Независимость двух случайных величин.

Дискретные двумерные случайные величины.

Пусть Х, Y – две дискретные случайные величины, имеющие следующие законы распределения соответственно:

p_i _·= P (X = x_i) (x ₁< x ₂< …), p _·_j= P (Y = y_j) (y ₁< y ₂< …), .

Двумерная с.в. (Х, Y) называется дискретной двумерной случайной величиной (или дискретно распределенной двумерной случайной величиной).

Закон распределения двумерной дискретной с.в. может быть задан в виде функции , где .

Если с.в. Х принимает конечное множество значений x ₁, x ₂, …, x_n, а Y – конечное множество значений y ₁, y ₂, …, y_m, то закон распределения задают обычно в виде таблицы 6.1. В этой таблице

, .

Заметим, что первая и последняя строки таблицы 6.1 задают закон распределения с.в. Y, а первый и последний столбцы – закон распределения с.в. Х.

Таблица 6.1

	y ₁	y ₂	×××	y_m	å
x ₁	p ₁₁	p ₁₂	×××	p _{1 m}
x ₂	P ₂₁	p ₂₂	×××	p _{1 m}
×××	×××	×××	×××	×××	×××
x_n	p_n ₁	p_n ₁	×××	P_nm
å			×××

Непрерывно распределенные двумерные случайные величины

Если функция распределения F (x, y)непрерывна и существует такая неотрицательная интегрируемая функция р (x, y), что выполняется равенство

, (6.1)

то двумерная с.в. (Х, Y) называется непрерывно распределенной двумерной с.в. (или непрерывной двумерной с.в.). Функция р (x, y) называется плотностью распределения двумерной с.в. (Х, Y).

Равенство (6.1) позволяет по плотности распределения найти функцию распределения. Следовательно, закон распределения двумерной с.в. может быть задан как при помощи функции распределения, так и при помощи плотности распределения.

Плотность распределения непрерывной двумерной с.в.

Свойства плотности распределения.

1) р (x, y) ³ 0;

2) свойство нормировки ;