Системы счисления, используемые в вычислительной технике

Позиционные системы счисления

 

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения:

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•10² + 5•10¹ + 7•10⁰ + 7•10^-1 = 757,7.

 

Любая позиционная СС характеризуется своим основанием.

Основание позиционной СС — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

 

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения:

a_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2+... + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 +... + a_-m q^-m,

где a_i – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

Двоичная система счисления. Перевод из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления и обратно.

Несмотря на то, что мы привыкли работать с десятичной системой счисления, с технической точки зрения она неудобна, т.к. в электрических цепях компьютера требовалось бы иметь одновременно десять различных сигналов. Чем меньше различных сигналов в электрических цепях, тем проще микросхемы. Наименьшее основание, которое может быть у позиционных систем счисления, это – двойка. Именно по этому двоичная система счисления используется в вычислительной технике.

 

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2.

 

Уже отмечалась выше о записи двоичного числа в виде суммы степеней основания системы счисления, то есть степеней двойки. Сделав такую запись, надо подсчитать десятичное значение полученной суммы.

 

Например: переведем число из двоичной системы счисления в десятичную систему, разбив его на разряды:

3 2 1 0

1011₂ = 1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰=8+0+2+1 = 8+0+2+1 = 11₁₀

Задание 2. Переведите следующие числа из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления:

1) 101₂ =

2) 1001₂ =

3) 1000101₂ =

4) 1100110₂ =

5) 11100011₂ =

Алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления:

1) разделить число на 2 и зафиксировать остаток;

2) если частное от деления не равно 0, повторить пункт 1) для частного;

3) если частное от деления равно 0, записать все полученные остатки справа налево.

 

Например: перевести число 25₁₀ в двоичную систему счисления.

 

Таким образом, 25₁₀ = 11001₂

Задание 3. Перевести следующие числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления:

1) 37₁₀ =

2) 59₁₀ =

3) 116₁₀ =

4) 245₁₀ =

5) 564₁₀ =

 

Системы счисления, используемые в вычислительной технике

Восьмеричная система счисления. Алфавит восьмеричной системы счисления состоит из 8 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7. 8 — это 2 в третьей степени. При переводе в восьмеричную систему двоичное число из трех записывается одной цифрой.

Восьмеричная запись	Двоичное представление

 

Впереди стоящий 0 ничего не значит.

 

Для перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления число, записанное в двоичной системе, делим на триады справа налево, и заменяем каждую группу одной восьмеричной цифрой.

 

Например: перевести число 11011100011₂ в восьмеричную систему счисления.

11011100011₂ = 011 011 100 011

3 3 4 3

и получим, что 11011100011₂ = 3343.

 

Задание 4. Перевести следующие числа из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления:

 

1) 10001001011₂ =

2) 100110011001₂ =

3) 101101111010₂ =

4) 100111100100₂ =

 

Для перевода числа из восьмеричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру на ее перевод в двоичную систему, представив каждую цифру в виде триады.

 

Например. Перевести число 356₈ в двоичную систему счисления.

 

356₈ = 3 5 6

 

011 101 110

получается, что 356₈ = 11101110₂

 

Задание 5. Перевести следующие числа из восьмеричной системы счисления в двоичную систему счисления:

1) 267₈ =

2) 741₈ =

3) 652₈ =

4) 543₈ =

 

 

Шестнадцатеричная система счисления. Для первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр используются привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а для остальных используют первые буквы латинского алфавита A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15).

Число 16 – это 2 в четвертой степени. При переводе из двоичной системы в шестнадцатеричную систему счисления двоичное число из 4-х цифр кодируется числом из одной цифры в шестнадцатеричной системе.

 

Двоичное представление	Шестнадцатеричная запись
	A
	B
	C
	D
	E
	F

 

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру на ее эквивалент в двоичной системе счисления, представив каждую цифру в виде сочетания четырех 1 и 0.

Например: Перевести число А0F₁₆ в двоичную систему счисления.

А0F₁₆ = А 0 F

1010 0000 1111

получается, что А0F₁₆ = 101000001111₂

 

Задание 6. Перевести следующие числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему счисления:

 

1) A2₁₆ =

2) В6С₁₆ =

3) D97₁₆ =

4) E8F0₁₆ =

 

Для перевода из двоичной системы в шестнадцатеричную необходимо разбить число, записанное в двоичной системе на группы по 4 справа налево, заменив каждую группу одной шестнадцатеричной цифрой.

Например. Перевести число 110110101101₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

110110101101₂ = 1101 1010 1101

 

D А D

получается, что 110110101101₂ = DAD₁₆

 

Задание 7. Перевести следующие числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления.

 

1) 100110111011₂ =

2) 10000010010₂ =

3) 101111001001₂ =

4) 111100001110₂ =

 

1.3. Двоичная арифметика.

Все операции над числами в двоичной СС, точно так же как и в десятичной, проводятся поразрядно. Приведем операции сложения и умножения, соответствующие примеры.

 

 

Операция сложения:	0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
Операция умножения	0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
1 * 1 = 1
Операция вычитания	0 - 0 = 0
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
0 – 1 = 11(заем из старшего разряда)

 

 

Например. Сложить числа 101100 и 1011.

+ 1011

 

Например. Умножить числа 101 и 11.

 

*11

⁺101

Задание 8. Сложить следующие двоичные числа:

 

1) 100111₂ + 1011₂ =

2) 110011₂ + 11011₂ =

 

Задание 9. Умножить следующие двоичные числа:

 

1) 11001₂ * 1001₂ =

2) 10111₂* 11011₂=

Задание 10. Вычесть двоичные числа:

1) 10010 – 1001 =

2) 101,011 – 1,110 =

3) 101,011 – 11,101 =

Контрольные вопросы.

1. Что такое система счисления?

2. Какие типы систем счисления вы знаете?

3. Что такое основа позиционной системы счисления?

4. Какая система счисления используется для представления информации в компьютере? Почему?

 

Домашнее задание

1. Перевести числа из восьмеричной системы счисления в двоичную систему:

16₈ =

55₈ =

2. Перевести числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему:

34А₁₆ =

3. Перевести числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления:

100111001111₂ =

110101010101₂ =

4. Перевести числа из двоичной системы счисления в восьмеричную систему:

111101111₂ =

10110101₂ =

5. Перевести числа из двоичной системы счисления в десятичную систему:

10110₂ =

1010101₂ =

6. Перевести числа из десятичной системы счисления в двоичную систему:

123₁₀ =

45₁₀ =

7. Перевести из пятеричной системы счисления в девятеричную:

432₅ =

2301_{5 =}

8. Сложить двоичные числа:

1011011₂ + 1011011₂ =

11111₂ + 100001₂ =

9. Вычесть двоичные числа:

111001 – 111 =

11101,001 – 1111,11 =

10. Умножить двоичные числа:

101₂ * 1101₂ =

1010₂ * 1111₂ =

11.Выполнить сложение чисел:

54₇ + 23₇ =

123₄ + 201₄ =