Производная
Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точки x. Пусть Δx - приращение аргумента в точке x. Обозначим через Δy или Δf приращение функции, равное f(x+Δx) – f(x). Отметим здесь, что функция непрерывна в точке x, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента Δx соответствует бесконечно малое приращение функции Δf.
Отношение Δf /Δx, как видно из рисунка 3.1, равно тангенсу угла α, который составляет секущая MN кривой y = f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.
Рис. 3.1.
Представим себе процесс, в котором величина Δx, неограниченно уменьшаясь, стремится к нулю. При этом точка N будет двигаться вдоль кривой y = f(x), приближаясь к точке M, а секущая MN будет вращаться около точки M так, что при очень малых величинах Δx ее угол наклона α будет сколь угодно близок к углу φ наклона касательной к кривой в точке x. Следует отметить, что все сказанное относится к случаю, когда график функции y = f(x) не имеет излома или разрыва в точке x, то есть в этой точке можно провести касательную к графику функции.
Отношение Δy / Δx или, что то же самое (f(x + Δx) f(x)) / Δx, можно рассматривать при заданном x как функцию аргумента Δx. Эта функция не определена в точке Δx = 0. Однако ее предел в этой точке может существовать.
Если существует предел отношения (f(x + Δx) – f(x)) / Δx в точке Δx = 0, то он называется производной функции y = f(x) в точке x и обозначается y′ или f′(x): 
.
Нахождение производной функции y = f(x) называется дифференцированием.
Если для любого числа x из открытого промежутка (a, b) можно вычислить f′(x), то функция f(x) называется дифференцируемой на промежутке (a, b ).
Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
Производная - это скорость изменения функции в точке x. Из определения производной следует, что f′ (x) ≈ Δf / Δx, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше Δx. Производная f′ (x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между Δf и Δx.
Производная функции f(x) не существует в тех точках, в которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в точке x0, но не иметь в этой точке производной. Такую точку назовем угловой точкой графика функции или точкой излома. Графические примеры приведены на рисунке 3.2.
Рис. 3.2.
Так функция y = ⎢x ⎢ не имеет производной в точке x = 0, хотя является непрерывной в этой точке.
Приведем теперь основные свойства производной.
1. Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке.
2. Если существует f′ (x), и С ‑ произвольное число, то функция CF(x) имеет производную: (Cf(x))′ = Cf′ (x).
3. Если существуют f′ (x) и g′ (x), то функция S(x) = f(x) + g(x) имеет производную: S′ (x) = f′ (x) + g′ (x).
4. Если существуют f′ (x) и g′ (x), то функция P(x) = f(x)g(x) имеет производную: P′ (x) = f′ (x)g(x) + f(x)g′ (x).
5. Если существуют f′ (x) и g′ (x) и при этом g(x) ≠ 0, то функция D(x) = f(x) / g(x) имеет производную: D′ (x) = (f′ (x) g(x) - f(x) g′ (x)) / g2(x).
В любом курсе математического анализа доказывается теорема о производной сложной функции. Мы ограничимся лишь ее формулировкой.
Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x) имеет в точке x производную F′ (x) = f′ (z) g′ (x).
Приведем примеры вычисления производной сложной функции.
Дифференциал функции
Рассмотрим две функции: y1 = f1(x) и y2 = f2(x), которые имеют производные f1′ (x) и f2′ (x) в каждой точке некоторой области D. Возьмем какую-либо точку x из области D и дадим аргументу приращение Δx. Тогда функции получат соответственно приращения Δy1 = f1(x + Δx) - f1(x) и Δy2 = f2(x + Δx) - f2(x). Из графиков, изображенных на рисунке 3, видно, что в обоих случаях приращения Δy1 и Δy2 можно представить в виде сумм двух слагаемых: Δy1 = (C1 - A1) + (B1 - C1); Δy2 = (C2 - A2) + (B2 - C2) (1)
Рис. 3.3.
Первые слагаемые в правых частях обоих выражений (1) легко вычисляются из сходных формул: C1 – A1 = tgα1 Δx = f1′ (x)Δx; C2 – A2 = tgα2 Δx = f2′ (x)Δx.
Величина f′ (x) Δx называется главной частью приращения функции y = f(x) в точке x. (Здесь мы говорим только о функции, имеющей в точке x производную). Главная часть приращения функции линейна относительно приращения аргумента Δx (можно сказать – пропорциональна приращению Δx). Это означает, что если приращение аргумента Δx уменьшить в k раз, то и главная часть приращения функции уменьшится в k раз.
Формулы (1) можно переписать в виде:
Δy1 = f1′ Δx + r1; Δy2 = f2′ Δx + r2. (2)
Здесь r1 = B1 – C1; r2= B2– C2.
Величины r1 и r2 в формулах (2) при уменьшении Δxв k раз уменьшаются более чем в k раз, что можно видеть, сравнивая рисунки 3 и 4, и говорят, что r1 и r2 стремятся к нулю быстрее, чем Δx.
Рис. 3.4.
Назовем функцию β (z) бесконечно малой в точке z = z0, если 
.
Пусть функции β (z)и γ (z) являются бесконечно малыми в точке z = z0.. Функция β (z) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция γ (z), если 
.
Величины r1 и r2 в формулах (2) являются функциями аргумента Δx, бесконечно малыми в точке Δx = 0. Можно показать, что 
. Это означает, что функции r1(Δx) и r2(Δx) являются бесконечно малыми функциями более высокого порядка, чем Δx, в точке Δx = 0.
Таким образом приращение функции y = f(x) в точке, в которой существует ее производная, может быть представлено в виде Δy = f′(x) Δx +β (Δx), где β (Δx) ‑ бесконечно малая функция более высокого порядка, чем Δx, в точке Δx = 0.
Главная, линейная относительно Δx, часть приращения функции y = f(x), равная f′ (x) Δx, называется дифференциалом и обозначается dy: dy = f′ (x) Δx. (3)
Если сюда подставить функцию f(x) = x, то, так как x′ = 1, формула (3) примет вид: dx = Δx. Эта формула легко истолковывается с помощью графика функции y = x, из которого видно, что приращение этой функции содержит лишь главную часть. Таким образом, для функции y = x приращение совпадает с дифференциалом. Теперь формулу дифференциала (3) можно переписать так dy = f′ (x) dx. Отсюда следует, что 
,
то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.
Очевидны следующие свойства дифференциала:
1. dC = 0 (здесь и в следующей формуле C -постоянная);
2. d(Cf(x)) = Cdf(x);
3. Если существуют df(x) и dg(x), то d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x), d(f(x)g(x)) = g(x)df(x) + f(x)dg(x). Если при этом g(x) ≠0, то 
Пусть y = f(x) ‑ функция, имеющая производную в точке x, тогда dy = df(x) = f′ (x)dx. Если аргумент x является функцией x(t) некоторой независимой переменной t, то y = F(t) = f(x(t)) -сложная функция от t, и ее дифференциал вычисляется по формуле dy = F′(t)dt = f′ (x)x′ (t)dt. Однако по определению дифференциала x′ (t)dt = dx и последняя формула преобразуется к виду: dy = f′ (x)dx.
Таким образом если аргумент функции y=f(x) рассматривать как функцию другого аргумента так, что равенство Δx = dx не выполняется, формула дифференциала функции f(x) остается неизменной. Это свойство принято называть свойством инвариантности дифференциала.
Производные высших порядков
Может оказаться что функция f ′(x), называемая первой производной, тоже имеет производную (f′(x))′. Эта производная называется второй производной функции f(x) и обозначается f′′(x). Если f есть координата движущейся точки и является функцией времени, то мгновенная скорость точки в момент времени t равна f′(t), а ускорение равно f′′(t).
Вторая производная также может быть функцией, определенной на некотором множестве. Если эта функция имеет производную, то эта производная называется третьей производной функции f(x) и обозначается f′′′(x).
Если определена n-я производная f (n)(x) и существует ее производная, то она называется (n+1)-й производной функции f(x): f (n + 1)(x) = (f(n)(x))′.
Все производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.
