Действия с векторами и матрицами в MATLAB

1) Введите вектор 'a' из 9 элементов. С экрана элементы вектора вводятся в квадратных скобках, разделяемые пробелом.

a = [1 2 3 4 6 4 3 4 5] % Вводите свой вектор с другими значениями.

Нажмите ENTER, посмотрите на сообщение на экране.

2) Теперь выполните то же но с точкой с запятой:

a = [1 2 3 4 6 4 3 4 5]; % Используйте клавиши перелистывания ↑ и ↓, чтобы не

% повторять набор заново!!

Нажмите ENTER, посмотрите на сообщение на экране.

3) Прибавьте число 2 к элементам вектора а:

Выполните оператор:

b = a + 2 % Сейчас мы умышленно не ставим точку с запятой, чтобы

% посмотреть на результат

4) Транспонируем вектор b:

C=b’ % Знак транслонирования матрицы – апостроф ‘ (соответствует

% клавише буквы Э на нижнем регистре латиницы)

5) Попробуйте выполнить операцию

D= a+C % убедитесь, что она невозможна, поймите почему (?).

Выполните

D=a’+C

Выполните слияние:

E=[a;b]

E=[E;b]

6) Постройте график значений элементов вектора b относительно номера компоненты:

plot(b)

grid on

MATLAB может строить графики, используя указываемые ему символы.

Постройте тот же график звездочками:

plot(b,'*')

axis([0 10 0 10])

Постройте гистограмму:

bar(b)

ГЕНЕРАЦИЯ ВЕКТОРОВ (ранжированных переменных, т.е. массивов с постоянным шагом)

Выполните операторы:

X=1:10 % шаг 1 % не ставьте точки с запятой, наблюдайте результаты

Y=0:0.25:1 % шаг 0.25

Z=0:pi/4:2*pi % шаг pi/4

X1=0:0.1*pi:4*pi

Y1=sin(X1)

Постройте графики:

plot(X1,Y1,X1,cos(X1))

Задание 2: (действия с матрицами)

% Создание матриц производится так же как и создание векторов, при этом

% используется знак (;), чтобы отделить вводимые строки матрицы.

Введите матрицу размерности (3,3):

A = [1 2 0; 2 5 -1; 4 10 -1] % Введите свои значения. Не ставьте блокировку (;),

% чтобы следить за результатами.

Транспонируйте матрицу 'A':

B = A'

Выполните умножение

C = A * B

Возведите квадратную матрицу в 5 степень:

F=A^5

Найдите обратную матрицу:

X = inv(A)

Вычислите матрицу

I =A*inv(A) % ясно, что должна получиться единичная матрица

Вычислите определитель матрицы:

D=det(A)

Найдите собственные значения матрицы:

eig(A)

% Функция "poly" генерирует вектор, элементами которого являются

% коэффициенты характеристического многочлена матрицы:

% det(lambda*I - A)

p = round(poly(A))

% Функция “round” округляет до ближайшего целого

% Корни многочлена p – характеристические значения исходной матрицы

% Таким образом, мы можем найти собственные значения матрицы оператором

roots(p) % Выполните вычисления этим способом

% В любой момент мы можем получить список значений переменных, хранящихся в памяти

% используя команды "who" или "whos".

Выполните:

who

whos

% Вы можете получить на экране значение любой переменной, набрав в командной строке имя переменной и нажав вслед за тем ENTER.

Выполните:

A % ENTER

X % ENTER

p % ENTER

F % ENTER

ПОЭЛЕМЕНТНОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ

Арифметические операции умножения, деления и возведения в степень имеют своих двойников с поэлементным выполнением. Поясним: пусть

x=[1 2 3 4] и y=[5 6 7 8].

Предположим, что вам хотелось бы перемножить (поделить, возвести в степень) элементы векторов x и y.

Если мы напишем x*y или x/y или x^3, то получим сообщение об ошибке, так как строки нельзя перемножить, разделить друг на друга по правилам матричной алгебры (несоответствие размерностей). Однако для получения желаемого результата в MATLAB есть дубли арифметических операций. Они имеют те же значки, что и основные операции, но с точкой перед знаком операции.

Выполните в командном окне:

x.*y % Результат – вектор, элементы которого равны произведениям соответствующих элементов векторов x и y

x./y % Элементы x будут поделены на соответствующие элементы y

x.^3 % Элементы вектора x будут возведены в 3-ю степень.

MATLAB работает с комплексными числами и бесконечными величинами.

ВЫПОЛНИТЕ:

sqrt(-1)

log(0)

ГЕНЕРАЦИЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ МАТРИЦ:

Для создания специальных матриц существуют функции:

zeros – создание матрицы с нулевыми элементами,

ones - создание матрицы с единичными элементами,

rand – создание матрицы со случайными элементами (равномерно на [0,1] распределенными случайными числами),

eye – создание единичной матрицы

Выполните операции:

A = zeros(3,2)

AA = zeros(5)

B = ones(1,10)

BB = ones(3)

C=rand(2,5)

CC=rand(7)

E=eye(5)

ОПЕРАТОРЫ СЛИЯНИЯ МАТРИЦ

Выполните операторы

A=ones(2,3)

V=ones(1,3)

A=[A;V] % матрица A получит дополнительную строку из элементов вектора V

B=rand(2,2)

C=rand(3,3)

G=cat(1,A,C) % Объединение матриц A и C вдоль размерности 1 (по вертикали)

GG=cat(2,A,C) % Объединение матриц вдоль размерности 2 (по горизонтали)

ОПЕРАТОРЫ ВЫРЕЗКИ ДЛЯ МАТРИЦ

Выполните операторы, наблюдайте за результатами

A=[1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20]

B=A(1,:) % Взятие первой строки исходной матрицы

C=A(:,4) % Взятие четвертого столбца исходной матрицы

D=A(3:4,1:2) % Выделение (вырезка) строк 3 – 4, столбцов 1 – 2

G=A(2:3,3:4) % Выделение (вырезка) строк 2 – 3, столбцов 3 – 4

E=A(:) % Создание единого массива (столбца) из элементов матрицы A.

МЕТОД ГАУССА

В заключение, решите систему 5-и линейных алгебраических уравнений с 5 неизвестными методом Гаусса.

Введите матрицу системы

A=rand(5,5) % здесь коэффициенты системы – случайные числа. Введите свои

% конкретные значения

B=rand(5,1) % вектор-столбец – правая часть системы уравнений, которая в

% матричной форме может быть записана как A*X=B, где X –

% столбец неизвестых. Решение системы, как известно,

% X=A^(-1)*B, г де A^(-1) – обратная матрица для матрицы A

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ:

X=A\B % Оператор выполняется как inv(A)*B, что и требуется для решения

% системы. Отметим, что в действительности этот оператор

% выполняется путем реализации метода Гаусса для решения исходной

% системы линейных алгебраических уравнений.

Таким образом, для того, чтобы решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса в MATLAB, достаточно выполнить всего один оператор – оператор деления (справа – налево) правой части системы на матрицу системы уравнений.