Вопрос 11
Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:
a · b = |a| · |b| cos α
Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.
Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
Формула скалярного произведения векторов для плоских задач
В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {ax; ay} и b = {bx; by} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = ax · bx + ay · by
Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач
В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {ax; ay; az} и b = {bx; by; bz} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz
Формула скалярного произведения n -мерных векторов
В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a1; a2;...; an} и b = {b1; b2;...; bn} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = a1 · b1 + a2 · b2 +... + an · bn
Свойства скалярного произведения векторов
1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:
a · a ≥ 0
2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:
a · a = 0 <=> a = 0
3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:
a · a = |a|2
4. Операция скалярного умножения коммуникативна:
a · b = b · a
5. Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:
a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b
6. (αa) · b = α(a · b)
7. Операция скалярного умножения дистрибутивна:
(a + b) · c = a · c + b · c
Вопрос №12
Векторное произведение
Определение. Векторным произведением двух ненулевых, неколлинеарных векторов 
и 
называется вектор 
обозначаемый 
и удовлетворяющий трем условиям:
1) 
и 
(то есть перпендикулярен плоскости, определяемой векторами и , если они отложены от одной точки);
2) 
– правая тройка (т. е., если 
приведены к общему началу, то из конца поворот от вектора к вектору на меньший угол виден происходящим против часовой стрелки);
3) 
, где 
.
Заметим, что все условия в этом определении равноправны, т. е. нельзя отдавать предпочтение какому либо условию или пренебрегать любым из них.
Свойства векторного произведения.
1. 
. 
2. 
, где 
– скаляр.
3. 
.
4. 
– равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и . (Геометрический смысл векторного произведения.)
5. Для того, чтобы ненулевые векторы И были коллинеарны, необходимо и
достаточно, чтобы 
. В частности 
.
6. Если заданы декартовы координаты векторов 
и 
, то можно представить в виде:
. (13)
Вопрос №31
Производная функция - базовый элемент дифференциального исчисления, который является результатом применения какой-либо операции дифференцирования к исходной функции.
Название функции происходит от слова «произведенная», т.е. образованная от другой величины. Процесс определения производной какой-либо функции называется дифференцированием. Распространенный способ представления и определения - через теорию пределов, хотя она возникла позже дифференциального исчисления. Согласно этой теории производная - это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если такой предел существует, при условии, что аргумент стремится к нулю. Считается, что впервые термин «производная» употребил известный русский математик В.И.Висковатов.
Чтобы найти производную функции f в точке x, необходимо определить значения этой функции в точке х и в точке x+Δx, где Δx – приращение аргумента х. Найти приращение функции y = f(x+Δx) – f(x). Записать производную через предел отношения f’ = lim(f(x+Δx) – f(x))/Δx, вычислить при Δx → 0. Принято обозначать производную знаком апостроф «’» над дифференцируемой функцией. Один апостроф – первая производная, два – вторая, производная высшего порядка задается соответствующей цифрой, например, f^(n) – производная n-го порядка, где n – целое число ≥ 0.
Вопрос №27
Функция называется целочисленной или последовательностью, если область определения функции представляет собой множество натуральных чисел.
Обозначения: Последовательности обозначаются как {an}, {yn}, члены последовательности как an, yn.
Число b называется пределом последовательности {yn}, если по мере возрастания n член yn неограниченно приближается к значению b:
. 
Символ lim от латинского слово «limes» - предел.
Пример: Члены последовательности 
по мере возрастания n стремятся к нулю: y1 = 1; y2 = 0,5; y3 = 0,33¼; y4 = 0,25; ¼; y100 = 0,01; ¼; y1000 = 0,001; ¼ Следовательно, пределом последовательности является число 0:
.
Пример: Члены последовательности 
по мере возрастания n стремятся к нулю, поэтому 
.
Более строгое определение предела следующее.
Число b называется пределом последовательности {yn}, если абсолютная величина разности yn–b, начиная с некоторого номера N, остается меньшей любого заранее данного положительного числа e: |yn–b| < e при n ³ N (N зависит от величины e).
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае, она расходящаяся.
Свойства пределов
1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела: 
.
2. Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов: 
.
3. Предел произведения равен произведению пределов: 
.
4. Предел отношения равен отношению пределов: 
, если 
.
Эти свойства справедливы не только для последовательностей, но и для функций y(x).
№13
Вопрос №39
| Название функции | Формула функции | График функции | Название графика | Комментарий |
| Линейная | y = kx | 
| Прямая | Cамый простой частный случай линейной зависимости - прямая пропорциональность у=kx, где k ≠ 0 - коэффициент пропорциональности. На рисунке пример для k =1, т.е. фактически приведенный график иллюстрирует функциональную зависимость, которая задаёт равенство значения функции значению аргумента. |
| Линейная | y = kx + b | 
| Прямая | Общий случай линейной зависимости: коэффициенты k и b - любые действительные числа. Здесь k = 0.5, b = -1. |
| Квадратичная | y = x 2 | 
| Парабола | Простейший случай квадратичной зависимости - симметричная парабола с вершиной в начале координат. |
| Квадратичная | y = ax 2 + bx + c | 
| Парабола | Общий случай квадратичной зависимости: коэффициент a - произвольное действительное число не равное нулю (a принадлежит R, a ≠ 0), b, c - любые действительные числа. |
| Степенная | y = x 3 | 
| Кубическая парабола | Самый простой случай для целой нечетной степени. |
| Степенная | y = x 1/2 | 
| График функции y = √ x | Самый простой случай для дробной степени (x 1/2 = √ x). |
| Степенная | y = k/x | 
| Гипербола | Самый простой случай для целой отрицательной степени (1/x = x -1) - обратно-пропорциональная зависимость. Здесь k = 1. |
| Показательная | y = ex | 
| Экспонента | Экспоненциальной зависимостью называют показательную функцию для основания e - иррационального числа примерно равного 2,7182818284590... |
| Показательная | y = ax | 
| График показательной функции | Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 2x (a = 2 > 1). |
| Показательная | y = ax | 
| График показательной функции | Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 0,5x (a = 1/2 < 1). |
| Логарифмическая | y = lnx | 
| График логарифмической функции | График логарифмической функции для основания e (натурального логарифма) иногда называют логарифмикой. |
| Логарифмическая | y = log ax | 
| График логарифмической функции | Логарифмы определены для a >0 и a ≠1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log2 x (a = 2 > 1). |
| Логарифмическая | y = log ax | 
| График логарифмической функции | Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log0,5 x (a = 1/2 < 1). |
| Синус | y = sinx | 
| Синусоида | Тригонометрическая функция синус. |
| Косинус | y = cos x | 
| Косинусоида | Тригонометрическая функция косинус. |
| Тангенс | y = tg x | 
| Тангенсоида | Тригонометрическая функция тангенс. |
| Котангенс | y = сtg x | 
| Котангенсоида | Тригонометрическая функция котангенс. |
| Обратные тригонометрические функции. | ||||
| Название функции | Формула функции | График функции | Название графика | Комментарий |
| Арксинус | y = arcsin x | 
| График арксинуса | Тригонометрическая функция обратная к y = sin x. Определена на отрезке [−1; 1]. Принимает значения от −π/2 до π/2. |
| Арккосинус | y = arccos x | 
| График арккосинуса | Тригонометрическая функция обратная к y = cos x. Определена на отрезке [−1; 1]. Принимает значения от 0 до π. |
| Арктангенс | y = arctg x | 
| График арктангенса | Тригонометрическая функция обратная к y = tg x. Определена на множестве действительных чисел. Принимает значения на интервале (−π/2; π/2). Имеет асимптоты. |
| Арккотангенс. | y = arcctg x | 
| График арксинуса | Тригонометрическая функция обратная к y = ctg x. Определена на множестве действительных чисел. Принимает значения на интервале (0 π). Имеет асимптоты. |
Вопрос №20
Вопрос №19
Вопрос №29
Эквивалентность функций. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций, вычисление пределов. Односторонние пределы
Функции 
и 
называют бесконечно малыми при 
, если 
и 
Определение
Б.м. функции 
и 
называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при 
, если 
Обозначают: 
при .
Пример
Задание. Проверить, являются ли функции 
и 
эквивалентными бесконечно малыми при 
.
Решение. Проверим вначале, что данные функции являются бесконечно малыми функциями в точке 
:
Найдем предел отношения этих функций:
Ответ. Заданные функции и являются эквивалентными бесконечно малыми.
Таблица эквивалентных б.м. функций
Таблица эквивалентных б.м. функций при 
Вопрос №28
Основные виды неопределенностей:
, 
, 
, 
, 
, 
, 
Все другие выражения не являются неопределенностями и принимают какое-то конкретное конечное или бесконечное значение.
Раскрытие неопределенностей
Для раскрытия неопределенностей используют следующее:
· упрощают выражение функции: раскладывают на множители, преобразовывают функцию с помощью формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножают на сопряженное, что позволяет в дальнейшем сократить и т.д., и т.п.;
· замечательные пределы - первый замечательный предел и второй замечательный предел;
· правило Лопиталя;
· эквивалентные бесконечно малые функции.
Первый замечательный предел: 
Второй замечательный предел: 
Вопрос №24
