относительно воздуха или другой среды, в которой распространяются звуковые волны. Это так называемый нерелятивистский Доплер-эффект.

В случае электромагнитных волн в пустоте (свет, радиоволны) также наблюдается эффект Доплера. Так как для распространения электромагнитных волн не требуется материальная среда, можно рассматривать только относительную скорость υ источника и наблюдателя. Выражение для релятивистского Доплер-эффекта имеет вид

где c – скорость света. Когда υ > 0, источник удаляется от наблюдателя и f_Н < f_И, в случае υ < 0 источник приближается к наблюдателю, и f_Н > f_И.

Доплер-эффект широко используется в технике для измерения скоростей движущихся объектов («доплеровская локация» в акустике, оптике и радио).