1. .
2. .
3. , .
4. .
5. .
, . , . , , , .
, 3.1.
Cij, , , , Ri Jj. Cij .
, , , , . ( ) , ( ). . , , , .
( ), ij I, Ji, ijCij, .
, , , , (bi), (aj) (Ci,j) .
Σbi (i = 1m) Σaj (i =1n), () . Σaj ≠ Σbi, (). , . , . , . , .
3.1.
3.2.2.1
. , , 1, 2,, . N ; B1, B2, , BN . , , :
|
|
( ): Cij, i =1, , M, j =1, , N.
(, ), , .
, .. .
:
3.1. (1, 2, 3, 4) (1, 2, 3). 1 40 , 2 50 , 3 60 , 4 30 . 1 60 , 2 80 , 3 40 . ( . .), , . 3.2.
3.2
1 | 2 | 3 | |
1 | |||
2 | |||
3 | |||
4 |
, , .
. Xij, i =1,,4, j=1,,3, , i- j- .
180 ; 180 . . , , :
x11 + x12 + x13 = 40
x21 + x22 + x23 = 50
x31 + x32+ x33 = 60
x41 + x42 + x43= 30.
, . , , :
x11 + x21 + x31+ x41= 60
x12 + x22+ x32 + x42= 80
x13 + x23 + x33 + x43= 40.
, :
x ij³0, i =1,,4, j=1,,3.
:
= 4x11 + 3x12+ 5x13 + 6x21 + 2x22 + 1x23 + 10x31 + 4x32+ 7x33 + 8x41 + 6x42 + +3x43 min.
-, . - , . , .
, , . ( xij), , . 5.1 3.3.
3.3
|
|
1 | 2 | 3 | ||
1 | ||||
2 | ||||
3 | ||||
4 | ||||
:
, .. , , ;
, .. .
3.2.2.2
. . , - , , .
. , , .
. , .. Cij, i =1, , M, j =1, , N. i - j- ( i ³ j), j- i - : ij = j. i - j ( i = i j), j- , (j- ). , j- , i - ( i £ j), i - j- : ij = i. j- i ( j = j i), i - (i - ). , , . , .
. i - j- ( i = j), , ( ). , , 0 . , , 0 . . 3.5.
3.1. , .. 2 3. 2 50 , 3 - 40 . l 40 . 1 40 ( 10 ), , (. 3.4.)
(. . 5.4) . 2 2. 10 ( 40 ), 80 . 2 2 . 2 , 2 10 (. 3.5 ).
3.4 3.5
(. . 3.5) 1 2. 1 40 , 2 70 ( 10 2). 1 2 . 1 , 2 40 (. 3.6).
|
|
(. . 3.6) 3 2. 3 60 , 2 30 . 3 2 30 . 3 30 ( 30 ), 2 , (. 3.7).
3.6 3.7
(. . 3.7) 4 1. 4 30 , 1 60 . 4 1 . 4 , 1 30 (. 3.8).
(30 ) 3. 1 ( ). 3 1 30 . .
3.8 3.9
. 3.9. 1 40 2; 2 10 2 40 3; 3 30 1 30 2; 4 30 1.
, :
x12 =40, x22 =10, x23 =40, x31 =30, x32 =30, x41 =30; . 840 . .
, , , () .
, M+N-1, ̖ , N .
. (. 3.5). M+N-1.
3.2.2.3 .
( ) , - . , , . 3.10.
3.10
Ui, Vj, Cij .. .
3.1.
1. Ui Vj, i=1, , , j= 1, , N:
Ui + Vj = Cij, (3.1)
Cij , .
+ N 1 (.. ). Ui ( ) , Vj () .
(3.1) :
U1 + V2=3
U2 + V2=2
U2 + V3=1
U3 + V1=10
U3+ V2=4
U4 + V1=8.
2. (3.1) . () + N, + N 1 , ( U1) .
|
|
. U1=0. V2=3 ( ). V2=3 U2 =1. V3=2. V2=3 U3=1. , : V1=9, U4=1 ( ). (. . 3.10, 3.11).
3. (). , ђ11 = U1 + V1=9, ђ13 = U1 + V3=2, .. . . . 3.11 .
4. : Dij = ij ђij . , D11 = 11ђ11= 5, D13 = 13ђ13= 3, .. . 3.11 .
5. Dij Dij ³0, , . Dij £0, .
6. . , Dij . ij , i - j- . .
Dij: D11 = 5 D21 = 2. D11. , 11.
. Dij ( ), .
7. . .
3.1. x11, 1 1. 1 ( 40 ), 2, .. x12. 2 (80 ), , - , , . 2 : 2 3. 2 3, (40 ) 2. 2 3 ( 32 ). 3 , - 2 - , 1 ( x31). 1 , 1. , . , , , . . 3.11.
. Dij £0, , .
3.11
, , . x rs. x31. x rs , r- s- .
. , , , .
8. ( ). , , x rs, . .
x rs = x31 =30 ( , 3 1 ). , , 30; , 30 . , , 30. . 5.12. (x ij) ( ij), : =690. , .
|
|
. , x rs, 7. , . 5.5.
9. 1.
3.1. (3.1), :
U1 + V1=4
U1 + V2=3
U2 + V2=2
U2 + V3=1
U3+ V2=4
U4 + V1=8.
U1 =0, : V1 =4, V2 =3, U2 = 1, V3 =2, U3 =1, U4 =4 ( ). , . . 3.12.
: D42 = 1 D43 = 3. , . x43 . , , .
3.12
x43, 4 3. 4 - ( ). 1. 1 , 1, .. x11. - 1 1 2 ( x12). 2 , , - , , . 2 2 3; 3 , 2 (60 ). 2 2 ( x22). - 2 3 ( x23). 3 , 4 ( x43 ). , (. . 3.12).
x12=10, . , 1 2 .
: , x rs = x12=10, 10. . 3.13. ( ) =660 .
3.13
(3.1), :
U1 + V1=4
U2 + V2=2
U2 + V3=1
U3+ V2=4
U4 + V1=8.
U4+ V3=3
. 3.14 (Ui + Vj), (ђij), (Dij). Dij . , .
3.14
, . 1 40 1; 2 20 2 30 3; 3 60 2; 4 20 1 10 3. , :
x11 =40, x22 =20, x23 =30, x32 =60, x41 =20, x43 =10; . 660 ..
3.2.2.4
, :
, ( i=1,...,m; j=1,...,n) (3.4.1)
, , . , (3.4.1) . .
, , , .
. , .. . . , .
2- :
1.
, ( i=1,...,m; j=1,...,n)
2.
, ( i=1,...,m; j=1,...,n)
, .
:
3.2.2.4.1
1, 2, A1, A2,..., Am; 1, 2, , N B1, B2,..., Bn,
, ( i=1,...,m; j=1,...,n)
(X), , .
, - -, .
n
∑Xi,j ≤ i (i=1,..., m);
j=1
M
∑ Xi,j = j (j=1,..., n).
i=1
, . , , -. , . , n 1, 2, , N, , , N+1, , :
( i=1,...,m; j=1,...,n),
N+1 . N+1 N+1 .
- , .
, . . .
3.2.2.4.2
, +1 +1 .
.
3.2. 3.1 3 45 . , .
165 , 180 . , . (165 ).
. , , .. 15 . 5. . . 3.15.
, . , .
. . . 3.16. ( ) 690 ..
. . . 3.17.
3.15 3.16
3.17
. 1 40 1; 2 35 2 15 3; 3 45 2; 4 5 1 25 3. , , , , . , 1 15 , (.. 45 60 ). 540 ..
3.3. 3.2. . : 1 .
3.2, ( 5) 15 . 1 (, 1000 ..). . . 3.18.
. , . (. 3.19), (. 3.20). . 5 1 (.. ), .
3.18
3.19 3.20
. 1 40 1; 2 20 2 30 3; 3 45 2; 4 20 1 10 3. 2 15 , (.. 65 80 ). 600 ..
3.4. 3.2 . : . , , .
, . , .. . .
180, 165. , , 165/180=0,917.
, (). 1 60 ∙ 0,917 = 55,02 , 2 80 ∙ 0,917 = 73,36 , 3 40 ∙ 0,917 = 36,68 . ( , ). . 5.21.
. . 3.22.
3.21 3.22
, . 1 40 1; 2 28 2 22 3; 3 45 2; 4 15 1 15 3. 1 60-55=5 , 2 80-73=7 , 3 40-37=3 . 583 ..
3.2.2.5
(3.1) , , M+N-1. , . . :
, ;
, , .
, .
3.5. (1 2) (1, 2, 3). (), () (..) . 3.23.
3.23
, .
, 3.2.2.2 3.2.2.3.
. (6 .. ) 2 2. 2 2 15 , 45 , 15 . 2 ( ), 2 30 .
2 1. 2 1 (30 ). 2 1 30 . ( 2), ( 1), . 2 ( ). , 1 0 .
. 1 1 (14 .. ). 30 , 0 . 1 1 , 11=0 . 1 .
3 30 . 3. 1 3 30 . . . 3.24.
. 1 30 3; 2 30 1 15 2. 1080 ..
3.24
x11=0 , M+N-1 ( 4). 1 1 .
, . :
U1+V1=14
U1+V3=25
U2+V1=8
U2+V2=6
U1=0, : V1=14, V3=25, U2=6, V2=12. , Dij = ij ђij.
. 3.25. D23 . , . x23 . (. . 3.25).
3.25 3.26
, (x13 x21), , 30. ( ) . x21. : , , 30 (.. , ), , . x13 , ( x21). .3.26.
. :
U1+V1=14
U1+V3=25
U2+V2=6
U2+V3=10
: U1=0, V1=14, V3=25, U2=15, V2=21. , . . 3.27.
. , . , . 1 30 1; 2 15 2 30 3. 810 ..
3.27
1. .
2. .
1. .
2. ?
3. -?
4. .
5. .
6. , ?
7. .
8. .
9. ?
10. .
11. ?
12. ?
13. ?