Общие правила комбинаторики
Для успешного решения задач с использованием классического определения вероятности необходимо знать основные правила и формулы комбинаторики.
Комбинаторика – это раздел математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным правилам, можно составить из заданных объектов.
Основные правила комбинаторики: правило суммы и правило произведения.
Размещения
Размещениями из n элементов по m элементов (m < n) называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.
Число размещений без повторений из n по m (n различных элементов) вычисляется по формуле:
|
Размещениями с повторениями из n элементов по m называются упорядоченные m -элементные выборки, в которых элементы могут повторяться.
Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:
|
Перестановки
Перестановками из n элементов называются размещения из этих n элементов по n (Перестановки - частный случай размещений).
Число перестановок без повторений (n различных элементов) вычисляется по формуле:
| (3.3) |
Число перестановок c повторениями (k различных элементов, где элементы могут повторяться m1, m2, …, mk раз и m1 + m2 +… + mk = n, где n - общее количество элементов) вычисляется по формуле:
|
Сочетания
Сочетаниями из n элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые различаются хотя бы одним элементом (отличие сочетаний от размещений в том, что в сочетаниях не учитывается порядок элементов).
Число сочетаний без повторений (n различных элементов, взятых по m) вычисляется по формуле:
|
Число сочетаний c повторениями (n элементов, взятых по m, где элементы в наборе могут повторяться) вычисляется по формуле:
|
5) Вероятность какого либо события – численное выражение возможности его наступления.
В некоторых простейших случаях вероятности событий могут быть легко определены непосредственно исходя из условий испытаний.
Представим себе общую схему таких испытаний.
Пусть испытание имеет n возможных несовместных исходов, т. е. отдельных событий, могущих появиться в результате данного испытания; причем при каждом повторении испытания возможен один и только один из этих исходов. Кроме того, пусть по условиям испытания, нет никаких оснований предполагать, что один из исходов появляется чаще других, т. е. все исходы являются равновозможными.
Допустим теперь, что при n равновозможных несовместных исходах интерес представляет некоторое событие А, появляющееcя при каждом из m исходов и не появляющееся при остальных n – т исходах. Тогда принято говорить, что в данном испытании имеется п случаев, из которых т благоприятствуют появлению события А.
Вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу всех равновозможных несовместных исходов опыта:
Статистическое определение вероятности.
Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось (m), к общему числу фактически произведённых испытаний (n).
Итак, классическое определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; статистическое определение вероятности - определение относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, классическую вероятность вычисляют до опыта, а статистическую вероятность или относительную частоту – после опыта.
Свойство устойчивости: В различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа (вероятности события).
По статистике частота рождения мальчика – 0,51; а девочки – 0,49; согласно классическому определению вероятности вероятность рождения мальчика равна вероятности рождения девочки – 0,5.
7) Суммой А+В двух событий называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены 2 выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – при втором, то А+В – попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих.
В частности, если 2 события А и В – несовместные, ТО А+В – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.
Суммой нескольких событий называют событие, к-рое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.
Пусть события А и В — несовместные, причем вероятности этих событий известны.
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
8) По́лной гру́ппой(системой) собы́тий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно и только одно из них. Сумма вероятностей всех событий в группе всегда равна 1.
Предположим, проводится подбрасывание монеты. В результате этого эксперимента обязательно произойдет одно из следующих событий:
· {\displaystyle A}: монета упадет орлом;
· {\displaystyle B}: монета упадет решкой;
· {\displaystyle C}: монета упадет на ребро;
Таким образом, система {\displaystyle \{A,B,C\}} является полной группой событий.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать ^А.
Пример 1. Попадание и промах при выстреле по цели — противоположные события. Если А — попадание, то ^А — промах.
9) Два события называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от появления или непоявления другого события. Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от появления другого события
Пример 2. Из урны, в которой находятся 8 белых и 12 черных шаров, последовательно вынимают два шара и обратно не возвращают. Событие 
- 1-й вынутый шар черный, событие 
- 2-й вынутый шар черный. Выясним, зависимы ли события и .
Пусть произошло событие , то есть1-й вынутый шар черный. Тогда в урне осталось 19 шаров, из них 11 черных. Поэтому вероятность события равна 
.
Пусть теперь не произошло событие , то есть произошло событие 
, то есть1-й вынутый шар не черный, то есть 1-й вынутый шар белый. Тогда в урне осталось 19 шаров, из них по-прежнему 12 черных. Поэтому вероятность события равна 
.
Мы видим, что вероятность появления события зависит от появления или непоявления события . Значит, события и зависимы.
Произведением двух событий А и В называют событие C=АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, событие АВС состоит в совмещении событий А, В и С.
Два события называют независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого.
Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
Р(В).×Р(АВ)=Р(А)
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
Р(А1А2... Аn) = Р(А1) · Р(А2)...Р(Аn).
10) Вероятность появления хотя бы одного из событий (А1, А2,…,Аn), независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий.
| P (A) = 1 – q1 × q2 ×... × qn. | (4.8) |
Пример 10.
Студент сдает два экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен р1=0,8. Вероятность сдать второй экзамен р2=0,7. Какова вероятность, что студент сдаст хотя бы один экзамен в сессию.
Решение.
Вероятность события «не сдать первый экзамен» равна:
q1=1–р1=1–0,8 = 0,2.
Вероятность «не сдать второй экзамен»: q2=1– р2=1–0,7=0,3.
Оба события независимы. Вероятность события Р(А), где событие А – «студент сдаст хотя бы один экзамен», вычисляется по формуле (4.8):
Р(А)=1–q1×q2 =1–0,2×0,3=1–0,06=0,94.
Усло́вная вероя́тность — вероятность наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло.
