Разбиение множества M, обладающее свойствами, указанными в теореме, называется фактор-множеством множества M по отношениюa и обозначается M/a.

Отношение эквивалентности

Важным видом бинарного отношения является отношение эквивалентности.

Определение 5.1. Бинарное отношение a на множестве X называется отношением эквивалентности на X, если a рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Отношение эквивалентности часто обозначают символами ~, .

Примерами отношения эквивалентности служат:

• отношение тождества I_X = {(a, a) |a X } на непустом множестве X;
• отношение параллельности на множестве прямых плоскости;
• отношение подобия на множестве фигур плоскости;
• отношение равносильности на множестве уравнений;
• отношение "иметь одинаковые остатки при делении на фиксированное натуральное число m " на множестве целых чисел. Это отношение в математике называют отношением сравнимости по модулю m и обозначают a b (mod m);
• отношение "принадлежать одному виду" на множестве животных;
• отношение "быть родственниками" на множестве людей;
• отношение "быть одного роста" на множестве людей;
• отношение "жить в одном доме" на множестве людей.

Отношения "жить на одной улице", "быть похожими" на множестве людей отношениями эквивалентности не являются, так как не обладают свойством транзитивности.

Из перечисленных выше свойств бинарных отношений следует, что пересечение отношений эквивалентности является отношением эквивалентности.

Классы эквивалентности

С отношением эквивалентности тесно связано разбиение множества на классы.

Определение 6.1. Система непустых подмножеств

{ M₁, M₂, … }

множества M называется разбиением этого множества, если

M = M₁ M₂ …

и при i j

M_i M_j =O.

Сами множества M₁, M₂, … называются при этом классами данного разбиения.

Примерами разбиений служат:

• разложение всех многоугольников на группы по числу вершин - треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д.;
• разбиение всех треугольников по свойствам углов (остроугольные, прямоугольные, тупоугольные);
• разбиение всех треугольников по свойствам сторон (разносторонние, равнобедренные, равносторонние);
• разбиение всех треугольников на классы подобных треугольников;
• разбиение множества всех учащихся данной школы по классам.

Широкое применение отношений эквивалентности в современной науке связано с тем, что всякое отношение эквивалентности осуществляет разбиение множества, в котором оно определено, на классы, обычно принимаемые за новые объекты. Другими словами с помощью отношений эквивалентности порождаются новые объекты, понятия.

Так, например, отношение сонаправленности лучей разбивает множество всех лучей плоскости или пространства на классы сонаправленных лучей. Каждый из этих классов лучей называется направлением. Таким образом, интуитивное понятие направления получает точное математическое описание как класс разбиения множества лучей с помощью отношения эквивалентности.

О подобных фигурах обычно говорят, что они имеют одинаковую форму. Но что такое форма геометрической фигуры? Интуитивно ясно, что это то общее, что объединяет подобные фигуры. С помощью отношения эквивалентности удается это интуитивное понятие перевести в точное математическое. Отношение подобия, являясь отношением эквивалентности, разбивает множество фигур на классы подобных фигур. Каждый такой класс можно назвать формой. Тогда выражение "две одинаковые фигуры имеют одинаковую форму" имеет следующий точный смысл "две подобные фигуры принадлежат одной форме".

Отношения эквивалентности встречаются всюду, где осуществляются разбиения множеств на классы. Мы часто пользуемся ими, не замечая этого.

Приведем элементарный пример. Когда дети играют со множеством разноцветных игрушек (например, с блоками Дьенеша) и решают задачу разложить игрушки по цветам, то они пользуются отношением "иметь один цвет". Полученные в результате классы одноцветных фигур воспринимаются детьми как новые понятия: красные, желтые, синие и т. д.

Аналогично в результате решения задачи разложения блоков по форме дети получают классы, каждый из которых воспринимается как форма: прямоугольные, круглые, треугольные и т. д.

Связи между отношениями эквивалентности, определенными на множестве M, и разбиениями множества M на классы описываются в следующих двух теоремах.

Теорема 6.1. Всякое разбиение непустого множества M на классы определяет (индуцирует) на этом множестве отношение эквивалентности такое, что:

• всякие два элемента одного класса находятся в отношенииa;
• всякие два элемента различных классов не находятся в отношении a.

Доказательство. Пусть имеется некоторое разбиение непустого множества M. Определим бинарное отношение a следующим образом:

x a y ( K )(x K & y K).

То есть два элемента x и y aиз множества M связаны отношениемa в том и только в том случае, если в разбиении найдется такой класс K, которому одновременно принадлежат элементы x и y.

Так определенное отношение a, очевидно, рефлексивно и симметрично. Докажем транзитивность отношения a. Пусть x a y и x a z. Тогда по определению в существуют классы K₁ и K₂ такие, что x, y K₁ и y, z K₂. Так как различные классы в разбиении не имеют общих элементов, то K₁ = K₂, то есть x, z K₁. Поэтому x a z, что и требовалось доказать.

Теорема 6.2. Всякое отношение эквивалентности в непустом множестве M порождает разбиение этого множества на классы эквивалентности такое, что

• всякие два элемента одного класса находятся в отношении a;
• всякие два элемента различных классов не находятся в отношении a.

Доказательство. Пусть a - некоторое отношение эквивалентности на множестве M. Каждому элементу x из поставим в соответствие подмножество [ x ] множества M, состоящее из всех элементов y, находящихся в отношении a с элементом x:

[ x ] = { y|y a x }.

Система подмножеств [ x ], образует разбиение множества M. Действительно, во-первых, каждое подмножество [ x ] O, так как в силу рефлексивности отношения a x [ x ].

Во-вторых, два различных подмножества [ x ] и [ y ] не имеют общих элементов. Рассуждая от противного, допустим существование элемента z такого, что z [ x ] и z [ y ]. Тогда z a x и z a y. Поэтому для любого элемента a [ x ] из a a x, z a x и z a y в силу симметричности и транзитивности отношения a вытекает a a y, то есть a [ y ]. Следовательно, [ x ] [ y ]. Аналогично получаем, что [ y ] [ x ]. Полученные два включения влекут равенство [ x ] = [ y ], противоречащее предположению о несовпадении подмножеств [ x ] и [ y ]. Таким образом,

[ x ] y ] = O.

В-третьих, объединение всех подмножеств [ x ] совпадает со множеством M, ибо для любого элемента x M выполняется условие x [ x ].

Итак, система подмножеств [ x ], образует разбиение множества M. Несложно показать, что построенное разбиение удовлетворяет условиям теоремы.

Разбиение множества M, обладающее свойствами, указанными в теореме, называется фактор-множеством множества M по отношениюa и обозначается M/a.

Подведем некоторые итоги. Мы убедились, что задание эквивалентности a на множестве M равносильно заданию некоторого разбиения этого множества. Иными словами, определить некоторое отношение эквивалентности между элементами множества M - это означает разбить множество M на непересекающиеся классы и считать эквивалентными те и только те элементы, которые попали в один и тот же класс. На фактор-множество M/ a можно смотреть как на совокупность классов элементов из M, неразличимых "с точностью до эквивалентности a". Построение фактор-множества M/ a называют иногда факторизацией множества по отношению a.

Отношение эквивалентности лежит в основе всевозможных классификаций. При классификации некоторого множества в нем задают одно или несколько отношений эквивалентности и рассматривают классы эквивалентности, связанные с этими отношениями.

При иерархической классификации все множество разлагается на классы эквивалентности, после чего каждый класс разлагается на классы эквивалентности по другому отношению и т. д. Такая классификация применяется, например, в биологии (царства живых существ, типы, классы, отряды, роды, виды). В математике иерархическая классификация используется, например, при классификации линий второго порядка.

Другой вид классификации основан на том, что указывается несколько свойств (например форма, цвет, размер и т. д.), каждое из которых может принимать несколько значений (например, квадрат, круг, шестиугольник или красный зеленый, синий и т. д.). После этого каждый класс характеризуется значениями, принимаемыми на нем данными свойствами (например, зеленые маленькие квадраты). В библиотеках множество всех книг разбивают на книги по математике, физике, химии, истории и т. д. Далее книги по математике делят на книги по алгебре, геометрии, математическому анализу и т. д. В математике такой вид классификации используется, например, при классификации многоугольников, с одной стороны, по числу сторон, а с другой - по признаку правильности или неправильности.

Так как пересечение отношений эквивалентности является отношением эквивалентности, то это позволяет сводить классификацию по нескольким признакам к классификации по одному сложному признаку.