Свойства средней арифметической.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств, которые могут быть использованы для упрощения ее вычисления и других целей.

В статистическом анализе применяют следующие основные свойства средней арифметической.

1. Сумма отклонений отельных значений признака от средней арифметической равна нулю:

.

2. Сумма квадратов отклонений значений признака от средней меньше суммы квадратов отклонений от любой произвольной величины А:

;

< .

3. Если от каждого значения признака отнять или к каждому его значению прибавить одно какое-либо число А, то новая средняя соответственно уменьшится или увеличится на то же самое число:

= .

4. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариантов на частоты:

.

5. Если каждое значение признака разделить или умножить на одно какое-либо число А, то новая средняя соответственно уменьшится или увеличится во столько же раз:

.

6. Если значения признака веса разделить или умножить на одно и то же число, то величина средней не изменится:

= = .

С помощью средних обобщают не только абсолютные, но и относительные величины. Отличия в расчетах в этом случае отражают особенности построения средних, которое может быть выполнено на основе значений как первичных, так и вторичных признаков.

Порядок расчета и форма средней зависят от взаимосвязи изучаемых признаков и от того, какими данными мы располагаем.

Средние первичных признаков определяются по формуле простой средней путём деления итогового подсчета по характеризуемому признаку на перечневый подсчет, т.е. числитель такого отношения представляет собой общую сумму значений усредняемого признака у всех единиц совокупности, а знаменатель – общее число единиц изучаемой совокупности.

Базой для расчета средних значений вторичного признака является исходное соотношение первичных признаков, определяющих логическую формулу усредняемого вторичного признака. Далее вычисляется частное от деления итоговых подсчетов по этим первичным признакам. В случае, когда один из итоговых показателей неизвестен, расчет средней производится на основе исходных данных о значении усредняемого вторичного признака каждой отдельной единицы совокупности и связанного с ним признака – веса. Таким образом, средняя вторичного признака имеет вид средней взвешенной.

Если известны значения знаменателя исходного соотношения, но не известны значения числителя, то среднюю вычисляют по формуле средней арифметической. В противном случае среднюю рассчитывают по формуле средней гармонической. Для каждого показателя, используемого в экономическом анализе, можно составить только одно исходное соотношение для расчета средней (ИСС).