Выделим элементарный объем 
трубки тока, ограниченный двумя близкорасположенными поверхностями, ортогональными к линиям тока.
Рис. 1
Пусть точка наблюдения 
принадлежит одной из этих поверхностей (см. рис.1). Будем считать, что трубка тока и поверхности выбраны так, что - физически бесконечно малый объем, так что внутри этого объема характеристики заряженной среды от точки к точке не меняются. Тогда ясно, что указанные поверхности – участки параллельных плоскостей, перпендикулярных к линиям тока. Ясно также, что выделенный объем есть цилиндр (не обязательно круглый!) с площадью основания 
(значок «
» показывает, что площадка перпендикулярна линиям тока; полагаем, что - физически бесконечно малая площадь) и высотой 
. Здесь - расстояние между указанными плоскостями, 
- векторный элемент линии тока. Объем можно записать через скалярное произведение 
, где 
= 
, направление орта 
совпадает с направлением скорости 
переноса заряда. Внутри объема находится заряд 
, который покинет выделенный объем за время 
: 
= 
. Очевидно, что
, (7)
откуда в силу (5)
(8)
Обозначим через 
силу тока через элемент поверхности . Ясно, что 
, где элементарный заряд 
определяется формулой (7). Тогда
, (9)
где 
- сила тока (в момент времени 
) через элемент поверхности , содержащий точку 
. Соотношение (9) проясняет смысл термина «плотность тока».
Как известно, направление вектора 
определяется ортом 
. Поэтому из соотношения (9) следует:
. (10)
Соотношение (9) можно рассматривать в качестве физического21 определения вектора .
Объемная плотность тока 
есть вектор, направление которого совпадает с направлением тока в точке в момент времени , а величина определяется из соотношения (10). Другими словами: пусть есть физически бесконечно малая площадь, содержащая точку и перпендикулярная линии тока в этой точке; величина объемной плотности тока 
вводится так, чтобы произведение 
равнялось силе тока 
через элемент в момент времени .
Единица измерения плотности тока:[А/м2]. (СИ).
Рассмотрим теперь ток через элемент площади 
(физически бесконечно малый), содержащий точку и произвольно ориентированный по отношению к линии тока в этой точке. Не ограничивая общности, будем считать элемент плоским и будем считать, что граница элемента принадлежит трубке тока, о которой говорилось выше. См. рис. 2. Пусть 
- орт положительной нормали к элементу .
Рис. 2
Важно: силе протекающего через площадку тока нужно приписывать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от того, протекает ли ток через в направлении произвольно выбранной положительной нормали к этой площадке или же в обратном ей направлении. (Тамм, стр.137-138).
Сила тока 
через ориентированную площадку 
такая же, как сила тока 
через площадку , если 
, и противоположна по знаку, если 
, т.е.
. (12)
Ясно, что
.
Следовательно,
.
Окончательно,
. (13)
Очевидно, что интеграл
(14)
по любой кусочно-гладкой поверхности 
равен силе тока 
через эту поверхность в момент времени .
Интеграл (14) есть поток векторного поля 
через поверхность . Соотношение (14) также можно принять за определение (математическое) силы тока.
Итак, сила тока - интегральная характеристика электрического тока, определяемая математически как поток вектора через любую поверхность .
Заметим, что в силу (13)
, (19)
где 
- проекция вектора на положительную нормаль к .
Задача. Движение зарядов происходит в цилиндрической области. Радиус цилиндра 
, ось цилиндра совмещена с осью 
. Распространение заряда происходит в направлении 
. Будем считать, что цилиндр имеет бесконечную протяженность вдоль оси . Сила тока в любом сечении цилиндра плоскостью 
постоянна и равна 
. В каждый момент времени объемная плотность заряда в любой точке внутри цилиндра равна 
, где 
- полярный радиус, 
- коэффициент пропорциональности. На единицу длины цилиндра приходится заряд 
. Найдите объемные плотности заряда и тока.
Решение.
. (Ф1)
Пусть область 
- отрезок цилиндра единичной длины.
.
Следовательно,
, (Ф2)
где - поперечное сечение цилиндра.
. (Ф3)
Поэтому в силу (Ф2) и (Ф3)
. (Ф4)
Возвращаясь к (Ф1), получаем:
. (Ф5)
Пусть - скорость переноса заряда. В нашем случае 
.
Объемная плотность тока
. (Ф5)
Остается найти величину 
скорости переноса заряда.
Частицы проходят отрезок единичной длины за время 
.
,
откуда
(Ф6)
Окончательно получаем:
. (Ф7)
Поверхностный и линейный токи.Если вдоль заряженной поверхности имеет место направленное движение носителей заряда, говорят о поверхностном токе, распределение которого описывается плотностью поверхностного тока
,
где - локальная средняя скорость частиц, направленная по касательной к линии тока. Плотность реального объемного и модельного поверхностного токов можно связать предельным переходом
,
где h -толщина слоя движущихся зарядов [Кураев, с.13, Батыгин с. 134].
Аналогично движение зарядов вдоль заряженной нити называют линейным током32. Его характеристика - плотность линейного тока (линейная плотность тока)
.
Очевидно, что плотность линейного тока равна заряду, переносимому в единицу времени через точку на линии тока, т.е. току, текущему вдоль нити
,
(см. размерности), 
- единичный вектор вдоль линии тока (см. выше).
Действительно, пусть элемент нити 
содержит точку .
,
где - заряд элемента нити; 
.
Следовательно,
, 
.
