Задания для контрольной работы. Число А называется пределом функции f(х) при х, стремящемся к х0, если для любого > 0 существует такое

Предел функции

Число А называется пределом функции f(х) при х, стремящемся к х₀ _,если для любого > 0 существует такое > 0, что для всех х, удовлетворяющих условиям |х –х₀ | < ,имеет место неравенство | f(х) – А | < .

Другими словами, если функция f(х) стремится к величине А, когда переменная х стремится к точке х _о, то величина А называется пределом функции при х®х ₀:

f(х) = А

Символ «lim» - сокращение от слова «лимит», то есть предел. Значения А и x ₀ могут быть как конечными, так и бесконечными.

Для числовой последовательности предел определяется так:

число а называется пределом последовательности х _n если для любого сколь угодно малого положительного числа ε можно указать такой номер N, что при всяком n ≥ N абсолютная величина разности между значением х_n и числом а меньше ε.

Теоремы о пределах

Если f(х) = А и g(х) = В, причем А и В конечны, то

1. Предел суммы функций равен сумме пределов этих функций:

(f(х) + g(х)) = А + В;

2. Постоянный множитель c может быть вынесен из-под знака предела:

cf(х) = сА при с = const;

3.Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:

(f(х) g(х)) = АВ;

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций:

при B 0.

3.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Если α (х) = 0, то функция α (х) называется бесконечно малой при стремлении х к х_0..,

Если f(х) =∞, то функция f(х) называется бесконечно большой при

стремлении х к х₀.

Например, бесконечно малыми функциями являются функции х², х³

при х ® 0, и эти же функции являются примером бесконечно больших функций, когда х ® ¥ (когда х стремится к «бесконечности»).

• Функция, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой, и наоборот.

Бесконечно малые функции обычно обозначаются греческими буквами a(х), b(х) и т.д.

Две бесконечно малые функции называются эквивалентными a(х) ~ b(х) при х®х₀, если предел их отношения равен «1».

Две бесконечно малые функции называются одного порядка малости при х®х₀, если предел их отношения равен С, где С ¹0 – постоянное число.

Бесконечно малая функция a(х) при х®х₀ называется бесконечно малой более высокого порядка, чем бесконечно малая b(х) при х®х₀, если

=0

,• Вычисление предела отношения двух бесконечно малых или двух
бесконечно больших функций называется раскрытием неопределенности.

Пример1. Для выполнения контрольного задания «Пределы функций»

Вычислить значения пределов одной дроби для случаев а), б).

при а) х₀= - 2, б) х₀= ∞.

Решение

1а) при х₀= - 2

В данном случае, для вычисления предела дроби вместо переменной х подставляется число «-2», к которому переменная х стремится, и производится непосредственное вычисление предела дроби.

1б) при х₀ = ¥

В данном случае возникла неопределенность вида ().

Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень х²:

2х² – х- 1 = 2 – 1/х – 1/ х² = 2, так как отбросили две бесконечно малые величины при стремлении х к «бесконечности»;

4х² – 5х + 1 = 4 – 5/ х + 1/ х² =4, так как отбросили две бесконечно малые величины при стремлении х к «бесконечности». Получаем:

= ;

Ответ: Переменная величина дроби стремится к при х ®¥.

Пример 2:

Вычислить предел функции:

при х₀ = 0

Решение:

При подстановке нуля вместо х в дробь возникла неопределенность вида(), которую нужно раскрыть. В данном случае нужно сократить числитель и знаменатель дроби на общий множитель х, который стремится к 0, и избавиться от неопределенности.

= = 3.

3.4. Замечательные пределы

(1 + )^х = ℮

Пример 3

Вычислить предел функции, используя второй замечательный предел:

(

Решение:

Если переменная х стремится к бесконечно большой величине, то 5х также стремится к бесконечности. В подобных примерах нужно с помощью дополнительного домножения и деления в показателе степени привести пример по структуре похожий на замечательный предел. В показатель степени добавляем множитель 5, так как в знаменателе дроби стоит 5х, затем показатель делим на 5, чтобы общий показатель степени не изменился.

( =[(1+ = ℮

3.5. Непрерывность функции

Функция называется непрерывной в точке х = х₀, если она определена в некоторой окрестности этой точки, существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке:

= f(x₀)

Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. График функции, непрерывной на промежутке, изображается сплошной, то есть непрерывной, линией на этом промежутке. Точки, в которых нарушается непрерывность функции. Называются точками разрыва этой функции.

Левосторонний предел функции -предел функции при стремлении х к х₀ слева.

Правосторонний предел функции – предел функции при стремлении х к х₀ справа.

Для существования предела функции f(х) при х ®х₀ необходимо и достаточно, чтобы левосторонний и правосторонний пределы функции были равны в этой точке.

Если левосторонний и правосторонний пределы функции в точке х₀ равны значению f (х₀), функция f(х) непрерывна в точке х_0.

В противном случае точка х₀ является точкой разрыва.

Точкой разрыва первого рода называется такая точка разрыва, в которой левосторонний и правосторонний пределы имеют конечные неравные значения, причем разность между ними называется скачком.

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует, то возникает разрыв второго рода.

Если f(х) и g (х) – непрерывные функции, то их сумма, разность и произведение также непрерывны. Отношение (частное) этих функций - непрерывная функция, кроме тех точек х₀, в которых g (х₀) = 0.

3.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Теорема о промежуточных значениях.

Если непрерывная на отрезке [a,b] функция принимает на концах этого отрезка значения А и В, то на этом отрезке она принимает все промежуточные значения между А и В.

Следствие. Если значения А и В разных знаков, то существует хотя бы одна точка с в интервале (a,b), в которой f(x) = 0.

На основе данного следствия получен метод численного нахождения корней уравнения f(х) = 0.