ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА
УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
К выполнению контрольной работы следует приступать после изучения теоретического материала.
Номер варианта контрольной работы выбирается исходя из номера студента по журналу группы.
Текст работы выполняется на одной стороне листа белой бумаги формата А4 (210x297мм) через полтора интервала шрифтом «Times New Roman», размер 14, выравнивание по ширине. При написании формул используется редактор формул.
Для замечаний преподавателя оставляются поля шириной 3 см.
Все листы контрольной работы обязательно должны быть скреплены друг с другом и пронумерованы.
Поля страницы контрольной работы следующие:
• левое - 30 мм;
• правое - 10 мм;
• верхнее - 20 мм;
• нижнее - 20 мм.
В работе все листы должны быть пронумерованы арабскими цифрами, включая приложения, без пропусков и повторений. Титульный лист не нумеруется, но входит в общую нумерацию как лист 1. Пример оформления титульного листа дан в Приложении.
Оформление каждой решенной задачи начинается с формулировки условий. Само решение каждой задачи должно сопровождаться краткими ссылками и комментариями. Решение каждой задачи должно завершаться конкретным числовым ответом.
Работа, выполненная неаккуратно или не по своему варианту возвращается студенту без проверки.
Студенты, не сдавшие контрольную работу в установленные сроки, к сдаче зачета по дисциплине не допускаются.
Вариант 1.
1. В урне 4 белых и 5 черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что один из шаров белый, а другой черный.
2. На отрезке АВ, длина которого 1, наугад ставятся две точки, которые этот отрезок делят на три части. Найти вероятность того, что из трех получившихся частей можно составить треугольник.
3. На десяти карточках написаны буквы А, А, А, М, М, Т, Т, Е, И, К. после тщательного перемешивания вынимают наугад одну карточку за другой и раскладывают их в том порядке, в каком они были вынуты. Найти вероятность того, что на карточках будет написано слово «математика».
4. На обувной фабрике в отдельных цехах производятся подметки, каблуки и верхи мужских ботинок одного размера и фасона. Дефектными оказываются 0,5% каблуков, 2% подметок и 4% верхов. Произведенные каблуки, подметки и верхи случайно комбинируются в цехе, где шьются ботинки. Найти вероятность того, что изготовленная пара ботинок будет содержать дефекты.
5. В группе из 20 стрелков имеется 4 отличных, 10 хороших и 6 посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для отличного стрелка равна 0,9, для хорошего – 0,7, для посредственного – 0,5. На линию огня случайно вызывается один стрелок. Найти вероятность того, что он поразит цель при первом выстреле.
6. На распределительной базе находятся электрические лампочки, изготовленные на двух заводах. Среди них 60% изготовлено на первом заводе и 40% - на втором. Известно, что из каждых 100 лампочек, изготовленных на первом заводе, 90 соответствует стандарту, а из 100 лампочек, изготовленных на втором заводе, соответствуют стандарту 80. Определить вероятность того, что взятая наугад лампочка с базы будет соответствовать стандарту.
7. Счетчик регистрирует частицы трех типов: А, В и С. Вероятность появления этих частиц Р(А)=0,2, Р(В)=0,5, Р(С)=0,3. Частицы каждого из этих типов счетчик улавливает с вероятностью Р1=0,8, Р2=0,2, Р3=0,4. Счетчик отметил одну частицу. Определить вероятность того, что это была частица типа В.
8. На наблюдательной станции установлены четыре радиолокатора различных конструкций. Вероятность обнаружения цели с помощью первого локатора равна 0,86, второго 0,9, третьего 0,95, четвертого 0,95. Наблюдатель включает наугад один из локаторов. Какова вероятность обнаружения цели, если она появится в зоне обнаружения локаторов?
9. По данным технического контроля, в среднем 2% изготовляемых на заводе автоматических станков нуждаются в дополнительной регулировке. Чему равна вероятность того, что из четырех изготовленных станков два нуждаются в дополнительной регулировке?
10. Событие В наступает только в том случае, если событие А появится не менее трех раз. Определить вероятность события В, если вероятность события А при одном опыте равна 0,4 и проведено 5 независимых опытов.
11. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммуникатор, равна 0,02. Найти вероятность того, что в течение минуты позвонит 4 абонента.
Вариант 2.
1. В 25 экзаменационных билетах содержится по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменуемый знает ответы на 48 вопросов. Какова вероятность сдачи письменного экзамена, если для этого необходимо правильно ответить на оба вопроса?
2. Плоскость разлинована параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 8 см. определить вероятность того, что наугад брошенный на эту плоскость круг радиусом 3 см не пересечет ни одной линии.
3. На сборку механизма поступают детали с двух автоматов. Первый автомат в среднем дает 1,5% брака, второй – 1%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 2000 деталей, а со второго – 1500.
4. Среди 1000 лотерейных билетов имеется два выигрыша по 50 руб., пять по 20 руб., десять по 10 руб., 25 по 5 руб. некто покупает один билет. Найти вероятность выигрыша не менее 20 руб.
5. Известно, что 96% выпускаемых заводом изделий отвечают стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, отвечает стандарту.
6. По воздушной цели производится стрельба из двух ракетных установок. Вероятность поражения цели первой установкой равна 0,85, второй – 0,9. Найти вероятность поражения цели, если известно, что первая установка срабатывает с вероятностью 0,8, а вторая – с вероятностью 0,7.
7. В одном из трех ящиков 6 белых и 4 черных шарика, во втором – 7 белых и 3 черных, в третьем – только 8 белых. Наугад выбираем один из трех ящиков и из него наудачу выбираем один шарик. Он оказался белым. Какова вероятность того, что этот шарик вынут из второго ящика?
8. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина, считая, что мужчин и женщин одинаковое количество?
9. Вероятность появления события А хотя бы один раз в трех независимых опытах равно 0,992. Какова вероятность появления события А в одном опыте, если в каждом опыте эта вероятность одинакова?
10. По цели производятся три выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,4. Для поражения цели достаточно двух попаданий. При одном попадании цель не поражается. Найти вероятность поражения цели.
11. Учебник издан тиражом 1000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит не более 3-х бракованных по указанной причине книг.
Вариант 3.
1. Из партии, состоящей из 20 радиоприемников, для проверки произвольно отбирают три приемника. Партия содержит пять неисправных приемников. Какова вероятность того, что в число отобранных войдут один неисправный и два исправных приемника?
2. На отрезок АВ длинной 12 см наугад «бросают» точку М. Какова вероятность того, что площадь квадрата, построенного на АМ, будет больше 36 и меньше 81 см2?
3. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. По мишени стреляют одиночными выстрелами до первого попадания. После чего стрельбу прекращают. Найти вероятность того, что будет сделано не более трех выстрелов.
4. На предприятии брак составляет в среднем 1,5% общего выпуска изделий. Из не бракованных изделий первого сорта составляют 80%. Какова вероятность того, что взятое наугад изделие окажется изделием первого сорта, если оно взято из общей массы изготовленной продукции?
5. Имеются две урны: в первой 3 белых шара и 2 черных; во второй – 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают два шара. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.
6. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25%, вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?
7. Путешественник может купить билет в одной из трех касс железнодорожного вокзала. Вероятность того, что он направится к первой кассе ½, ко второй 1/3, к третьей 1/6. Вероятность того, что билетов уже нет в кассах, таковы: в первой кассе – 1/5, во второй – 1/6, в третьей – 1/8. Путешественник обратился в одну из касс и получил билет. Определите вероятность того, что он направился к первой кассе.
8. При разрыве снаряда образуются осколки трех весовых категорий: купные, средние и мелкие. Причем число крупных, средних и мелких осколков составляют соответственно 0,1; 0,3; 0,6 общего числа осколков. При попадании в броню крупный осколок пробивает ее с вероятностью 0,9, средний – с вероятностью 0,2, мелкий – с вероятностью 0,05. В броню попал один осколок и пробил ее. Найти вероятность того, что эта пробоина причинена средним осколком.
9. В квартире 4 электролампочки. Для каждой лампочки вероятность того, что она останется исправной в течение года, равна 5/6. Какова вероятность того, что в течение года придется заменить не меньше половины лампочек?
10. Вы играете в шахматы с равным по силе партнером. Чего следует Вам больше ожидать: трех побед в четырех партиях или 5 побед в 8 партиях?
11. Рукопись, объемом 200 страниц содержит 10 опечаток. Найти вероятность того, что наудачу выбранная страница содержит хотя бы одну опечатку.
Вариант 4.
1. В мастерскую для ремонта поступило 15 телевизоров. Известно, что шесть из них нуждаются в общей регулировке. Мастер берет наудачу пять телевизоров. Какова вероятность того, что два из них нуждаются в общей регулировке?
2. Найти вероятность того, что сумма двух наугад взятых на отрезке [0,1] чисел не больше единицы, а произведение не больше 3/16.
3. Три орудия ведут огонь по цели, вероятность попадания в которую при одном выстреле из первого орудия 0,5, из второго 0,6, из третьего 0,7. Зная, что каждое орудие стреляет один раз, найти вероятность поражения цели, если для этого необходимо не менее двух попаданий.
4. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок перемешал буквы, а потом наугад их собрал. Какова вероятность того, что он опять составил слово «книга»?
5. С первого автомата на сборку поступает 40%, со второго – 35%, с третьего – 25% деталей. Среди деталей первого автомата 0,2% бракованных, второго – 0,3%, с третьего – 0,5%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь, бракованная?
6. Имеются два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1 черный, во втором – 1 белый и 4 черных шара. Наугад выбирают один ящик и вынимают из него шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?
7. Один из трех стрелков выходит на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5, для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.
8. Для сдачи экзамена студентам было необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили все вопросы, 8 - 25 вопросов, 5 - 20 вопросов, 2 - 15 вопросов. Случайно вызванный студент не ответил на поставленный вопрос. Найдите вероятность того, что студент подготовил только половину вопросов.
9. Стрелок стреляет по цели до первого попадания. Найти вероятность того, что у стрелка останется хотя бы один неизрасходованный патрон, если он получил 6 патронов и вероятность попадания в цель при каждом выстреле постоянна равна 0,2.
10. Наблюдателями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно выбранных в этом месяце 5 дней два дня окажутся дождливыми?
11. Вероятность нештатной ситуации в ядерном реакторе атомного подводного крейсера в течение года равна 0,001 и не зависит от возраста корабля в течение срока его эксплуатации. Найти вероятность того, что при эксплуатации 50 подводных лодок в течение 10 лет не произойдет ни одной нештатной ситуации.
Вариант 5.
1. Среди претендентов в туристический полет в космос на станцию МКС на 4 места претендуют 4 женщины и 3 мужчин, прошедшие полный курс подготовки к полету. Какова вероятность того, что среди пассажиров космического корабля окажутся две женщины и двое мужчин?
2. Из отрезка [0;2] наудачу выбраны два числа x и y. Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенству х2 < 4у < 4х.
3. На пяти карточках написано по одной цифре из набора 1, 2, 3, 4 и 5. Наугад выбираются одна за другой две карточки. Какова вероятность того, что число на второй карточке будет больше, чем на первой?
4. В одном ящике 6 белых и 4 черных шаров, во втором 7 белых и 3 черных, из каждого ящика наугад вынимается по одному шарику. Чему равна вероятность того, что оба шарика окажутся белыми?
5. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,075, а на втором 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Найти вероятность того, что наугад взятая с конвейера деталь нестандартная.
6. Имеются две партии одинаковых изделий по 15 и 20 штук. Причем в первой партии два, а во второй - три бракованных изделия. Наугад взятое изделие из первой партии переложено во вторую, после чего выбирается наугад одно изделие из второй партии. Определить вероятность того, что выбранное изделие является бракованным.
7. Три стрелка производят по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятность попадания для первого стрелка – 0,6, для второго – 0,5, для третьего – 0,4. В результате произведенных выстрелов в мишени оказалось две пробоины. Найти вероятность того, что в мишень попали второй и третий стрелки.
8. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% с заболеванием Н; 20% с заболеванием М. Вероятность полного лечения болезни К равна 0,7; для болезней Н и М эти вероятности равны 0,8 и 0,9, соответственно. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.
9. Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность среди 5 случайно выбранных волокон смеси обнаружить менее двух окрашенных?
10. 30% изделий данного предприятия – это продукция высшего сорта. Некто приобрел 6 изделий, изготовленных на этом предприятии. Чему равна вероятность, что 4 из них высшего сорта?
11. Вероятность того, что электролампа является бракованной, равна 0,002. Для контроля наугад выбрано 500 лампочек. Найти вероятность того, что среди отобранных ламп будет не более 3-х бракованных.
Вариант 6.
1. В урне 4 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?
2. В квадрат с вершинами (0;0), (0;1), (1;1), (1;0) наудачу брошена точка (х; у). Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству у<2х.
3. Три стрелка поочередно ведут стрельбу по одной и той же мишени. Каждый стрелок имеет два патрона. При первом же попадании стрельба прекращается. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,2, для второго - 0,3, для третьего - 0,4. Найти вероятность того, что все три стрелка израсходуют весь боезапас.
4. На первом этаже семиэтажного дома в лифт зашли 3 человека. Вероятность выхода из лифта каждого человека на любом этаже одинакова. Найти вероятность того, что все трое выйдут из лифта на 4 этаже.
5. В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки А, 6 марки В и 4 марки С. Вероятность того, что качество детали окажется отличным, для этих станков соответственно равна 0,9; 0,8; 0,7. Какой процент отличных деталей выпускает цех в целом?
6. Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 5%, причем среди забракованной по признаку А продукции 6% случаев встречается дефект В, а в продукции, свободной от дефекта А, дефект В встречается в 2 случаев. Каков процент брака в продукции завода вследствие дефекта В.
7. Среди шести винтовок пристреленными оказываются только две. Вероятность попадания из пристреленной винтовки равно 0,9, а из не пристреленной 0,7. Выстрелом из одной наугад взятой винтовки цель поражена. Определить вероятность того, что взята пристреленная винтовка.
8. На склад поступает продукция трех фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй - 46%, третьей- 34%. Известно так же, что средний процент нестандартных деталей для первой фабрики равен 3%, для второй – 2% для третьей – 1%. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.
9. Всхожесть семян данного сорта растений составляет 80%. Какова вероятность того, что из пяти семян взойдут не менее трех.
10. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,8 и не меняется в процессе стрельбы. Найти наиболее вероятное число попаданий в мишень при 5 выстрелах и соответствующую этому числу вероятность.
11. Вероятность наступления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,002. Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее 3-х раз.
Вариант 7.
1. В урне 10 шаров, из которых 2 белых, 3 черных и 5 синих. Наудачу извлечены 3 шара. Какова вероятность того, что все шары разного цвета?
2. Расстояние от пункта А до пункта В автобус проходит за 2 минуты, а пешеход за 15 минут. Интервал движения автобусов – 25 минут. Вы подходит в случайный момент времени к пункту А и отправляетесь в пункт В пешком. Найти вероятность того, что в пути Вас догонит очередной автобус.
3. Истребитель атакует бомбардировщик и дает по нему две независимых очереди. Вероятность сбить бомбардировщик первой очередью равна 0,2, второй 0,3. Если бомбардировщик не сбит, он ведет по истребителю стрельбу из орудий кормовой установки и сбивает его с вероятностью 0,25. Найти вероятность того, что в результате воздушного боя будет сбит бомбардировщик или истребитель.
4. Три стрелка производят по одному выстрелу по цели, вероятности попадания в которую равны: для первого стрелка 0,6, для второго 0,7, для третьего 0,8. Найти вероятность ровно одного попадания в цель.
5. Приборы одного наименования изготавливаются на трех заводах. Первый завод поставляет 45 % всех изделий, поступающих на производство, второй — 30%, третий — 25%. Надежность прибора, изготовленного на первом заводе, равна 0.8, на втором — 0.85 и на третьем — 0.9. определить полную надежность прибора, поступившего на производство.
6. В первой урне 2 белых и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу переложены 2 шара во вторую, поле чего из второй урны наудачу достали один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?
7. 60% учащихся в школе девочки. 80% девочек и 75 мальчиков имеют билеты в театр. В учительскую принесли кем-то потерянный билет. Какова вероятность того, что этот билет принадлежит девочке?
8. На трех дочерей – Алису, Марину и Елену – в семье возложена обязанность мыть посуду. Поскольку Алиса старшая, ей приходится выполнять 40% всей работы. Остальные 60% работы Марина и Елена делят поровну. Когда Алиса моет посуду, вероятность для нее разбить по крайней мере одну тарелку равна 0,02. Для Марины и Елены эта вероятность равна соответственно 0,03 и 0,04. Родители не знают, кто мыл посуду вечером, но они слышали звон разбитой тарелки. Какова вероятность того, что посуду мыла Марина?
9. Монету бросают 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не менее четырех и не более 6 раз.
10. Игральная кость брошена 5 раз. Найти вероятность выпадения единицы хотя бы один раз.
11. Радиоустройство содержит 500 элементов. Вероятность отказа любого из них в течение срока службы равна 0,006. Найти вероятность того, что в течение срока службы устройства откажут ровно 2 элемента.
Вариант 8.
1. В партии из 10 деталей имеются 4 бракованные. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных 5 деталей окажутся 2 бракованные?
2. Точка (а,b) наудачу выбирается из квадрата с вершинами (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). Найти вероятность того, что корни уравнения х2 + ах + b = 0 окажутся действительными числами.
3. Из колоды в 32 карты наугад одна за другой вынимаются две карты. Найти вероятность того, что вынуты валет и дама.
4. В ящике 7 белых и 9 черных шариков. Наугад вынимают один шарик, фиксируют его цвет и кладут обратно в ящик. После чего шары перемешивают. Затем опять вынимают один шарик. Какова вероятность того, что оба шарика белые?
5. В студенческом стройотряде 2 бригады первокурсников и одна – второкурсников. В каждой бригаде первокурсников 5 юношей и 3 девушки, а в бригаде второкурсников 4 юношей и 4 девушки. По жеребьевке из отряда выбрали одну из бригад и из нее одного человека для поездки в город. Какова вероятность того, что выбран юноша?
6. Бросается монета, и если она падает так, что сверху оказывается герб, вынимаем шар из урны 1, в противном случае – из урны 2. Урна 1 содержит 3 красных и 1 белый шар. Урна 2 содержит 1 красный и 3 белых шара. Какова вероятность того, что вынутый шар – красный?
7. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит выстрел. Цель поражена. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго 0,5, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что выстрел произведен вторым стрелком.
8. На некоторой фабрике машина А производит 40% всей продукции, а машина В 60%. В среднем 9 единиц из 1000 единиц продукции, произведенной машиной А, оказываются браком. А у машины В брак 2 единицы из 500. Некоторая единица продукции, выбранная случайным образом из дневной продукции, оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена на машине В?
9. Какова вероятность того, что при 8 бросаниях монеты герб выпадает 5 раз?
10. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера понадобится по меньшей мере одному.
11. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение минуты равна 0,004. Найти вероятность обрыва нити на 5 веретенах в течение одной минуты.
Вариант 9.
1. В ящике 8 красных и 10 белых шаров. Одновременно наугад вынимаются 2 шарика. Какова вероятность того, что они разных цветов?
2. Стержень длины «а» наудачу разломан на три части. Найти вероятность того, что длинна каждой части окажется больше а/4.
3. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово "два"?
4. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечётные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.
5. При помещении в урну тщательно перемешанных 10 шаров (6 белых и 4 чёрных) один шар неизвестного цвета потерялся. Из оставшихся 9 шаров наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?
6. С первого станка-автомата на сборку поступает 40%, со второго - 30%, с третьего - 20%, с четвертого - 10% деталей. Среди деталей, выпущенных первым станком 2% бракованных, вторым - 1%, третьим - 0,5%, четвертым - 0,2%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь, бракованная.
7. В группе из 20 стрелков пять отличных, девять хороших и шесть посредственных. При одном выстреле отличный стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9, хороший - с вероятностью 0,8, посредственный - с вероятностью 0,7. Наугад выбранный стрелок выстрелил дважды; отмечено одно попадание и один промах. Каким, вероятнее всего, был этот стрелок: отличным, хорошим или непосредственным?
8. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого охотника равна 0,2, а у второго – 0,6. В результате первого залпа оказалось одно попадание в цель. Чему равна вероятность того, что промахнулся первых охотник?
9. Вероятность выигрыша по облигации займа за все его действие равна 0,25. Какова вероятность того, что некто, приобретя 6 облигаций, выигрывает по 4 из них?
10. На автобазе имеется 8 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 6 исправных машин.
11. В селе проживает 730 человек. Найти вероятность того, что у двух из них день рождения на 1 января.
Вариант 10.
1. Из партии, в которой 30 деталей без дефекта и 5 с дефектами, берут на удачу 3 детали. Найти вероятность того, что по крайне мере одна деталь без дефекта.
2. Найти вероятность того, что сумма наудачу взятых двух числе из отрезка [-1; 1] больше нуля, а их произведение отрицательно.
3. Ребенок играет с четырьмя буквами разрезной азбуки А, А, М, М. какова вероятность того, при случайном расположении букв в ряд он получит слово «мама»?
4. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 2, либо 5, либо тому и другому одновременно.
5. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне – 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
6. Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод производит 45% общего количества электроламп, второй 40%, третий 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго 80%, третьего 81%. В магазин поступает только продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в этом магазине лампа окажется стандартной?
7. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.
8. По линии связи передаются кодированный с помощью букв А, В, С текст. Вероятности передачи отдельных букв таковы: Р(А)=0,5; Р(В)=0,3; Р(С)=0,2. Вероятности искажения при передаче отдельных букв равны соответственно: 0,01; 0,03; 0,02. Установлено, что сигнал из двух букв принят без искажений. Чему равна вероятность того, что подавался сигнал АВ?
9. Пусть всхожесть семян ржи составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 6 посеянных семян взойдет 4?
10. Контрольное задание состоит из 5 вопросов. На каждый из которых дается 4 варианта ответа, причем один из них правильный, а остальные – неправильные. Найти вероятность того, что учащийся, не знающий ни одного вопроса, даст не менее 3 правильных ответов (предполагается, что учащийся выбирает ответы наудачу).
11. Вероятность поражения быстродвижущейся цели при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель более двух раз при 5000 выстрелах.
Вариант 11.
1. Владелец одной карточки лотереи «Спортлото» (в которой нужно угадать 6 чисел из 49) зачеркивает 6 номеров. Какова вероятность того, что им будет угадано 5 номеров в очередном тираже?
2. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Времена прихода судов к причалу случайны и независимы. Найти вероятность того, что одному из пароходов придется ждать освобождения причала, если время стоянки парохода 1 ч, а второго – 2 ч.
3. На 30 одинаковых жетонах написаны 30 двузначных чисел от 11 до 40. Жетоны помещены в пакет и тщательно перемешаны. Какова вероятность вынуть жетон с номером, кратным 3 или 2?
4. Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания первым орудием равна 0,85, вторым – 0,91. Найти вероятность поражения цели, если для этого достаточно хотя бы одного попадания.
5. Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02; для второго – 0,03; для третьего – 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего - в два раза меньше. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной.
6. Брак в продукции завода, вследствие дефекта А составляет 5%, причем среди забракованной по признаку А продукции 6% имеет дефект В, а в продукции, свободной от дефекта А, дефект В составляет 2%. Найти вероятность наличия дефекта.
7. Имеется 10 одинаковых по виду урн, из которых в 9 находится по 2 черных и 2 белых шара, а в одной – 5 белых и один черный шар. Из наугад взятой урны извлекается шар. Чему равна вероятность того, что этот шар взят из урны, содержащей 5 белых шаров, если он оказался белым?
8. Агентство по страхованию автомобилей разделяет водителей по 3 классам: класс H1(мало рискует), класс H2 (рискует среднее), Н3 (рискует сильно). Агентство предполагает, что из всех водителей, застраховавших автомобили, 30% принадлежит к классу Н1, 50% - к классу Н2, 20% - к классу Н3. Вероятность того, что в течение года водитель класса Н1 попадет хотя бы в одну аварию, равна 0,01, для водителя класса Н2 эта вероятность равна 0,02, а для водителя класса Н3 – 0,08. Водитель А страхует свою машину и в течение года попадает в аварию. Какова вероятность того, что он относится к классу Н1?
9. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди детей 2 мальчика, если вероятность рождения мальчика ровна 0,5.
10. При передаче сообщения вероятность искажения одного знак равна 0,1. Какова вероятность того, что сообщение из 5 знаков содержит не более 3 искажений?
11. При движении искусственного спутника по орбите в среднем на каждые 200 оборотов вокруг Земли приходится одно столкновение с метеоритом. Найти вероятность того, что за 5000 оборотов спутник столкнется с метеоритом хотя бы 1 раз.
Вариант 12.
1. В лотерее выпущено 20 билетов, 10 из которых выигрывают. Гражданин купил 5 билетов. Какова вероятность того, что по крайней мере один из купленных билетов выигрышей?
2. Точка (c, q) наудачу выбирается из квадрата с вершинами (-1: -1), (1: -1), (1:1), (-1, 1). Найти вероятность того, что корни уравнения x2+cx+q=0 действительные.
3. В денежно-вещевой лотерее на 1000 билетов приходится 24 денежных и 10 вещевых выигрышей. Некто приобрел два билета. Какова вероятность выигрыша хотя бы одного билета?
4. На десяти карточках написаны цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Две из них вынимают наугад и укладывают в порядке появления, затем читают полученное число. Найти вероятность того, что число будет нечетным.
5. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3 % брака, второй – 0,2 % и третий – 0,4 %. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго – 2000 и с третьего – 2500 деталей.
6. По самолету производятся 3 одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором 0,6, при третьем – 0,8. Для вывода самолета из строя достаточно 3 попаданий; при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,3, при двух попаданиях – с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате 3 выстрелов самолет будет сбит.
7. Имеется две урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй 2 белых и 3 черных. Из первой урны наудачу перекладывают во вторую 2 шара, а затем из второй урны извлекают один шар. Какой состав переложенных шаров наиболее вероятен, если шар, извлеченный из второй урны, окажется белым?
8. 4 стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятности попадания для данных стрелков равны 0,4; 0,6; 0,7; 0,8. После стрельбы мишени обнаружены 3 пробоины. Найти вероятность того, что промахнулся четвертый стрелок.
9. Рабочий обслуживает пять одинаковых станков. Вероятность того, что в течение часа станок регулировки равна 1/3. Какова вероятность того, что в течение часа рабочему придется регулировать 4 станка?
10. Провидено 5 независимых испытаний, каждое из которых заключается в одновременном подбрасывании 2 монет. Найти вероятность того, что равно в трех испытаниях появились по 2 герба.
11. Из электронных элементов данной партии в среднем за каждый 2000 часов работы оказывает один элемент. Найти вероятность того, что за 5000 часов откажет не менее трех элементов.
Вариант 13.
1. Партия из 10 деталей проверяется контролером, который наугад отбирает 3 детали и определяет их качество. Если среди выбранных контролером деталей нет ни одной бракованной, то вся партия принимается; в противном случае она посылается на дополнительную проверку. Какова вероятность того, что партия деталей, содержащая 4 бракованные детали, будет принята контролером?
2. Точка (a, b) наудачу выбирается из квадрата с вершинами (-1, -1), (1, -1), (1,1), (-1,1). Найти вероятность того, что корни уравнения x2+ax+b=0 мнимые.
3. В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.
4. Для повышения надежности (вероятности безотказной работы) центрального блока, вероятность безотказной работы которого в течение заданного времени равна 0,85, устанавливается такой же резервный блок. При выходе из строя центрального блока происходит мгновенное переключения на резервный блок. Определить надежность дублирующий друг друга блоков.
5. Для контроля продукции из трех партий деталей взято одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 1/3 деталей бракованные, а в двух других все доброкачественные.
6. В группе из 20 стрелков имеются 4 отличных, 10 хороших и 6 посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для отличного стрелка равна 0,9, для хорошего - 0,7, для посредственного – 0,5. Найти вероятность того, что наудачу выбранный стрелок попадет в цель.
7. Клапаны, изготовленные в цехе, проверяются двумя контролерами. Вероятность того, что годная деталь будет забракована, для первого контролера равна 0,6, а для второго – 0,2. При проверке забракованных клапанов обнаружен годный. Найти вероятность того, что этот клапан проверял первый контролёр.
8. Для участия в студенческих отборочных соревнованиях на уровне институтов ФА участвуют: из первой группы 4 студента, из второй – 6, из третьей – 5. Студент первой группы попадет в сборную ФА с вероятностью 0,9, для студента второй группы эта вероятность равна – 0,7, а для третьей – 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге отборочного соревнования попал в сборную академии. В какой группе вероятнее всего учится этот студент?
9. В мастерской работают 6 моторов. Для каждого мотора вероятность перегрева к обеденному перерыву 0,8. Найти вероятность того, что к обеденному перерыву перегреются ровно 4 мотора.
10. Вероятность появления события А в опыте равна 0,3. Опыт повторили 5 раз независимым образом. Какова вероятность того, что событие А при этом появится не менее двух раз?
11. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность неправильной брошюровки равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит хотя бы один бракованный по указанной причине учебник.
Вариант 14.
1. В ящике лежат 10 деталей 1 сорта и 5 деталей второго сорта. Наудачу вынимают три детали. Чему равна вероятность того, что хотя бы одна из деталей первого сорта?
2. Точка (c, q) наудачу выбирается из квадрата с вершинами (-1, -1), (1, -1), (1, 1), (-1, 1). Найти вероятность того, что корни уравнения x2+cx+q=0 положительные.
3. Из множества 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 наудачу выбрано число q после чего составлено уравнение x2+4x+q=0. Какова вероятность того, что корни этого уравнения существуют и окажутся действительными числами?
4. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, а для второго 0,6. Стрелки независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один из стрелков?
5. В 3 урнах содержатся белые и черные шары. В первой 2 белых и 3 шара, во второй 2 белых и 2 черных шара, в третьей – 3 белых и 1 черный шар. Из первой урны положили шар во вторую. После этого шар из второй урны переложили в третью. Наконец, из третьей урны шар переложили в первую. Определить вероятность того, что во всех урнах состав шаров по их цветам останется без изменений.
6. Известно, что 96 % выпускаемых заводом изделий отвечают стандарту. Упрощенная схема контроля признает годной стандартную деталь с вероятностью 0,98 и нестандартную продукцию с вероятностью 0,05.
Определить вероятность того, что изделие, успешно прошедшее упрощённый контроль, отвечает стандарту.
7. В собранной электрической цепи может быть поставлен предохранитель первого типа, который при перегрузке срабатывает с вероятностью 0,8 или предохранитель второго типа, который в тех же условиях срабатывает с вероятностью 0,9. Предохранитель первого типа может быть поставлен в цепь 6 – и случаях из 10, а второго типа – в 4-х случаях из 10. Предохранитель в цепи сработал. Что вероятнее: поставлен предохранитель первого типа или второго?
8. Два стрелка стреляют по мишени. Один из них попадает в цель в среднем в 5 случаях, а второй в 8 случаях из 10. Перед выстрелом они бросают монету для определения очередности. Посторонний наблюдатель знает условия стрельбы, но не знает, кто в данный момент стрелял. Вот он видит, что стрелок попал в цель. Какова вероятность того, что стрелял первый стрелок?
9. В магазин вошли 5 покупателей. Найти вероятность того, что не менее трех из них совершат покупки, если вероятность совершить покупку для каждого вошедшего одна и та же и равна 0,3.
10. В мастерской имеются 6 моторов. При существующем режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что с полной нагрузкой в данный момент работают не менее 5 моторов.
11. Магазин получил 2000 бутылок минеральной воды. Предусмотренный процент боя при перевозке составляет 0,3 %. Найти вероятность того, что по дороге разбилось больше трех бутылок.
Вариант 15.
1. В новогодней лотерее 16 билетов, из которых 10 выигрышных. Участник лотереи покупает три билета. Определить вероятность того, что у него будет не менее двух выигрышей.
2. Точка (c, d) наудачу выбирается из квадрата с вершинами (-1, 1), (1, -1), (1, 1), (-1,1). Найти вероятность того, что корни уравнения x2+cx+q=0 разных знаков.
3. Даны отрезки длиной 2; 5; 6; 10. Какова вероятность того, что из наудачу взятых отрезков можно построить треугольник?
4. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,9; для второго – 0,8; а для третьего – 0,7. Какова вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один стрелок?
5. В каждый из трех урн по 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую, после чего из второй наудачу извлечен один шар и переложен в третью. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из третьей урны, черный.
6. При переливании крови надо учитывать группу крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или третьей группой крови можно перелить кровь той же группы или первой; человеку с первой группой крови можно перелить только первую группу. Среди населения имеют соответственно группы крови: 33,7 % - первую; 37,5 % - вторую; 20,9 % - третью; 7,9 % - четвертую. Найти вероятность того, что случайно взятому человеку можно перелить кровь случайно взятого донора.
7. На заводе, изготовляющем гвозди, первый автомат производит 15 %, второй – 30 %, а третий – 55 % всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 3 %; 4 %; 5 %. Случайно выбранный из продукции гвоздь оказался бракованным. Какова вероятность того, что он был произведен вторым автором?
8. Вся продукция проверяется двумя контролёрами. Вероятность того, что изделие попадет на проверку к первому контролеру, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что они пропустят нестандартные изделия, соответственно равна 0,01 и 0,02. Взятое наудачу изделие с маркой «стандарт» оказалось бракованным. Какова вероятность того, что это изделие проверялось вторым контролером?
9. В приборе стоят 6 одинаковых предохранителей. Для каждого из них вероятность перегореть за 1000 ч работы равна 0,4. Если предохранителей перегорело не менее двух, то прибор требует ремонта. Найти вероятность того, что, прибор потребует ремонта в течение 1000 часов работы, если предохранители перегорают независимо друг от друга.
10. Производится стрельба тремя ракетами по кораблю. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Для потопления корабля достаточно двух попаданий. При попадании иной ракеты корабль тонет с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что корабль будет потоплен.
11. Вероятность производства бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей будет ровно 8 бракованных.
Вариант 16.
1. В группе 12 юношей и 18 девушек. Для участия в студенческой конференции нужно выбрать делегацию из трех человек. Какова вероятность того (если считать выбор случайным), Что выбраны две девушки и один юноша?
2. Точка (a, b) наудачу выбирается из квадрата с вершинами (-1, -1), 1, -1), (1, 1), (-1, 1). Найти вероятность того, что корни уравнения x2+ax+b=0 одного знака.
3. Слово «молния» разрезали на буквы, взяли наудачу четыре буквы и выложили их в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «миля»?
4. В жюри из трех человек 2 члена независимо друг от друга принанимают правильное решение с вероятностью 0,9, а третий для принятия решения бросает монету (окончательное решение большинством голосов). С другой стороны, некий судья принимает правильное решение с вероятностью 0,9. Кто с большей вероятностью принимает правильное решение: жюри или судья?
5. По самолету производится 3 выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором 0,6, третьем – 0,8. При одном попадании самолет будет сбит с вероятностью 0,3, при двух – с вероятностью 0,6, при трех наверняка. Какова вероятность того, что самолет будет сбит?
6. В белом ящике лежат 12 красных и 6 синих одинаковых на ощупь шаров. В желтом ящике лежат 15 красных и 10 синих одинаковых на ощупь шаров. Бросается игральная кость. Если число выпавших очков кратно трем, то наудачу вынимают шар из белого ящика. Если число выпавших очков не кратно трем, то вынимают наудачу шар из желтого ящика. Какова вероятность того, что вынутый шар красный?
7. Из 10 деталей 4 окрашены. Вероятность того, что окрашенная деталь тяжелее нормы, равна 0,3, а неокрашенной детали эта вероятность равна 0,1. Взятая наудачу деталь оказалась тяжелее нормы. Найти вероятность того, что она окрашена.
8. На склад поступает продукция трех фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 20 %, второй 46 %, третьей – 34 %. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3 %, для второй – 2 %, для третьей – 1 %. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.
9. Вероятность появления события А в опыте равна 1/4. Опыт повторили 8 раз независимым образом. Найти вероятность того, что событие А при этом появится не более двух раз.
10. В ящике лежат несколько тысяч предохранителей. Половина из них приготовлена заводом №1, остальные заводом №2. Наудачу вынули 5 предохранителей. Чему равна вероятность того, что заводом №1 из них изготовлено более двух?
11. На 1000 семян приходится в среднем 4 пораженных злаковой болезнью. Найти вероятность того, что из 5000 семян поражено не более 5.
Вариант 17.
1. В ящике лежат 15 красных, 9 синих и 6 зеленых шаров, одинаковых на ощупь. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынуты 1 зеленый, 2 синий и 3 красных шара?
2. На окружность радиусом R наудачу поставлены три точки A, B, C. Найти вероятность того, что треугольник ABC – остроугольный.
3. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,7, для второго станка эта вероятность равна 0,8, для третьего – 0,9 и, наконец, для четвертого – 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа, по крайней мере, один станок потребует к себе внимания рабочего.
4. Гардеробщица выдала одновременно номерки четырем лицам, сдавшим в гардероб свои шляпы. После этого она перепутала все шляпы и повесила их наугад. Найти вероятность того, что каждому из 4 лиц гардеробщица выдаст его собственную шляпу.
5. Литье в болванках поступает из двух цехов: 70 % из первого цеха и 30 % - из второго. При этом материал первого цеха имеет 10 % брака, а второго – 20 %. Найти вероятность того, что взятая наугад болванка не имеет дефектов.
6. Из колоды в 52 карты переложена карта в колоду из 36 карт. Какова после этого вероятность вынуть туз из этой колоды?
7. Три стрелка одновременно выстрелили и в мишени обнаружены две пули. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, для второго 0,5, для третьего – 0,4.
8. Тяжелый крейсер встретил три легких крейсера. Командиру тяжелого крейсера известно, что палуба одного из легких крейсеров на 1/3 завалена минами. При открытии огня по одному из крейсеров наблюдалось попадание на палубу, не вызвавшее взрыва. Как велика вероятность, что обстреливается крейсер с минами, если допустить, что попадание в районе мин вызовет взрыв мин?
9. В цехе работают 4 станка, при чем вероятность остановки в течение часа для каждого из них одна и та же и равна 0,8. Какова вероятность того, что в течение часа остановится не менее трех остановок?
10. 40 % шестерен, лежащих в ящике, изготовлены на заводе №1, остальные – на заводе №2. Из ящика взяли на удачу 5 шестерен. Какова вероятность того, что среди них окажутся изготовленными заводом №1 не менее трех шестерен?
11. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,001. Сколько надо купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному с вероятностью не меньшей, чем 0,99?
Вариант 18.
1. Среди ветеранов Великой Отечественной войны одного рода войск, приглашенных для участия в Параде Победы, 4 Героя Советского Союза и 14 лиц, награжденных тремя орденами Славы. Ветеранов необходимо распределить по шеренгам из 6 человек. Какова вероятность того, что в одной шеренге будут 2 Героя и четверо ветеранов, награжденных орденами Славы?
2. Двоя договорились встретиться на следующих условиях: в указанное место каждый из них приходит в любой момент времени между 15.00 и 16.00. Придя, ожидает не более 15 минут и уходит не позднее 16.00. Какова вероятность того, что встреча состоится?
3. Слово «карета», составленное из букв – кубков, рассыпано на отдельные буквы, которые затем сложены в коробки. Из коробок наугад извлекают буквы одну за другой. Какова вероятность получить при таком извлечении слово «ракета»?
4. Три стрелка производят по одному выстрелу. Вероятность попадания каждого в цель следующая: 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что в цель попадут только два стрелка.
5. Электролампы изготовляются на трех заводах. Первый завод производит 45 % общего количества электроламп, второй – 40 %, третий – 15 %. Продукция первого завода содержит 70 % стандартных ламп, второго – 80 %, третьего – 81 %. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в этом магазине лампа окажется стандартной?
6. Имеются 4 урны. В первой – 1 белый и 1 черный шар, во второй – 2 белых и 3 черных шара, в третьей – 3 белых и 5 черных шаров, в четвертой – 4 белых и 7 черных шаров. Вероятности выбора каждой из урн следующие: 1/10, 1/5, 3/10, 2/5. Выбирают наугад одну из урн и вынимают из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
7. Из 10 деталей 4 окрашены. Вероятность того, что окрашенная деталь тяжелее нормы, равна 0,3, а для неокрашенной детали эта вероятность равна 0,1. Взятая наудачу деталь оказалась тяжелее нормы. Найти вероятность того, что она окрашена.
8. Трем студентам дано задание решить одинаковое количество задач. Вероятность сделать хотя бы одну ошибку для первого студента равна 0,2, для второго – 0,1, для третьего – 0,15. Преподаватель наудачу извлекает одну тетрадь и находит ошибку. Найти вероятность того, что ошибется первый студент.
9. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того что хотя бы на одной из костей выпало не более двух очков.
10. По самолету производятся четыре независимых выстрела. Вероятность попадания в самолет при одном выстреле равна 0,1. Чтобы вывести самолет из строя, достаточно трех попаданий. При одном попадании вероятность вывода самолета из строя равна 0,6 при двух – 0,8. Найти вероятность того, что самолет будет выведен из строя.
11. На 1000 семян приходится в среднем 4 пораженных болезнью. Сколько нужно проверить семян, чтобы с вероятностью не меньше 0,95 можно было утверждать, что хотя бы одно зерно поражено болезнью?
Вариант 19.
1. Из полной колоды карт (52 карты) вынимаются сразу три карты. Найти вероятность того, что этими картами будут тройка, семерка, туз.
2. Плоскость разлинована параллельными прямыми линиями, находящимися на расстоянии 10 см друг от друга. Определить вероятность того, что наугад брошенный на эту плоскость круг радиусом 4 см не будет пересечен ни одной линией.
3. На трех карточках написана буква «о», на двух буква «к» и на двух буква «л». Найти вероятность того, что карточки, выложенные в ряд, образуют слово «колокол».
4. Вероятность попадания в цель только одним выстрелом из двух равна 0,32. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель при двух выстрелах.
5. В двух ящиках находятся шары: в одном – 2 белых и 5 черных, в другом – 2 белых и 3 черных. Из первого во второй переложены три шара неизвестных цветов. Какова вероятность вытянуть из второго ящика черный шар?
6. В ящик, содержащий 3 детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу излечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь. Первоначальный соответствующий стандарту состав деталей в ящике, неизвестен.
7. На склад поступает продукция трех фабрик. Продукция первой фабрики составляют 20 %, второй - 46 %, третьей – 34 % от общего числа. Известна также, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3 %, для второй – 2 %, для третьей – 1 %. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось стандартным.
8. В кондитерском цехе выпускаются торты и пирожные, при чем пирожных в 4 раза больше. 10 % тортов и 35 % пирожных изготовляются с орехами. Наугад выбранное изделие оказалось с орехами. Какова вероятность того, что это торт?
9.Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение
гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 3 телевизоров, имеющих одинаковые гарантийные сроки и одинаковые сроки и одинаковые условия эксплуатации, хотя бы один не потребует ремонта.
10. По цели производится три независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,1, при втором 0,2 и при третьем – 0,3. Для поражения цели достаточно двух попаданий. При одном попадании цель поражается с вероятностью 0,6. Найти вероятность поражения цели.
11. Сколько годных деталей ожидается в партии из 1000 деталей, если вероятность брака равна 0,005? Найти вероятность этого числа годных деталей в партии.
Вариант 20.
1. Среди дружинников 3 девушки и семь юношей. Требуется путем жеребьевки избрать на дежурство три дружинников. Чему равна вероятность того, что при извлечении одного за другим трех «жребиев» окажутся избранными три юноши?
2. Прямоугольник со сторонами 1 и 2 брошена точка А. Найти вероятность того, что расстояние от точки А до ближайшей стороны прямоугольника не превосходит ¼.
3. На пяти одинаковых карточках выписаны буквы: на двух карточках
«л», на остальных трех «и». выкладываем наудачу эти карточки подряд. Какова вероятность того, что получится слово «лилии»?
4. В книге 500 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный семи?
5. В цехе работают три станка. При этом производительность первого вдвое выше производительности второго и в 1,5 раза выше производительности третьего. На первом станке из каждых десяти изделий 3 изделия первого сорта. На втором - 5 изделий, на третьем - 4 изделия. Найти вероятность того, что наугад взятое со склада изделие имеет первый сорт.
6. В двух ящиках находятся шары: в одном 3 белых и 2 черных, - другом белых и 5 черных. Из каждого ящика вынули по одному шару, в затем оставшееся шары ссыпали в один ящик. Какова вероятность вынуть из него белый шар?
7. Телефонное сообщение состоит из сигналов "точка" и "тире". В среднем искажается 2/5 сообщений "точка" и 1/3 "тире". Известно, что среди передаваемых сигналов "точка' и "тире" встречаются в отношении 5:3. Определить вероятность того, что верно принят передаваемый сигнал, если принят сигнал! "тире".
8. В часовую мастерскую поступают в среднем 40 % часов с дефектом A, 25 % с дефектом В и 35 % о дефектом С. Вероятность ремонта часов с дефектом А равна 0,6, с дефектом В - 0,7, с дефектом С - 0,8. Часы, поступившие в, ремонт полностью отремонтировали. Найти вероятность того, что у часов был дефект А.
9. База заказала на некоторый день 4 автомашины, имея б потребителей, каждый из которых даст по одному заказу в день независимо друг от друга с вероятностью 0,4. Определить вероятность того, что машин не хватит для удовлетворения всех заказов.
10. Три ракетные установки выстрелили по мишени. Вероятности попадания каждой из них одинаковы и равны 0.4. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если известно, что при одном попадании мишень поражается с вероятностью 0,2, при двух - с вероятностью 0,5 и при трех - с вероятностью 0,8.
11. Космические частицы, попавшие в станцию "МКС", образовывали по го; с плотностью 0,001 частиц на 100 м 2. Солнечная батарея станции занимала площадь 1000 м 2. Для выхода из строя солнечной батареи достаточно попашите; в псе двух частиц. Какова вероятность выхода из строя солнечной батареи?
Вариант 21.
1. На самолет требуются три стюардессы, которых выбирают по жребию из 20 девушек. Семь из них блондинки, остальные - брюнетки. Какова вероятность того, что среди выбранных трех стюардесс будет, по крайней мере, одна блондинка и, по крайней мере, одна брюнетка?
2. В квадрат со стороной 1 наудачу брошена точка А. Найти вероятность того, что расстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата не превосходит 1/4.
3. Слово "лотос", составленное из букв-кубиков, рассыпано на отдельные буквы, которые затем сложены в коробке. Из коробки наугад извлекаются одна за другой три буквы. Какова вероятность того, что при этом появится слово "сто"'?
4. Задумано число от 1 до 100. Какова вероятность того, что это число не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5?
5. В двух ящиках находятся шары: в одном 4 белых и 2 черных, в другом 2 белых и 3 черных. Из первого ящика во второй переложены случайным образом три шара. Какова вероятность вынуть из второго ящика черный шар?
6. На двух станках изготавливаются одинаковые, детали. Вероятность изготовления детали высшего качества на первом станке равна 0,92, на втором - 0,8. Изготовленные детали находятся на складе. Среди них деталей, изготовленных на первом станке, в 3 раза больше, чем на втором. Определить вероятность того, что наудачу взятая деталь произведена па первом станке и высшего качества.
7. На фабрике, изготовляющей некоторую продукцию, первая машина производит-30%, вторая-45%, третья- 25 % всех изделий. Брак их продукции составляет соответственно 2 %, 5 % к 3 %. Найти вероятность того, что случайно выбранное изделие произведено первой машиной; если оно оказалось дефектным.
8. Предположим, что 20 % мужчин и 40 % женщин блондины. Наугад выбранное лицо оказалось блондином. Какова вероятность того, что эта женщина (принять, что количество мужчин и женщин одинаково)?
9. Какова вероятность того, что при 5 бросаниях игральной кости число очков, кратное трем, выпадает больше двух, но не больше 4 раз?
10. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,64. Найти вероятность трех попаданий при пяти выстрелах.
11. Известно; что 0.25 % всех женщин - дальтоники. В зрительном зале 1600 человек, половина из которых женщины. Какова вероятность того, что среди присутствующих на спектакле женщин не менее четырех дальтоников?
Вариант 22.
1. Ящик содержит 10 деталей, среди которых 2 стандартных. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной стандартной.
2. Плоскость разлинована параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 14 см. На плоскость наудачу брошена монета радиусом 3 см. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.
3. На каждой из восьми одинаковых карточках напечатана одна из следующих букв: а. м. р, р. г, с, о, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность, того, что на четырех вынутых по одной и расположенных в одну линии карточках можно будет прочесть слово "трос".
4. В один прекрасный весенний вечер Дюпон и Дюран играли в кости на террасе кафе. Они по очереди бросали кости. Если сумма оказывалась равной семи, то очко, выигрывая Дюран, а если сумма равнялась восьми, то выигрывал Дюпон. На кого из них вы бы поставили, если вам пришлось бы держать пари?
5. На склад поступаю: одинаковые электрические утюги. Первый завод поставляет 80 %, второй 20 % продукции. Известно, что первый завод выпускает 90 % продукции первого сорта, второй - 95 %, Какова вероятность того, что проданный покупателю утюг из наудачу выбранной партии первого сорта"?
6. В группе спортсменов 30 бегунов, 10 боксеров к 20 лыжников. Вероятности выполнить норму таковы: для бегуна - 0,9, для боксера - 0,6, для лыжника - 0,7. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу выполнил норму.
7. В некоторой отрасли 30% продукции производится фабрикой №1, 25% - фабрикой №2, а остальные - фабрикой № 3. На фабрике №. 1 в брак идет 1 % всей продукции, на фабрике №2 - 1,5 %, на фабрике №3 - 2 %. Взятая наудачу делать оказалась стандартной. Какова вероятность того, что она произведена фабрикой №2?
8. Орудийная батарея состоит из четырех орудий: два орудия попадают в цель при одном выстреле с вероятностью 0,6. а два других - с вероятностью 0,7. Ддя поражения цели достаточно двух попаданий, а при одном попадании вероятность поражения цели равна 0.8. Одно из орудий выстрелило дважды. Найти вероятность поражения цели.
9. Игральная кость бросается 5 раз. Найти вероятность того, что два раза появился число очков, кратное трем.
10. Из последовательности чисел 1, 2,….. 99, 100 выбирают наугад с возвращением 5 чисел. Чему равна вероятность того, что среди чисел, кратных семи, будет не более одного?
11. На инаугурацию президента явились 1098 человек. Найти вероятность того, что трое из них родились в один день с президентом (выборы президента проводятся в високосном году).
Вариант 23.
1. У продавца магазина из оставшихся 10 огурцов восемь стандартных. Найти вероятность того, что среди трех наудачу извлеченных и проданных покупателю огурцов менее двух нестандартных.
2. В квадрат со стороной 1 брошена точка А. Найти вероятность того, расстояние от точки А до диагоналей квадрата не превосходит 2Ö8.
3. Каждая из букв. А, У, К, С, 3 написана на одной из семи карточек. Карточки отобраны и разложены в произвольном порядке. Найти вероятность того, что при этом образуется слово "казус".
4. Попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что он попадает два раза.
5. В первой урне содержатся 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекается по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый тиар.
6. В продажу было пущено 20 ящиков яблок, 4 ящика винограда и 10 ящиков помидор. Процент стандартности в них составляет' 90 %. 95 %, 90 %. Найти вероятность того, что продукция из любых двух ящиков, выбранных покупателем, будет стандартной,
7. Три пассажира метро вышли из вагона на станции метро "Охотный ряд". Вероятности того, что они сделают пересадку, равны 0,9; 0,8; 0,7 для первого, второго и третьего пассажира. Два пассажира вышли на улицу к ГУМу. Найти вероятность того, что среди них был второй пассажир,
8. Для снижения загрязнения окружающей среды на заводе установлены четыре пылеулавливателя. Вероятности очистки воздуха с их помощью таковы: для первого - 0,9, для второго - 0,93, для третьего - 0,95. для четвертого 0,98. Оператор наугад включает один из пылеулавливателей, и воздух очищается: Какова вероятность того, что был включен второй пылеулавливатель?
9. Игральный кубик подбрасывается 6 раз. Найти вероятность того, что шестерка появится ровно два раза.
10. В урне б белых и 9 гор пах шаров. Из урны извлекают шар, фиксируют его цвет; после чего возвращают шар обратно в урну. Указанный опыт повторяют трижды. Какова вероятность того, что из трех вытащенных шаров ровно два окажутся белыми?
11. Вероятность аварии на одном энергоблоке АЭС в течение года 0,001. Найти вероятность того, что при эксплуатации 100 энергоблоков в течение 30 лет не произойдет ни одной аварии.
Вариант 24.
1. В подразделении 5 старших и 10 младших офицеров. Формируется офицерский патруль из 4-х человек. Какова вероятность того, что в
