Билет №1
1. Первообразная функция. Теорема о разности двух первообразных (с доказательством). Неопределенный интеграл: определение Функция F(x) называется первообразной функцией f(x) на интервале (a;b), если для любого x∈(a;b) выполняется равенство F'(x)=f(x). Теорема. Если функция F(х) является первообразной функции f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f(x) задаётся формулой F(x)+C, где С=const. Доказательство. Функция F(x)+C является первообразной f(x). Действительно, (F(x)+C)'=F'(x)=f(x). Пусть Ф(х) - некоторая другая, отличная от F(x), первообразная функция f(x), т.е. Ф'(х)=f(x). Тогда для любого x∈(a;b) имеем (Ф(х)-F(x))'=Ф'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0. А это означает, что Ф(х)-F(x)=C, C=const. Следовательно, Ф(x)=F(x)+C.Множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом ∫f(x)dx.
19. Определение точки максимума и минимума функции z=f(x,y). Точка (X0;Y0) называется точкой максимума функции z=f(x;y), если существует такая δ-окрестность точки (X0;Y0), что выполняется неравенство f(x;y)<f(X0;Y0). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (x;y), отличных от (X0;Y0), из δ-окрестности точки (X0;Y0) выполняется неравенство f(x;y)>f(X0;Y0).
Необходимый признак экстремума.
Если непрерывная функция z=z(x,y) имеет в точке P0(x0,y0) экстремум, то все ее частные производные первого порядка в этой точке или равны нулю или не существуют
Докозательство: Частная производная функции z=f(x,y) по x в точке P0(x0,y0) есть производная функции одной переменной φ(x)=f(x,y0) в точке x-x0. Но в этой точке функция φ(x) имеет, очевидно, экстремум. Следовательно, φ’(x0)=0.Так как φ’(x0)=f’x(x0,y0), то f’x(x0,y0)=0 Аналогично можно показать, что f’y(x0,y0)=0. Теорема доказана.
Билет №2
6. Теорема о среднем (формулировка, доказательство, геометрический смысл). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка С∈[a;b] такая, что ∫(от a до b) f(x)dx=f(c)*(b-a). Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем ∫(от a до b) f(x)dx=F(x)|(от a до b)=F(b)-F(a), где F'(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F'(c)*(b-a)=f(c)*(b-a). Геометрический смысл. Теорема при f(x)≥0 имеем простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором С∈ (a;b), площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием b-a. Число f(c)=1/(b-a)∫(от a до b) f(x)dx называется средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].
8. Частные приращения функции z=f(x;y). Частные производные: определение и их геометрический смысл. Пусть задана функция z=f(х;у). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять постоянное значение. Дадим переменной х приращение ∆х, сохраняя значение переменной у неизменным. Тогда функция z получит приращение, которое назовем частным приращением z по х и обозначим ∆xz. Итак, ∆xz=f(x+∆x;y)–f(х;у). Аналогично получаем частное приращение z по у: ∆yz=f(x;у+∆y)–f(х;у).Если существует предел lim∆x→0(∆xz/∆x)=lim∆x→0((f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), то он называется частной производной функции z=f(x;y) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов: z'x, δz/δx; f'x, δf/δx. Геометрический смысл. Графиком функции z=f(x;y) является некоторая поверхность. График функции z=f(x0;y0) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у=у0. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной, заключаем, что f'x(x0;y0)=tgα, где α - угол между осью Ох и касательной, проведённой к кривой z=f(x0;y0) в точке M0(x0;y0;f(x0;y0)). Аналогично f'y(x0;y0)=tgβ.
Билет №3
3. Вычисление определенного интеграла по отрезку. Формула Ньютона-Лейбница (вывод). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) - какая-либо её первообразная на [a;b] (F'(x)=f(x)), то имеет место формула ∫(от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a). Эта формула является формулой Ньютона-Лейбница.Рассмотрим тождество: F(b)-F(a)=F(xn)-F(x0)=(F(xn)-F(xn-1))+(f(xn-1)-F(xn-2))+…(F(x2)-F(x1))+(F(x1)-F(x0)). Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа: f(b)-f(a)=f’(c)*(b-a). Получим F(b)-F(a)=F’(cn)(xn-xn-1)+F’(cn-1)(xn-1-xn-2)+F’(c2)(x2-x1)+F’(c1)(x1-x0)= ΣF’(Ci)ΔXi=Σf(Ci)ΔXi, то есть F(b)-F(a)= Σf(Ci)ΔXi, где Ci есть некоторая точка интервала (Xi-1,Xi). Так как функция y=f(x) непрерывна на [a;b], то она интегрируема на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равной определенному интегралу от f(x) на [a;b]. Переходя к пределу при λ=maxΔXi→0,получаем F(b)-F(a)=lim Σf(Ci)ΔXi, то есть ∫(от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a). 19. Определение точки максимума и минимума функции z=f(x,y). Точка (X0;Y0) называется точкой максимума функции z=f(x;y), если существует такая δ-окрестность точки (X0;Y0), что выполняется неравенство f(x;y)<f(X0;Y0).Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (x;y), отличных от (X0;Y0), из δ-окрестности точки (X0;Y0) выполняется неравенство f(x;y)>f(X0;Y0). 20. Достаточный признак существования экстремума функции z=f(x;y). (формулировка). Пусть в стационарной точке (X0;Y0) и некоторой её окрестности функция f(x;y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (X0;Y0) значения A=f''xx(X0;Y0), B=f''xy(X0;Y0), C=f''yy(X0;Y0). Обозначим Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Тогда: 1)если Δ>0, то функция f(x;y) в точке (X0;Y0) имеет экстремум: максимум, если A<0; минимум, если A>0; 2)если Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X0;Y0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X0;Y0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
Билет №4 4. Определение определённого интеграла по отрезку. Основные свойства определённого интеграла по отрезку (с доказательством одно из них). Определённым интегралом по отрезку [a;b] от функции f(x) называется предел интегральной суммы Σf(ci)Δxi, если этот предел существует и не зависит ни от деления отрезка [a;b]на части, ни от выбора точек t внутри каждой из частей при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков (∆xi) стремится к нулю, т.е ∫(от a до b) f(x)dx=lim Δxi→0 Σf(ci)Δxi. Свойства: 1)Если с - постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то ∫(от a до b) с*f(x)dx=с*∫(от a до b) f(x)dx. Доказательство. Составим интегральную сумму для функции с*f(x). Имеем Σс*f(ci)Δxi=с*Σf(ci)Δxi. Тогда lim n→∞ Σс*f(ci)Δxi=c*lim n→∞ f(ci)=с*∫(от a до b) f(x)dx. Отсюда вытекает, что функция с*f(x) интегрируема на [a;b] и справедлива формула ∫(от a до b) с*f(x)dx= с*∫(от a до b) f(x)dx.2)Если функции f1(x) b f2(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на [a;b] их сумма и ∫(от a до b) (f1(x)+f2(x))dx=∫(от a до b) f1(x)dx+∫(от a до b) f2(x)dx. 3)∫(от a до b) f(x)dx= -∫(от b до a) f(x)dx. 4)Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a<c<b, то ∫(от a до b) f(x)dx=∫(от a до c) f(x)dx+ ∫(от c до b) f(x)dx.5)Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка С∈[a;b] такая, что ∫(от a до b) f(x)dx=f(c)*(b-a). 6)Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [a;b], где a<b, то интеграл ∫(от a до b) f(x)dx имеет тот же знак, что и функция. Так, если f(x)≥0 на отрезке [a;b], то ∫(от a до b) f(x)dx≥0. 7)Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [a;b], (a<b) можно интегрировать. Так, если f1(x)≤f2(x) при x∈[a;b], то ∫(от a до b) f1(x)dx≤ ∫(от a до b) f2(x)dx. 8)Если m и M - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b], (a<b), то m(b-a)≤∫(от a до b) f(x)dx≤M(b-a). 9)Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции: |∫(от a до b) f(x)dx|≤∫(от a до b) |f(x)|dx; a<b. 10)Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, то есть (∫(от a до x) f(t)dt)'x=f(x). 21. Производная функции u=u(x;y;z) по направлению l (определение, формула для вычисления, вывод формулы вычисления). Предел LimΔl→0(Δu/Δl) называется производной функции u(x;y;z) по направлению вектора l в точке с координатами (x;y;z).Δu/Δl=LimΔl→0(Δlu/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.Предположим, что функция u(x;y;z) непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области D: Δu=(δu/δx)Δx+(δu/δy)Δy+(δu/δz)Δz+E1Δx+E2Δy+E3Δz, где E1, E2, E3 стремятся к нулю при Δl→0. Разделим всё равенство на Δl. Δu/Δl=(δu/δx)(Δx/Δl)+(δu/δy)(Δy/Δl)+(δu/δz)(Δz/Δl)+E1(Δx/Δl)+E2(Δy/Δl)+E3(Δz/Δl). Δx/Δl=cosα; Δy/Δl=cosβ; Δz/Δl=cosγ. Равенство можно представить так: Δu/Δl=(δu/δx)cosα+(δu/δy)cosβ+(δu/δz)cosγ+E1cosα+E2cosβ+E3cosγ. Перейдя к пределу, получим Δu/Δl=LimΔl→0(Δlu/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.
Билет №5
1. Первообразная функция. Теорема о разности двух первообразных (с доказательством). Неопределенный интеграл: определение Функция F(x) называется первообразной функцией f(x) на интервале (a;b), если для любого x∈(a;b) выполняется равенство F'(x)=f(x). Теорема. Если функция F(х) является первообразной функции f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f(x) задаётся формулой F(x)+C, где С=const. Доказательство. Функция F(x)+C является первообразной f(x). Действительно, (F(x)+C)'=F'(x)=f(x). Пусть Ф(х) - некоторая другая, отличная от F(x), первообразная функция f(x), т.е. Ф'(х)=f(x). Тогда для любого x∈(a;b) имеем (Ф(х)-F(x))'=Ф'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0. А это означает, что Ф(х)-F(x)=C, C=const. Следовательно, Ф(x)=F(x)+C.Множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом ∫f(x)dx.
19. Определение точки максимума и минимума функции z=f(x,y). Точка (X0;Y0) называется точкой максимума функции z=f(x;y), если существует такая δ-окрестность точки (X0;Y0), что выполняется неравенство f(x;y)<f(X0;Y0).Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (x;y), отличных от (X0;Y0), из δ-окрестности точки (X0;Y0) выполняется неравенство f(x;y)>f(X0;Y0). 20. Достаточный признак существования экстремума функции z=f(x;y). (формулировка). Пусть в стационарной точке (X0;Y0) и некоторой её окрестности функция f(x;y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (X0;Y0) значения A=f''xx(X0;Y0), B=f''xy(X0;Y0), C=f''yy(X0;Y0). Обозначим Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Тогда: 1)если Δ>0, то функция f(x;y) в точке (X0;Y0) имеет экстремум: максимум, если A<0; минимум, если A>0; 2)если Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X0;Y0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X0;Y0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
Билет №6
3. Вычисление определенного интеграла по отрезку. Формула Ньютона-Лейбница (вывод). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) - какая-либо её первообразная на [a;b] (F'(x)=f(x)), то имеет место формула ∫(от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a). Эта формула является формулой Ньютона-Лейбница.Рассмотрим тождество: F(b)-F(a)=F(xn)-F(x0)=(F(xn)-F(xn-1))+(f(xn-1)-F(xn-2))+…(F(x2)-F(x1))+(F(x1)-F(x0)). Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа: f(b)-f(a)=f’(c)*(b-a). Получим F(b)-F(a)=F’(cn)(xn-xn-1)+F’(cn-1)(xn-1-xn-2)+F’(c2)(x2-x1)+F’(c1)(x1-x0)= ΣF’(Ci)ΔXi=Σf(Ci)ΔXi, то есть F(b)-F(a)= Σf(Ci)ΔXi, где Ci есть некоторая точка интервала (Xi-1,Xi). Так как функция y=f(x) непрерывна на [a;b], то она интегрируема на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равной определенному интегралу от f(x) на [a;b]. Переходя к пределу при λ=maxΔXi→0,получаем F(b)-F(a)=lim Σf(Ci)ΔXi, то есть ∫(от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a).
10. Определение дифференцируемой функции z=f(x;y) в точке. Функция z=f(x;y) называется дифференцируемой в точке М(х;у), если её полное приращение в этой точке можно представить в виде: ∆z=A*∆x+B*∆y+α*∆x+β*∆y, где α=α(∆x;∆y)→0 и β=β(∆x;∆y)→0 при ∆x→0 и ∆y→0.
11. Свойство дифференцируемой функции: связь между дифференцируемостью функции z=f(x;y) и непрерывностью функции z=f(x;y) в точке (формулировка, доказательство). Если функция z=f(x;y) дифференцируема в точке М(x;y), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные. Доказательство. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х0. Дадим в этой точке аргументу приращение Δх. Функция получит приращение Δу. Найдем limΔx→0(Δy). limΔx→0(Δy)= limΔx→0((Δy*Δx)/Δx))= limΔx→0(Δy/Δx)* limΔx→0(Δx)=f'(x0)*0=0. Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х0.
Билет №7
2. Задача о площади криволинейной трапеции, приводящая к понятию определённого интеграла по отрезку. Определение определённого интеграла по отрезку. Пусть на отрезке [a;b] задана функция y=f(x)≥0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции y=f(x), снизу - осью Ох, сбоку прямые x=a и x=b, называется криволинейной трапецией. Найдём площадь этой трапеции. f(c1)Δx1+f(c2)Δx2+..+f(cn)Δxn=Σf(ci)Δxi=Sn. C уменьшением всех величин Δxi точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимаемся предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда n неограниченно возрастает так, что λ=maxΔxi→0: S=lim n→∞ Sn=lim n→∞(λ→0) Σf(ci)Δxi, то есть S=∫(от a до b) f(x)dx. Итак, определённый интеграл от неопределённой функции численно равен площади криволинейной трапеции.Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b] на численные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определённым интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a;b] и обозначается ∫(от a до b) f(x)dx. Таким образом, ∫(от a до b) f(x)dx=lim n→∞(λ→0) Σf(ci)Δxi.
19. Определение точки максимума и минимума функции z=f(x,y). Точка (X0;Y0) называется точкой максимума функции z=f(x;y), если существует такая δ-окрестность точки (X0;Y0), что выполняется неравенство f(x;y)<f(X0;Y0). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (x;y), отличных от (X0;Y0), из δ-окрестности точки (X0;Y0) выполняется неравенство f(x;y)>f(X0;Y0).
Необходимый признак экстремума.
Если непрерывная функция z=z(x,y) имеет в точке P0(x0,y0) экстремум, то все ее частные производные первого порядка в этой точке или равны нулю или не существуют
Докозательство: Частная производная функции z=f(x,y) по x в точке P0(x0,y0) есть производная функции одной переменной φ(x)=f(x,y0) в точке x-x0. Но в этой точке функция φ(x) имеет, очевидно, экстремум. Следовательно, φ’(x0)=0.Так как φ’(x0)=f’x(x0,y0), то f’x(x0,y0)=0 Аналогично можно показать, что f’y(x0,y0)=0. Теорема доказана.
Билет №8
6. Теорема о среднем (формулировка, доказательство, геометрический смысл). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка С∈[a;b] такая, что ∫(от a до b) f(x)dx=f(c)*(b-a). Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем ∫(от a до b) f(x)dx=F(x)|(от a до b)=F(b)-F(a), где F'(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F'(c)*(b-a)=f(c)*(b-a). Геометрический смысл. Теорема при f(x)≥0 имеем простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором С∈ (a;b), площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием b-a. Число f(c)=1/(b-a)∫(от a до b) f(x)dx называется средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].
8. Частные приращения функции z=f(x;y). Частные производные: определение и их геометрический смысл. Пусть задана функция z=f(х;у). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять постоянное значение. Дадим переменной х приращение ∆х, сохраняя значение переменной у неизменным. Тогда функция z получит приращение, которое назовем частным приращением z по х и обозначим ∆xz. Итак, ∆xz=f(x+∆x;y)–f(х;у). Аналогично получаем частное приращение z по у: ∆yz=f(x;у+∆y)–f(х;у).Если существует предел lim∆x→0(∆xz/∆x)=lim∆x→0((f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), то он называется частной производной функции z=f(x;y) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов: z'x, δz/δx; f'x, δf/δx. Геометрический смысл. Графиком функции z=f(x;y) является некоторая поверхность. График функции z=f(x0;y0) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у=у0. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной, заключаем, что f'x(x0;y0)=tgα, где α - угол между осью Ох и касательной, проведённой к кривой z=f(x0;y0) в точке M0(x0;y0;f(x0;y0)). Аналогично f'y(x0;y0)=tgβ.
Билет №9
5. Теорема об оценке определённого интеграла по отрезку (формулировка, доказательство, геометрический смысл). Оценка интеграла. Если m и M - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b], (a<b), то m(b-a)≤∫(от a до b) f(x)dx≤M(b-a). Доказательство. Так как для любого x∈[a;b] имеем m≤f(x)≤M, то ∫(от a до b) mdx≤ ∫(от a до b) f(x)dx≤∫(от a до b) Mdx. Получаем: m(b-a)≤∫(от a до b) f(x)dx≤M(b-a). Геометрический смысл. Площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть [a;b], а высоты равны m и M.
17. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (определение). Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется плоскость, проходящая через эту точку поверхности, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку М и любую другую точку М1 поверхности, стремится к нулю при М стремящимся к М1. Нормалью к поверхности в точке М называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной плоскости.
18. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной неявно. Неявно. F(x;y;z) в точке Mo(Xo;Yo;Zo). K: (δF/δx)|M0(X-X0)+(δF/δy)|M0(Y-Y0)+(δF/δz)|M0(Z-Z0)N: (X-X0)/(δF/δx)|M0=(Y-Y0)/(δF/δy)|M0=(Z-Z0)/(δF/δz)|M0
Билет №10
3. Вычисление определенного интеграла по отрезку. Формула Ньютона-Лейбница (вывод). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) - какая-либо её первообразная на [a;b] (F'(x)=f(x)), то имеет место формула ∫(от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a). Эта формула является формулой Ньютона-Лейбница.Рассмотрим тождество: F(b)-F(a)=F(xn)-F(x0)=(F(xn)-F(xn-1))+(f(xn-1)-F(xn-2))+…(F(x2)-F(x1))+(F(x1)-F(x0)). Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа: f(b)-f(a)=f’(c)*(b-a). Получим F(b)-F(a)=F’(cn)(xn-xn-1)+F’(cn-1)(xn-1-xn-2)+F’(c2)(x2-x1)+F’(c1)(x1-x0)= ΣF’(Ci)ΔXi=Σf(Ci)ΔXi, то есть F(b)-F(a)= Σf(Ci)ΔXi, где Ci есть некоторая точка интервала (Xi-1,Xi). Так как функция y=f(x) непрерывна на [a;b], то она интегрируема на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равной определенному интегралу от f(x) на [a;b]. Переходя к пределу при λ=maxΔXi→0,получаем F(b)-F(a)=lim Σf(Ci)ΔXi, то есть ∫(от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a).
10. Определение дифференцируемой функции z=f(x;y) в точке. Определение полного дифференциала dz и его форма. Функция z=f(x;y) называется дифференцируемой в точке М(х;у), если её полное приращение в этой точке можно представить в виде: ∆z=A*∆x+B*∆y+α*∆x+β*∆y, где α=α(∆x;∆y)→0 и β=β(∆x;∆y)→0 при ∆x→0 и ∆y→0. Главная часть приращения функции z=f(x;y), линейная относительно ∆x и ∆y, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz: dz=A*∆x+B*∆y. dz=(δz/δx)dx+(δz/δy)dy.
Билет №11
4. Определение определённого интеграла по отрезку. Основные свойства определённого интеграла по отрезку (с доказательством одно из них). Определённым интегралом по отрезку [a;b] от функции f(x) называется предел интегральной суммы Σf(ci)Δxi, если этот предел существует и не зависит ни от деления отрезка [a;b]на части, ни от выбора точек t внутри каждой из частей при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков (∆xi) стремится к нулю, т.е ∫(от a до b) f(x)dx=lim Δxi→0 Σf(ci)Δxi. Свойства: 1)Если с - постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то ∫(от a до b) с*f(x)dx=с*∫(от a до b) f(x)dx.2)Если функции f1(x) b f2(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на [a;b] их сумма и ∫(от a до b) (f1(x)+f2(x))dx=∫(от a до b) f1(x)dx+∫(от a до b) f2(x)dx. 3)∫(от a до b) f(x)dx= -∫(от b до a) f(x)dx. 4)Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a<c<b, то ∫(от a до b) f(x)dx=∫(от a до c) f(x)dx+ ∫(от c до b) f(x)dx.5)Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка С∈[a;b] такая, что ∫(от a до b) f(x)dx=f(c)*(b-a). 6)Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [a;b], где a<b, то интеграл ∫(от a до b) f(x)dx имеет тот же знак, что и функция. Так, если f(x)≥0 на отрезке [a;b], то ∫(от a до b) f(x)dx≥0. 7)Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [a;b], (a<b) можно интегрировать. Так, если f1(x)≤f2(x) при x∈[a;b], то ∫(от a до b) f1(x)dx≤ ∫(от a до b) f2(x)dx. 8)Если m и M - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b], (a<b), то m(b-a)≤∫(от a до b) f(x)dx≤M(b-a). 9)Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции: |∫(от a до b) f(x)dx|≤∫(от a до b) |f(x)|dx; a<b. 10)Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, то есть (∫(от a до x) f(t)dt)'x=f(x).
10. Определение дифференцируемой функции z=f(x;y) в точке. Функция z=f(x;y) называется дифференцируемой в точке М(х;у), если её полное приращение в этой точке можно представить в виде: ∆z=A*∆x+B*∆y+α*∆x+β*∆y, где α=α(∆x;∆y)→0 и β=β(∆x;∆y)→0 при ∆x→0 и ∆y→0.
12. Свойство дифференцируемой функции: связь между дифференцируемостью функции z=f(x,y) существованием частных производных в точке (формулировка, доказательство). Теорема: Если функция дифференцируема в точке, то в этой точке существуют конечные частные производные, числено равны А и В Дано: Δz=AΔx+ВΔy+0(ρ) Доказать: Ǝ(δz/δx(x0;y0)=A Доказательство: Дадим x0→Δx, y=y0 =>Δxz=(A*Δx+0(│x│). ρ=√(Δx2+Δy2)=│Δx│. Δxz/Δx=A+0(│x│)/Δx. LimΔx→0 (Δxz/Δx)=lim[A+0(│x│)/Δx]=A. δz/Δx(x0;y0)=A. Аналогично: Y0→Δy, x=x0=>ΔyZ. δz/Δy(x0;y0)=B.
Билет №12
7. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом (формулировка, доказательство). Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, то есть (∫(от a до x) f(t)dt)'x=f(x). Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем: ∫(от a до x) f(t)dt=F(t)|(от a до x)=F(x)-F(a). Следовательно, (∫(от a до x) f(t)dt)'x=(F(x)-F(a))'x=F'(x)-0=f(x). Это означает, что определённый интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.
8. Частные приращения функции z=f(x;y). Частные производные: определение и их геометрический смысл. Пусть задана функция z=f(х;у). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять постоянное значение. Дадим переменной х приращение ∆х, сохраняя значение переменной у неизменным. Тогда функция z получит приращение, которое назовем частным приращением z по х и обозначим ∆xz. Итак, ∆xz=f(x+∆x;y)–f(х;у). Аналогично получаем частное приращение z по у: ∆yz=f(x;у+∆y)–f(х;у).Если существует предел lim∆x→0(∆xz/∆x)=lim∆x→0((f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), то он называется частной производной функции z=f(x;y) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов: z'x, δz/δx; f'x, δf/δx. Геометрический смысл. Графиком функции z=f(x;y) является некоторая поверхность. График функции z=f(x0;y0) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у=у0. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной, заключаем, что f'x(x0;y0)=tgα, где α - угол между осью Ох и касательной, проведённой к кривой z=f(x0;y0) в точке M0(x0;y0;f(x0;y0)). Аналогично f'y(x0;y0)=tgβ.
Билет №13
2. Задача о площади криволинейной трапеции, приводящая к понятию определённого интеграла по отрезку. Определение определённого интеграла по отрезку. Пусть на отрезке [a;b] задана функция y=f(x)≥0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции y=f(x), снизу - осью Ох, сбоку прямые x=a и x=b, называется криволинейной трапецией. Найдём площадь этой трапеции. f(c1)Δx1+f(c2)Δx2+..+f(cn)Δxn=Σf(ci)Δxi=Sn. C уменьшением всех величин Δxi точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимаемся предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда n неограниченно возрастает так, что λ=maxΔxi→0: S=lim n→∞ Sn=lim n→∞(λ→0) Σf(ci)Δxi, то есть S=∫(от a до b) f(x)dx. Итак, определённый интеграл от неопределённой функции численно равен площади криволинейной трапеции.Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b] на численные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определённым интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a;b] и обозначается ∫(от a до b) f(x)dx. Таким образом, ∫(от a до b) f(x)dx=lim n→∞(λ→0) Σf(ci)Δxi.
17. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (определение). Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется плоскость, проходящая через эту точку поверхности, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку М и любую другую точку М1 поверхности, стремится к нулю при М стремящимся к М1. Нормалью к поверхности в точке М называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной плоскости.
18. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной неявно. Неявно. F(x;y;z) в точке Mo(Xo;Yo;Zo). K: (δF/δx)|M0(X-X0)+(δF/δy)|M0(Y-Y0)+(δF/δz)|M0(Z-Z0)N: (X-X0)/(δF/δx)|M0=(Y-Y0)/(δF/δy)|M0=(Z-Z0)/(δF/δz)|M0
Билет №14
5. Теорема об оценке определённого интеграла по отрезку (формулировка, доказательство, геометрический смысл). Оценка интеграла. Если m и M - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b], (a<b), то m(b-a)≤∫(от a до b) f(x)dx≤M(b-a). Доказательство. Так как для любого x∈[a;b] имеем m≤f(x)≤M, то ∫(от a до b) mdx≤ ∫(от a до b) f(x)dx≤∫(от a до b) Mdx. Получаем: m(b-a)≤∫(от a до b) f(x)dx≤M(b-a). Геометрический смысл. Площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть [a;b], а высоты равны m и M.
8. Частные приращения функции z=f(x;y). Частные производные: определение и их геометрический смысл. Пусть задана функция z=f(х;у). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять постоянное значение. Дадим переменной х приращение ∆х, сохраняя значение переменной у неизменным. Тогда функция z получит приращение, которое назовем частным приращением z по х и обозначим ∆xz. Итак, ∆xz=f(x+∆x;y)–f(х;у). Аналогично получаем частное приращение z по у: ∆yz=f(x;у+∆y)–f(х;у).Если существует предел lim∆x→0(∆xz/∆x)=lim∆x→0((f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), то он называется частной производной функции z=f(x;y) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов: z'x, δz/δx; f'x, δf/δx. Геометрический смысл. Графиком функции z=f(x;y) является некоторая поверхность. График функции z=f(x0;y0) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у=у0. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной, заключаем, что f'x(x0;y0)=tgα, где α - угол между осью Ох и касательной, проведённой к кривой z=f(x0;y0) в точке M0(x0;y0;f(x0;y0)). Аналогично f'y(x0;y0)=tgβ.
Билет №15
3. Вычисление определенного интеграла по отрезку. Формула Ньютона-Лейбница (вывод). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) - какая-либо её первообразная на [a;b] (F'(x)=f(x)), то имеет место формула ∫(от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a). Эта формула является формулой Ньютона-Лейбница.Рассмотрим тождество: F(b)-F(a)=F(xn)-F(x0)=(F(xn)-F(xn-1))+(f(xn-1)-F(xn-2))+…(F(x2)-F(x1))+(F(x1)-F(x0)). Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа: f(b)-f(a)=f’(c)*(b-a). Получим F(b)-F(a)=F’(cn)(xn-xn-1)+F’(cn-1)(xn-1-xn-2)+F’(c2)(x2-x1)+F’(c1)(x1-x0)= ΣF’(Ci)ΔXi=Σf(Ci)ΔXi, то есть F(b)-F(a)= Σf(Ci)ΔXi, где Ci есть некоторая точка интервала (Xi-1,Xi). Так как функция y=f(x) непрерывна на [a;b], то она интегрируема на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равной определенному интегралу от f(x) на [a;b]. Переходя к пределу при λ=maxΔXi→0,получаем F(b)-F(a)=lim Σf(Ci)ΔXi, то есть ∫(от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a).
8. Частные приращения функции z=f(x;y). Частные производные: определение и их геометрический смысл. Пусть задана функция z=f(х;у). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять постоянное значение. Дадим переменной х приращение ∆х, сохраняя значение переменной у неизменным. Тогда функция z получит приращение, которое назовем частным приращением z по х и обозначим ∆xz. Итак, ∆xz=f(x+∆x;y)–f(х;у). Аналогично получаем частное приращение z по у: ∆yz=f(x;у+∆y)–f(х;у).Если существует предел lim∆x→0(∆xz/∆x)=lim∆x→0((f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), то он называется частной производной функции z=f(x;y) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов: z'x, δz/δx; f'x, δf/δx. Геометрический смысл. Графиком функции z=f(x;y) является некоторая поверхность. График функции z=f(x0;y0) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у=у0. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной, заключаем, что f'x(x0;y0)=tgα, где α - угол между осью Ох и касательной, проведённой к кривой z=f(x0;y0) в точке M0(x0;y0;f(x0;y0)). Аналогично f'y(x0;y0)=tgβ.
Билет №16
6. Теорема о среднем (формулировка, доказательство, геометрический смысл). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка С∈[a;b] такая, что ∫(от a до b) f(x)dx=f(c)*(b-a). Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем ∫(от a до b) f(x)dx=F(x)|(от a до b)=F(b)-F(a), где F'(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F'(c)*(b-a)=f(c)*(b-a). Геометрический смысл. Теорема при f(x)≥0 имеем простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором С∈ (a;b), площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием b-a. Число f(c)=1/(b-a)∫(от a до b) f(x)dx называется средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].
21. Производная функции u=u(x;y;z) по направлению l (определение). Предел LimΔl→0(Δu/Δl) называется производной функции u(x;y;z) по направлению вектора l в точке с координатами (x;y;z).
22. Градиент функции u=u(x;y;z) в точке (определение). Вектор с координатами (δu/δx; δu/δy; δu/δz) называется градиентом функции u=f(x;y;z) и обозначается gradU=(δu/δx; δu/δy; δu/δz). gradU=(δu/δx)*i+(δu/δy)*j+(δu/δz)*k.
Билет №17
7. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом (формулировка, доказательство). Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, то есть (∫(от a до x) f(t)dt)'x=f(x). Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем: ∫(от a до x) f(t)dt=F(t)|(от a до x)=F(x)-F(a). Следовательно, (∫(от a до x) f(t)dt)'x=(F(x)-F(a))'x=F'(x)-0=f(x). Это означает, что определённый интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.
9. Полное приращение функции z=f(x;y). Непрерывность функции z=f(x;y) в точке (два определения). Пусть задана функция z=f(x;y). Дадим независимой переменной х приращение ∆х, а переменной у приращение ∆у. Тогда полное приращение ∆z функции определяется равенством: ∆z=f(x+∆x;y+∆y)-f(x;y). 1)Функция z=f(х;у) называется непрерывной в точке М0(х0;у0)∈ D(z), если её предел в этой точке совпадает со значением функции в данной точке, т.е. limX→X0\Y→Y0(f(x;y))= f(x0;y0). 2)Функция z=f(х;у) непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества
Билет №18
1. Первообразная функция. Теорема о разности двух первообразных (с доказательством). Неопределенный интеграл: определение, простейшие свойства неопределённого интеграла (с доказательством одно из них). Функция F(x) называется первообразной функцией f(x) на интервале (a;b), если для любого x∈(a;b) выполняется равенство F'(x)=f(x). Теорема. Если функция F(х) является первообразной функции f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f(x) задаётся формулой F(x)+C, где С=const. Доказательство. Функция F(x)+C является первообразной f(x). Действительно, (F(x)+C)'=F'(x)=f(x). Пусть Ф(х) - некоторая другая, отличная от F(x), первообразная функция f(x), т.е. Ф'(х)=f(x). Тогда для любого x∈(a;b) имеем (Ф(х)-F(x))'=Ф'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0. А это означает, что Ф(х)-F(x)=C, C=const. Следовательно, Ф(x)=F(x)+C.Множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом ∫f(x)dx. Свойства: 1) Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции d(∫f(x)dx)=f(x)dx, (∫f(x)dx)'=f(x).d(∫f(x)dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+dC=F'(x)dx=f(x)dx. и (∫f(x)dx)'=(F(x)+C)'=F'(x)+0=f(x).2) Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: ∫dF(x)=F(x)+C.∫dF(x)=F'(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C.3) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ∫af(x)dx=a∫f(x)dx.4) Неопределённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций: ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.5) (Инвариантность формулы интегрирования). Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то и ∫f(u)du=F(u)+C, где u=φ(x) - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.
22. Градиент функции u=u(x;y;z) в точке (определение, свойства). Связь между производной по направлению и градиентом функции (обоснование). Вектор с координатами (δu/δx; δu/δy; δu/δz) называется градиентом функции u=f(x;y;z) и обозначается gradU=(δu/δx; δu/δy; δu/δz). gradU=(δu/δx)*i+(δu/δy)*j+(δu/δz)*k. Свойства: 1)gradC=0; 2)grad(c*u)=c*gradU; 3)grad(u+v)=gradU+gradV; 4)grad(u*v)=u*gradV+v*gradU, где u*v - скалярные произведения векторов u и v. Связь. Пусть задана функция u=u(x;y;z) и поле градиентов gradU=(δu/δx)*i+(δu/δy)*j+(δu/δz)*k. Тогда производная Δu/Δl по направлению некоторого вектора l равняется проекции вектора GradU на вектор l.
Билет №19
4. Определение определённого интеграла по отрезку. Основные свойства определённого интеграла по отрезку (с доказательством одно из них). Определённым интегралом по отрезку [a;b] от функции f(x) называется предел интегральной суммы Σf(ci)Δxi, если этот предел существует и не зависит ни от деления отрезка [a;b]на части, ни от выбора точек t внутри каждой из частей при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков (∆xi) стремится к нулю, т.е ∫(от a до b) f(x)dx=lim Δxi→0 Σf(ci)Δxi. Свойства: 1)Если с - постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то ∫(от a до b) с*f(x)dx=с*∫(от a до b) f(x)dx. Доказательство. Составим интегральную сумму для функции с*f(x). Имеем Σс*f(ci)Δxi=с*Σf(ci)Δxi. Тогда lim n→∞ Σс*f(ci)Δxi=c*lim n→∞ f(ci)=с*∫(от a до b) f(x)dx. Отсюда вытекает, что функция с*f(x) интегрируема на [a;b] и справедлива формула ∫(от a до b) с*f(x)dx= с*∫(от a до b) f(x)dx.2)Если функции f1(x) b f2(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на [a;b] их сумма и ∫(от a до b) (f1(x)+f2(x))dx=∫(от a до b) f1(x)dx+∫(от a до b) f2(x)dx. 3)∫(от a до b) f(x)dx= -∫(от b до a) f(x)dx. 4)Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a<c<b, то ∫(от a до b) f(x)dx=∫(от a до c) f(x)dx+ ∫(от c до b) f(x)dx.5)Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка С∈[a;b] такая, что ∫(от a до b) f(x)dx=f(c)*(b-a). 6)Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [a;b], где a<b, то интеграл ∫(от a до b) f(x)dx имеет тот же знак, что и функция. Так, если f(x)≥0 на отрезке [a;b], то ∫(от a до b) f(x)dx≥0. 7)Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [a;b], (a<b) можно интегрировать. Так, если f1(x)≤f2(x) при x∈[a;b], то ∫(от a до b) f1(x)dx≤ ∫(от a до b) f2(x)dx. 8)Если m и M - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b], (a<b), то m(b-a)≤∫(от a до b) f(x)dx≤M(b-a). 9)Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции: |∫(от a до b) f(x)dx|≤∫(от a до b) |f(x)|dx; a<b. 10)Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, то есть (∫(от a до x) f(t)dt)'x=f(x).
17. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (определение). Теорема о существовании касательной плоскости (формулровка, доказательство). Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется плоскость, проходящая через эту точку поверхности, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку М и любую другую точку М1 поверхности, стремится к нулю при М стремящимся к М1. Нормалью к поверхности в точке М называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной плоскости. Теорема. Если δF/δx; δF/δy; δF/δz определены в окрестности точки Мо и непрерывны в самой точке М0 и одновременно в нуль не обращаются, то все касательные прямые к линиям на поверхности лежат в одной плоскости. Доказательство. L: система(x=x(t); y=y(t); z=z(t)). Касательная прямая (M0;P) y=(x'(t0); y'(to); z'(t0)). L∈Q (поверхность). F(x(t), y(t), z(t))=0 сложная функция переменной t. пользуемся правилом дифференцируемости сложной функции: (δF/δx)*(dx/dt)+(δF/δy)*(dy/dt)+(δF/δz)*(dz/dt)=0; (δF(M0)/δx)*x'(t0)+(δF(M0)/δy)*y'(t0)+(δF(M0)/δz)*z'(t0)=0; g=(x'(t0),y'(t0),z'(t0)); обозначим n=(δF(M0)/δx; δF(M0)/δy; δF(M0)/δz); n⊥g. Поскольку через данную точку можно провести бесконечное множество линий, лежащих на поверхности, а к ним бесконечное множество касательных прямых, следовательно все касательные прямые лежат в одной плоскости.
Билет №20
6. Теорема о среднем (формулировка, доказательство, геометрический смысл). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка С∈[a;b] такая, что ∫(от a до b) f(x)dx=f(c)*(b-a). Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем ∫(от a до b) f(x)dx=F(x)|(от a до b)=F(b)-F(a), где F'(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F'(c)*(b-a)=f(c)*(b-a). Геометрический смысл. Теорема при f(x)≥0 имеем простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором С∈ (a;b), площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием b-a. Число f(c)=1/(b-a)∫(от a до b) f(x)dx называется средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].
9. Полное приращение функции z=f(x;y). Непрерывность функции z=f(x;y) в точке (два определения). Пусть задана функция z=f(x;y). Дадим независимой переменной х приращение ∆х, а переменной у приращение ∆у. Тогда полное приращение ∆z функции определяется равенством: ∆z=f(x+∆x;y+∆y)-f(x;y). 1)Функция z=f(х;у) называется непрерывной в точке М0(х0;у0)∈ D(z), если её предел в этой точке совпадает со значением функции в данной точке, т.е. limX→X0\Y→Y0(f(x;y))= f(x0;y0). 2)Функция z=f(х;у) непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества
Билет №21
5. Теорема об оценке определённого интеграла по отрезку (формулировка, доказательство, геометрический смысл). Оценка интеграла. Если m и M - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b], (a<b), то m(b-a)≤∫(от a до b) f(x)dx≤M(b-a). Доказательство. Так как для любого x∈[a;b] имеем m≤f(x)≤M, то ∫(от a до b) mdx≤ ∫(от a до b) f(x)dx≤∫(от a до b) Mdx. Получаем: m(b-a)≤∫(от a до b) f(x)dx≤M(b-a). Геометрический смысл. Площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть [a;b], а высоты равны m и M.
21. Производная функции u=u(x;y;z) по направлению l (определение, формула для вычисления, вывод формулы вычисления). Предел LimΔl→0(Δu/Δl) называется производной функции u(x;y;z) по направлению вектора l в точке с координатами (x;y;z).Δu/Δl=LimΔl→0(Δlu/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.Предположим, что функция u(x;y;z) непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области D: Δu=(δu/δx)Δx+(δu/δy)Δy+(δu/δz)Δz+E1Δx+E2Δy+E3Δz, где E1, E2, E3 стремятся к нулю при Δl→0. Разделим всё равенство на Δl. Δu/Δl=(δu/δx)(Δx/Δl)+(δu/δy)(Δy/Δl)+(δu/δz)(Δz/Δl)+E1(Δx/Δl)+E2(Δy/Δl)+E3(Δz/Δl). Δx/Δl=cosα; Δy/Δl=cosβ; Δz/Δl=cosγ. Равенство можно представить так: Δu/Δl=(δu/δx)cosα+(δu/δy)cosβ+(δu/δz)cosγ+E1cosα+E2cosβ+E3cosγ. Перейдя к пределу, получим Δu/Δl=LimΔl→0(Δlu/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.
Билет №22
3. Вычисление определенного интеграла по отрезку. Формула Ньютона-Лейбница (вывод). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) - какая-либо её первообразная на [a;b] (F'(x)=f(x)), то имеет место формула ∫(от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a). Эта формула является формулой Ньютона-Лейбница.Рассмотрим тождество: F(b)-F(a)=F(xn)-F(x0)=(F(xn)-F(xn-1))+(f(xn-1)-F(xn-2))+…(F(x2)-F(x1))+(F(x1)-F(x0)). Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа: f(b)-f(a)=f’(c)*(b-a). Получим F(b)-F(a)=F’(cn)(xn-xn-1)+F’(cn-1)(xn-1-xn-2)+F’(c2)(x2-x1)+F’(c1)(x1-x0)= ΣF’(Ci)ΔXi=Σf(Ci)ΔXi, то есть F(b)-F(a)= Σf(Ci)ΔXi, где Ci есть некоторая точка интервала (Xi-1,Xi). Так как функция y=f(x) непрерывна на [a;b], то она интегрируема на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равной определенному интегралу от f(x) на [a;b]. Переходя к пределу при λ=maxΔXi→0,получаем F(b)-F(a)=lim Σf(Ci)ΔXi, то есть ∫(от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a).
19. Определение точки максимума и минимума функции z=f(x,y). Точка (X0;Y0) называется точкой максимума функции z=f(x;y), если существует такая δ-окрестность точки (X0;Y0), что выполняется неравенство f(x;y)<f(X0;Y0). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (x;y), отличных от (X0;Y0), из δ-окрестности точки (X0;Y0) выполняется неравенство f(x;y)>f(X0;Y0).
20. Достаточный признак существования экстремума функции z=f(x;y). (формулировка). Пусть в стационарной точке (X0;Y0) и некоторой её окрестности функция f(x;y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (X0;Y0) значения A=f''xx(X0;Y0), B=f''xy(X0;Y0), C=f''yy(X0;Y0). Обозначим Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Тогда: 1)если Δ>0, то функция f(x;y) в точке (X0;Y0) имеет экстремум: максимум, если A<0; минимум, если A>0; 2)если Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X0;Y0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X0;Y0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
Билет №23
2. Задача о площади криволинейной трапеции, приводящая к понятию определённого интеграла по отрезку. Определение определённого интеграла по отрезку. Пусть на отрезке [a;b] задана функция y=f(x)≥0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции y=f(x), снизу - осью Ох, сбоку прямые x=a и x=b, называется криволинейной трапецией. Найдём площадь этой трапеции. f(c1)Δx1+f(c2)Δx2+..+f(cn)Δxn=Σf(ci)Δxi=Sn. C уменьшением всех величин Δxi точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимаемся предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда n неограниченно возрастает так, что λ=maxΔxi→0: S=lim n→∞ Sn=lim n→∞(λ→0) Σf(ci)Δxi, то есть S=∫(от a до b) f(x)dx. Итак, определённый интеграл от неопределённой функции численно равен площади криволинейной трапеции.Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b] на численные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определённым интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a;b] и обозначается ∫(от a до b) f(x)dx. Таким образом, ∫(от a до b) f(x)dx=lim n→∞(λ→0) Σf(ci)Δxi.
17. Касательная плоскость к поверхности (определение). Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется плоскость, проходящая через эту точку поверхности, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку М и любую другую точку М1 поверхности, стремится к нулю при М стремящимся к М1.
18. Уравнения касательной плоскости к поверхности, заданной явно Явно. z=f(x;y) в точке Mo(Xo;Yo;Zo). K: (δz/δx)|M0(X-X0)+(δz/δy)|M0(Y-Y0)-(Z-Z0)=0
Билет №24
6. Теорема о среднем (формулировка, доказательство, геометрический смысл). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка С∈[a;b] такая, что ∫(от a до b) f(x)dx=f(c)*(b-a). Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем ∫(от a до b) f(x)dx=F(x)|(от a до b)=F(b)-F(a), где F'(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F'(c)*(b-a)=f(c)*(b-a). Геометрический смысл. Теорема при f(x)≥0 имеем простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором С∈ (a;b), площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием b-a. Число f(c)=1/(b-a)∫(от a до b) f(x)dx называется средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].
10. Определение дифференцируемой функции z=f(x;y) в точке. Функция z=f(x;y) называется дифференцируемой в точке М(х;у), если её полное приращение в этой точке можно представить в виде: ∆z=A*∆x+B*∆y+α*∆x+β*∆y, где α=α(∆x;∆y)→0 и β=β(∆x;∆y)→0 при ∆x→0 и ∆y→0.
12. Свойство дифференцируемой функции: связь между дифференцируемостью функции z=f(x,y) существованием частных производных в точке (формулировка, доказательство). Теорема: Если функция дифференцируема в точке, то в этой точке существуют конечные частные производные, числено равны А и В Дано: Δz=AΔx+ВΔy+0(ρ) Доказать: Ǝ(δz/δx(x0;y0)=A Доказательство: Дадим x0→Δx, y=y0 =>Δxz=(A*Δx+0(│x│). ρ=√(Δx2+Δy2)=│Δx│. Δxz/Δx=A+0(│x│)/Δx. LimΔx→0 (Δxz/Δx)=lim[A+0(│x│)/Δx]=A. δz/Δx(x0;y0)=A. Аналогично: Y0→Δy, x=x0=>ΔyZ. δz/Δy(x0;y0)=B
