Вероятность того, что непрерывная случайная величина может принять любое отдельное значение х, равна нулю.

Отсюда следует, что события, заключающиеся в выполнении каждого из неравенств: имеют одинаковую вероятность, т.е.

В самом деле, например,

так как .

Замечание.

Как мы знаем, если событие невозможно, то вероятность его наступления равна нулю. При классическом определении вероятности, когда число исходов испытаний конечно, имеет место и обратное предложение: если вероятность события равна нулю, то событие невозможно, так как в этом случае ему не благоприятствует ни один из исходов испытания.

В случае непрерывной случайной величины число возможных ее значений бесконечно. Вероятность того, что эта величина примет какое-либо конкретное значение как мы видели, равна нулю. Однако отсюда не следует, что это событие невозможно, так как в результате испытания случайная величина может, в частности, принять значение .

 

Поэтому в случае непрерывной случайной величины имеет смысл говорить о вероятности попадания случайной величины в интервал, а не о вероятности того, что она примет какое-то конкретное значение.

Так, например, при изготовлении валика нас не интересует вероятность того, что его диаметр будет равен номиналу. Для нас важна вероятность того, что диаметр валика не выходит из поля допуска.

Пример 20. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом:

График функции представлен па рис. 3.7.

Рис. 8

Определить: 1) вероятность того, что случайная величина примет значение, удовлетворяющее неравенствам . 2) Найти функцию распределения заданной случайной величины.

Решение: Используя формулу (3.6), имеем:

По формуле (3.6) находим функцию распределения F(x) для заданной случайной величины. Если , то .

Если , то

Если , то

ч

Итак,

График функции F(x) изображен на рис. 3.8.

Следующие три пункта посвящены часто встречающимся на практике распределениям непрерывных случайных величин — равномерному, экспоненциальному и нормальному распределениям.

 

 

5. Равномерное распределение.

Пусть сегмент на оси Ox есть шкала некоторого прибора. Допустим, что вероятность попадания указателя в некоторый отрезок шкалы пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от места отрезка на шкале. Отметка указателя прибора есть случайная величина могущая принять любое значение из сегмента . Поэтому . Если, далее, и - две любые отметки на шкале, то согласно условию имеем , где k - коэффициент пропорциональности, не зависящий от и , а разность , - длина сегмента . Так как при и имеем , то , откуда . Таким образом

(3.9)

Теперь легко найти функцию F(x ) распределения вероятностей случайной величины . Если , то так как не принимает значений, меньших a. Пусть теперь . По аксиоме сложения вероятностей . Согласно формуле (3.9), в которой принимаем и , имеем . Так как , то при получаем . Наконец, если , то , так как значения лежат на сегменте и, следовательно, не превосходят b. Итак, приходим к следующей функции распределения:

.

График функции F(x) представлен на рис. 3.9.

Плотность распределения вероятностей найдем по формуле (3.8). Если или , то . Если , то

.

Таким образом,

(3.10)

График функции изображен на рис. 3.10. Заметим, что в точках a и b функция терпит разрыв.

Величина, плотность распределения которой задана формулой (3.10), называется равномерно распределенной случайной величиной.

Нормальное распределение.

Говорят, что случайная величина нормально распределена или подчиняется закону распределения Гаусса, если ее плотность распределения имеет вид

(3.11)

где - любое действительное число, а . Смысл параметров и будет установлен в дальнейшем. Исходя из связи между плотностью распределения и функцией распределения F(x) [см. формулы (3.5, 3.8)], имеем

 

График функции симметричен относительно прямой . Несложные исследования показывают, что функция достигает максимума при , а ее график имеет точки перегиба при и . При график функции асимптотически приближается к оси O x. Можно показать, что при увеличении кривая плотности распределения становится более пологой. Наоборот, при уменьшении график плотности распределения сжимается к оси симметрии. При осью симметрии является ось Oy. На рис. 3.11 изображены два графика функции . График I соответствует значениям , , а график II - значениям , .

Покажем, что функция удовлетворяет условию (3.7), т.е. при любых и выполняется соотношение

В самом деле, сделаем в этом интеграле замену переменной, полагая . Тогда

В силу четности подынтегральной функции имеем

.

Следовательно,

Но, .

В результате получим

(3.12)

 

Найдем вероятность . По формуле (3.6) имеем

Сделаем в этом интеграле замену переменной, снова полагая . Тогда , и

(3.13)

Как мы знаем, интеграл не берется в элементарных функциях. Поэтому для вычисления определенного интеграла (3.13) вводится функция, которую мы определяли раньше [формула (2.9)]:

(3.14)

называемая интегралом вероятностей.

Для этой функции составлены таблицы ее значений для различных значений аргумента (см. табл. II Приложения). Используя формулу (3.13) получим:

Итак,

(3.15)

Легко показать, что функция Ф(х) (интеграл вероятностей) обладает следующими свойствами.

1°. Ф(0)=0

2°. ;

при величина практически равна 1/2 (см. табл. II).

3°. ,

т.е. интеграл вероятностей является нечетной функцией.

График функции Ф(х) изображен на рис. 3.12.

Таким образом, если случайная величина нормально распределена с параметрами a и , то вероятность того, что случайная величина удовлетворяет неравенствам , определяется соотношением (3.15).

Пусть . Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина отклонится от параметра a по абсолютной величине не более чем на , т.е. рассмотрим неравенство - .

Так как неравенство равносильно неравенствам , то полагая в соотношении (3.15) , получим

Вследствие того, что интеграл вероятностей - нечетная функция, имеем

(3.16)

Пример 1. Пусть случайная величина подчиняется нормальному закону распределения вероятностей с параметрами , .

Определить:
1) ; 2) ;

Решение: 1) Используя формулу (3.15), имеем

Из таблицы II находим, что , . Следовательно

2) Так как , то . По формуле (3.16) находим

Пример 2. В каких пределах должна изменяться случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, чтобы .

Решение: По формуле (37) имеем

.

Следовательно, . Из табл. II находим, что этому значению соответствует , откуда .

Из последнего примера следует, что если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, то можно утверждать с вероятностью, равной 0,9973, что случайная величина находится в интервале . Так как данная вероятность близка к единице, то можно считать, что значения нормально распределенной случайной величины практически не выходят за границы интервала . Этот факт называют правилом трех сигм.

Аналогично можно посчитать, что вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, заключена в интервале , равна 95,44 %. Соответственно в интервале равна 67,26 %. То есть:

Данные условия наглядно изображены на рис. 3.13.