Ранг и базис системы векторов

Определение 1. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы.

Определение 2. Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов.

Теорема. Любой вектор системы можно представить в виде линейной комбинациивекторов базиса системы. (Всякий вектор системы можно разложить по векторам базиса.) Коэффициенты разложения определяются для данного вектора и данного базиса однозначно.

Доказательство. Пусть система имеет базис .

1 случай. Вектор - из базиса. Следовательно, он равен одному из векторов базиса, допустим . Тогда =.

2 случай. Вектор - не из базиса. Тогда r > k.

Рассмотрим систему векторов . Данная система является линейно зависимой, так как - базис, т.е. максимальная линейно независимая подсистема. Следовательно, найдутся числа с ₁, с ₂, …, с _k, с, не все равные нулю, такие, что

= .

Очевидно, что (если с= 0, то базис системы является линейно зависимым).

Докажем, что разложение вектора по базису единственно. Предположим противное: имеется два разложения вектора по базису.

Вычитая эти равенства, получим

Учитывая линейную независимость векторов базиса, получим

Следовательно, разложение вектора по базису единственно.

Количество векторов в любом базисе системы одинаково и равно рангу системы векторов.

4. Если b⃗ =k⋅a⃗ b→=k⋅a→, то векторы a⃗ a→ и b⃗ b→ коллинеарны (пропорциональны).

S={a⃗₁,a⃗ 2,…,a⃗ s}S={a→1,a→2,…,a→s}, k1a⃗ 1,k2a⃗ 2,…,ksa⃗s - эта сумма называется линейной комбинацией системы S. Обозначается линейная оболочка Z(S).

Множество всех линейных комбинаций системы S называется оболочкой системы S.

Линейная оболочка системы S замкнута относительно операций: ∀a⃗,b⃗ ∈Z(S)⇒a⃗ +b⃗ ∈Z(S).

Линейная оболочка Z(S) является пространством. ∀λ∈P,∀a⃗ ∈Z(S)⇒λ⋅a⃗ ∈Z(S).

векторное пространство V (F) {\displaystyle V\left(F\right)} над полем F {\displaystyle F} — это упорядоченная четвёрка {\displaystyle (V,F,+,\cdot)}(V,F,+,*), где

· {\displaystyle V} V — непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами;

· {\displaystyle F} F — (алгебраическое) поле, элементы которого называются скалярами;

· Определена операция сложения векторов {\displaystyle V\times V\to V} V x V→V, сопоставляющая каждой паре элементов {\displaystyle \mathbf {x},\mathbf {y} } x,y множества {\displaystyle V} V единственный элемент множества {\displaystyle V} V, называемый их суммой и обозначаемый {\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} } x+y;

· Определена операция умножения векторов на скаляры {\displaystyle F\times V\to V} Fx V→V, сопоставляющая каждому элементу {\displaystyle \lambda } λ поля {\displaystyle F} F и каждому элементу {\displaystyle \mathbf {x} }x множества {\displaystyle V} V единственный элемент множества {\displaystyle V} V, обозначаемый {\displaystyle \lambda \cdot \mathbf {x} } λ*x или {\displaystyle \lambda \mathbf {x} } λx;

причём заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

1. {\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {y} +\mathbf {x} } x+y=y+x, для любых {\displaystyle \mathbf {x},\mathbf {y} \in V} x,y є V (коммутативность сложения);

2. {\displaystyle \mathbf {x} +(\mathbf {y} +\mathbf {z})=(\mathbf {x} +\mathbf {y})+\mathbf {z} } x+(y+z)=(x+y)+z, для любых {\displaystyle \mathbf {x},\mathbf {y},\mathbf {z} \in V} x, y, z є V (ассоциативность сложения);

3. существует такой элемент {\displaystyle \mathbf {0} \in V} 0 є V, что {\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {0} =\mathbf {x} } x+0=x для любого {\displaystyle \mathbf {x} \in V} x є V (существование нейтрального элемента относительно сложения), называемый нулевым вектором или просто нулём пространства {\displaystyle V} V;

4. для любого {\displaystyle \mathbf {x} \in V} x є V существует такой элемент- x є V {\displaystyle -\mathbf {x} \in V}, что {\displaystyle \mathbf {x} +(-\mathbf {x})=\mathbf {0} } x+(-x)=0, называемый вектором, противоположным вектору {\displaystyle \mathbf {x} } x;

5. {\displaystyle \alpha (\beta \mathbf {x})=(\alpha \beta)\mathbf {x} } α(βx)=(αβ)x (ассоциативность умножения на скаляр);

6. {\displaystyle 1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x} } 1 * x =x (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор).

7. {\displaystyle (\alpha +\beta)\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {x} } (α+β)x=αx+βx (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8. {\displaystyle \alpha (\mathbf {x} +\mathbf {y})=\alpha \mathbf {x} +\alpha \mathbf {y} } α(x+y)=αx+αy( дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Таким образом, операция сложения задаёт на множестве {\displaystyle V}V структуру (аддитивной) абелевой группы.

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами (например, множество пар действительных чисел {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}R² может быть двумерным векторным пространством над полем действительных чисел либо одномерным — над полем комплексных чисел).

Базис. Векторы {\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots,\mathbf {x} _{n}}x₁, x₂, …,x_n называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю:

α₁x₁+ α₂x₂+…+ α_nx_n=0, Iα₁I+ Iα₂I+…+ Iα_nI≠0. {\displaystyle \alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}=\mathbf {0},\quad \ |\alpha _{1}|+|\alpha _{2}|+\ldots +|\alpha _{n}|\neq 0.}

{\displaystyle \alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}=\mathbf {0},\quad \ |\alpha _{1}|+|\alpha _{2}|+\ldots +|\alpha _{n}|\neq 0.}В противном случае эти векторы называются линейно независимыми.

Данное определение допускает следующее обобщение: бесконечное множество векторов из {\displaystyle V}V называется линейно зависимым, если линейно зависимо некоторое конечное его подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Можно показать, что число элементов (мощность) максимального линейно независимого множества элементов векторного пространства не зависит от выбора этого множества. Данное число называется рангом, или размерностью, пространства, а само это множество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса именуют базисными векторами. Размерность пространства чаще всего обозначается символом {\displaystyle {\rm {dim}}}dim.

Таким образом, размерность векторного пространства является либо неотрицательным целым числом (в частности, равным нулю, если пространство состоит из одного лишь нулевого вектора), либо бесконечностью (точнее, мощностью бесконечного множества). В первом случае векторное пространство называется конечномерным, а во втором — бесконечномерным (например, бесконечномерным является пространство непрерывных функций). Традиционно, изучение конечномерных векторных пространств и их отображений относится к линейной алгебре, а изучение бесконечномерных векторных пространств — к функциональному анализу. Во втором случае существенную роль играет вопрос о разложимости данного элемента по заданной бесконечной системе функций, то есть о сходимости соответствующих бесконечных сумм, для чего бесконечномерное векторное пространство рассматривается вместе с дополнительной структурой, позволяющей определять сходимость, например, с метрикой или топологией.

Свойства базиса:

Любые {\displaystyle n}n линейно независимых элементов {\displaystyle n}n-мерного пространства образуют базис этого пространства.
Любой вектор {\displaystyle \mathbf {x} \in V} x є V можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:{\displaystyle \mathbf {x} =\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}}

X= α₁x₁+ α₂x₂+…+ α_nx_n.

5. Однородной системой m линейных уравнений с nнеизвестными называется система вида

ì ï ï í ï ï î

a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ + … + a _{1 n} x_n = 0

a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + … + a _{2 n} x_n = 0

… … … … … … … … … … …

a_m ₁ x ₁ + a_m ₂ x ₂ + … + a_mnx_n = 0

(1)

Эта система может быть записана в виде матричного уравнения

A · X = O.

Система (1) всегда совместна, так как:

1. имеет очевидное решение x ₁⁰ = x ₂⁰ = … = x_n ⁰ = 0, которое называется нулевым, или тривиальным;

2. добавление нулевого столбца не меняет ранга матрицы, следовательно, выполняется достаточное условие теоремы Кронекера–Капелли.

Естественно, нас интересуют нетривиальные решения однородной системы.

Условие нетривиальной совместности:

Для того, чтобы однородная система имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных.

Доказательство см. в книге Д.В. Беклемишева ``Курс аналитической геометрии и линейной алгебры".

Следствие. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными (матрица системы A — квадратная) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы этой системы был равен нулю (det A = 0).

Общим решением системы линейных уравнений называется формула, которая определяет любое ее решение.

Фундаментальной системой решений однородной системы называется n − r линейно независимых решений этой системы.

Cтолбцы фундаментальной системы решений обозначаются X ₁, X ₂, …, X_n _{− r}.

Теорема о структуре общего решения однородной системы уравнений:

Любое решение однородной системы линейных уравнений определяется формулой

X = C ₁ · X ₁ + C ₂ · X ₂ + … + C_n _{− r} · X_n _{− r},

(2)

где X ₁, X ₂, …, X_n _{− r} — фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и C ₁, C ₂, …, C_n _{− r} — произвольные постоянные.

Свойства общего решения однородной системы уравнений:

1. При любых значениях C ₁, C ₂, …, C_n _{− r} X, определяемое формулой (2), является решением системы (1).

2. Каково бы ни было решение X ₀, существуют числа C ₁⁰, …, C_n _{− r}⁰ такие, что

X ₀ = C ₁⁰ · X ₁ + C ₂⁰ · X ₂ + … + C_n _{− r}⁰ · X_n _{− r}.

6. Рангом матрицы называется ранг её системы строк или столбцов.

Обозначается

На практике для нахождения ранга матрицы используют следующее утверждение: ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду.

Элементарные преобразования над строками (столбцами) матрицы не меняют её ранга.

Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк.

Рангом системы строк называется максимальное количестволинейно независимых строк этой системы.

В каждой матрице можно связать два ранга: строчный ранг (ранг системы строк) и столбцовый ранг (ранг системы столбцов).

Строчный ранг матрицы равен её столбцовому рангу.

7. Есть две теоремы о ранге матрицы.

Ранг произведения двух матриц не выше ранга каждого из сомножителей.

Пусть имеются две матрицы А и В, которые можно перемножать и пусть АВ = С. В i- й строке, и j- м столбце матрицы-произведения С стоит элемент , определяемый формулами:

при i = 1

при i = 2

при произвольном i

Здесь видно, что j- й столбец матрицы С представляет собой линейную комбинацию столбцов матрицы А, взятых с коэффициентами . Отсюда следует, что система столбцов матрицы С линейно выражается через систему столбцов матрицы А, и ранг системы столбцов С не превышает ранга системы столбцов А.

Если теперь использовать формулу для элементов произвольной строки матрицы С, то получится:

при j = 1

при j = 2

и так далее.

Отсюда видно, что система строк матрицы С является линейной комбинацией системы строк матрицы В, следовательно, ранг системы строкматрицы С не может превышать ранга системы строк матрицы В, и теорема доказана.

2. Ранг произведения произвольной матрицы А справа или слева на невырожденную квадратную матрицу Q равен рангу матрицы А.

Доказательство. Пусть

AQ = C

Из первой теоремы о ранге матрицы следует, что ранг матрицы С не выше ранга матрицы А. Если умножить обе части равенства на Q ^–1 справа, получится равенство

AQ = CQ ^–1

Из той же теоремы о ранге матрицы следует, что ранг А не выше ранга С. Отсюда следует, что ранги матриц А и С совпадают.

8. Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора e⃗ 1,e⃗ 2,e⃗ 3

, взятые в определённом порядке. Эти векторы e⃗ 1,e⃗ 2,e⃗ 3

называются базисными.

Любой вектор a⃗ может быть разложен по базису e⃗₁,e⃗ 2,e⃗ 3

в пространстве, т.е. представлен в виде, где числа x₁,x₂,x₃ определяются однозначно.

Коэффициенты x₁,x₂,x₃ в разложении называются координатами вектора a⃗

относительно базиса e⃗ ₁,e⃗ ₂,e⃗ ₃ (число x₁, называют абсциссой, x₂ — ординатой, а x₃ — аппликатой вектора a⃗). Например, числа 3,2,−1 являются координатами вектора a⃗ =3e⃗ ₁+2e⃗ ₂−e⃗ ₃ (x₁=3 — абсцисса, x₂=2 — ордината, x₃=−1 — аппликата вектора a⃗ =3e⃗ ₁+2e⃗ ₂=e⃗ ₃).

Базисные векторы e⃗ ₁,e⃗ ₂,e⃗ ₃, отложенные от одной (произвольной) точки, называются репером.

Два произвольных вещественных линейных пространства R и R' называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если x, y ∈ R отвечают x', y' ∊ R' соответственно, то элементу x+y ∈ R отвечает элемент x'+y' ∈ R', а для любого вещественного α, элементу α x ∈ R отвечает элемент α x' ∈ R'.

Если пространства R и R' изоморфны, то они имеют одинаковую размерность.

Доказательство. Пусть линейные пространства R и R' изоморфны, и пусть элементам пространства R отвечают элементы пространства R' соответственно. Допустим элементы линейно независимы. Покажем, что элементы также линейно независимы. Исходя из обратного предположения допустим, что элементы линейно зависимы. тогда один из них можно представить линейной комбинацией остальных элементов: . Но элементам отвечают элементы y в пространстве R, а сумме отвечает сумма . Но последнее означает линейную зависимость элементов . Следовательно линейно независимы. Из линейной зависимости элементов следует линейная зависимость элементов . Следовательно максимальное количество линейно независимых векторов для пространств R и R' одно и то же, т.е. эти пространства имеют одинаковую размерность. ■

Любые два n -мерных вещественных линейных пространства R и R' изоморфны.

Доказательство. Выберем базисы и для пространств R и R' соответственно. Тогда каждый элемент пространства R можно представить линейной комбинацией базисных элементов: . Этому элементу в пространстве R' поставим в соответствие элемент теми же координатами: . В свою очередь элементу x' пространства R' соответствует элемент x пространства R. Отметим, что если элементам x и y пространства R отвечают элементы x' и y' пространства R' соответственно, то исходя из теоремы 2.2 элементу x+y пространства R отвечает элемент x'+y' пространства R', а элементу α x отвечает элемент α x'. ■

9. Определение. Пусть L и M – произвольные векторные подпространства. Суммой L и М называют множество:

Замечание. Под пересечением векторных подпространств понимают их пересечение как множеств.

Теорема. Сумма и пересечение векторных gодпространств векторного пространства V являются векторными подпространствами векторного пространства V.

Если система имеет единственное решение, то M₁ ∩ M₂ = {0} и базиса M₁ ∩ M₂ не существует. В противном случае найдем фундаментальную систему решений системы. Для каждого вектора из этого набора вычислим вектор, стоящий в левой (или, что даст тот же самый результат, в правой) части равенства . Полученные векторы и образуют базис пространства M₁ ∩ M₂.

Если L₁ и L₂ подпространства конечномерного линейного пространства V, то размерность суммы подпространств равна сумме их размерностей без размерности их пересечения (формула Грассмана):

dim(L₁+L₂)=dimL₁+dimL₂−dim(L₁∩L₂).

10. Пусть V — векторное пространство. Функция A: V → V называется линейным оператором, если для любых векторов x₁, x₂ ∈ V и любого числа t ∈ R выполняются равенства A (x₁ + x₂) = A(x₁) + A(x₂) и A(t x₁) = tA (x₁). Относительно первого равенства говорят, что A сохраняет сумму векторов, относительно второго — что A сохраняет произведение вектора на число. Отметим, что если A — линейный оператор в пространстве V и x ∈ V, то A (0) = A (0 · x) = 0 · A (x) = 0. Следовательно, справедливо следующее: Любой линейный оператор отображает нулевой вектор в себя.

Пусть A — линейный оператор в векторном пространстве V, а b₁, b₂,..., b_n — базис этого пространства. Квадратная матрица порядка n, i-й столбец которой состоит из координат вектора A (b_i) в базисе b₁, b₂,..., b_n (для всех i = 1, 2,..., n), называется матрицей оператора A в базисе b₁, b₂,..., b_n.

Образом оператора A называется множество всех векторов y ∈ V таких, что A(x) = y для некоторого x ∈ V. Ядром оператора A называется множество всех векторов x ∈ V таких, что A (x) = 0. Образ оператора A обозначается через Im A, а его ядро — через Ker A.

11. Пусть A — матрица оператора A в некотором базисе. Пространство Im A совпадает с пространством, порожденным векторами-столбцами матрицы A или, что то же самое, с пространством, порожденным векторами-строками матрицы A^Т. Учитывая алгоритм нахождения базиса подпространства, мы получаем алгоритм нахождения базиса и размерности образа линейного оператора: пусть линейный оператор A задан в некотором базисе матрицей A. Чтобы найти базис подпространства Im A, надо привести к ступенчатому виду матрицу A^Т. Ненулевые строки полученной матрицы будут базисом пространства Im A, а число этих строк — его размерностью.

Алгоритм нахождения базиса и размерности ядра линейного оператора: пусть линейный оператор A задан в некотором базисе матрицей A. Чтобы найти базис подпространства Ker A, надо найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений, основная матрица которой есть A. Она и будет базисом пространства Ker A, а число векторов в ней — его размерностью.

Алгоритм одновременного нахождения базисов и размерностей образа и ядра линейного оператора (алгоритм Чуркина): Пусть оператор A имеет в базисе f₁, f₂,..., f_n матрицу A. Составим матрицу B порядка n × 2n следующим образом. В левой половине (т. е. в первых n столбцах) этой матрицы запишем матрицу A^Т, а в ее правой половине (в последних n столбцах) — единичную матрицу. Элементарными преобразованиями всей матрицы B приведем ее левую половину к ступенчатому виду. Полученную матрицу обозначим через C, ее левую половину — через C₁, а ее правую половину — через C₂. Тогда:

(i) ненулевые строки матрицы C₁ образуют базис образа оператора A;

(ii) строки матрицы C₂, которые являются продолжениями нулевых строк матрицы C₁, образуют базис ядра оператора A.

Утверждение (i) немедленно вытекает из описанного ранее алгоритма нахождения базиса образа и того факта, что в процессе преобразований левая и правая части матрицы не «перемешиваются».

Обоснуем утверждение (ii). Заметим, что вектор f_i имеет в базисе f₁, f₂,..., f_n координаты (0,..., 0, 1, 0,..., 0), где 1 стоит на i -м месте. Поэтому можно считать, что единичная матрица, стоящая в правой части матрицы B, есть матрица, в которой по строкам записаны координаты векторов f₁, f₂,..., f_n в базисе, составленном из этих векторов. Вспоминая определение матрицы оператора, получаем, что в левой половине i -й строки матрицы B стоят координаты вектора A(f_i) в базисе f₁, f₂,..., f_n. Итак, матрица B обладает следующим свойством: если в правой части какой-то строки этой матрицы стоят координаты некоторого вектора x в базисе f₁, f₂,..., f_n, то в левой части этой строки стоят координаты вектора A(x) в том же базисе. Нетрудно проверить, что это свойство сохраняется при элементарных преобразованиях матрицы. Поскольку матрица C получена из B элементарными преобразованиями, она также обладает указанным свойством. Обозначим через x₁, x₂,..., x_k строки матрицы C₂, являющиеся продолжениями нулевых строк матрицы C₁. В силу сказанного выше A(x_i) = 0, т. е. x_i ∈ Ker A для всякого i = 1, 2,..., k. Далее, можно проверить, что векторы x₁, x₂,..., x_k линейно независимы. Из утверждения (i) вытекает, что k + dim Im A = n. По теореме k = dim Ker A. Итак, x₁, x₂,..., x_k — линейно независимый набор векторов из Ker A, число векторов в котором равно размерности этого подпространства и эти векторы образуют базис Ker A.

12. В линейной алгебре, базис векторного пространства размерности n — это последовательность из n векторов (α₁,…, α_n) таких, что любой вектор пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов. При заданном базисе операторы представляются в виде квадратных матриц. Так как часто необходимо работать с несколькими базисами в одном и том же векторном пространстве, необходимо иметь правило перевода координат векторов и операторов из базиса в базис. Такой переход осуществляется с помощью матрицы перехода.

Определение

Если вектора b₁,…,b_n выражаются через вектора а₁,…,а_n как

…

То матрица перехода от базиса (а₁,…, а_n) к базису (b₁,…, b_n) будет

Использование

При умножении матрицы, обратной к матрице перехода, на столбец, составленный из коэффициентов разложения вектора по базису , мы получаем тот же вектор, выраженный через базис .