Способ отсчета времени от условного начала.

Сглаживание уровней временного ряда.

Если тенденция временного ряда проявляется недостаточно четко (т.е. уровни ряда испытывают сильные колебания), то целесообразно предварительно произвести сглаживание уровней временного ряда.

Способы сглаживания:

1) Метод ступенчатой средней величины.

ti	yi

Найдем ступенчатую среднюю по кварталам.

у_ст1 = (2+4+3)/3 = 3

у_ст2 = (6+5+7)/3 = 6 и т.д.

 

2) Метод скользящей средней величины

Возьмем период 3 тогда получим следующие значения:

У_ск1 = (2+4+3)/3 = 3

У_ск2 = (4+3+6)/3 = 13/3 и т.д.

При этом мы теряем по 1 значению с начала и с конца временного ряда.

Если период скольжения четный, то необходимо произвести дополнительное центрирование полученных уровней для того, чтобы привязать их к исходным моментам времени. Для этого необходимо найти среднее между соседними значениями.

 

3) Экспоненциальное сглаживание

Смысл экспоненциальных средних в том, чтобы найти такие средние, в которых влияние прошлых наблюдений затухает по мере удаления от момента, для которого определяется средняя.

Веса в экспоненциальных средних устанавливаются в виде коэффициентов α (0<α<1).

Веса по времени убывают экспоненциально, а сумма весов стремится к 1. В качестве весов используют следующий ряд:

α, α(1 - α), α(1 - α)²,…

Экспоненциальные средние рассчитываются по формуле:

Q_t = α*y_t + (1 – α)*Q_t-1

Q_t – экспоненциальная средняя (сглаженное значение уровня ряда на момент времени t)

α – вес текущего наблюдения.

y_t – фактический уровень временного ряда, соответствующий моменту времени t.

Q_t-1 – экспоненциальная средняя предыдущего периода.

Обычно α выбирают из диапазона 0.1<α<0.5. Чем ближе α к 1, тем меньше влияние на формирование средней оказывают предшествующие уровни ряда и наоборот. Уже при α = 0.9 сглаженные значения практически воспроизводят исходный ряд.

 

Метод аналитического выравнивания.

Временной ряд можно представить в виде следующей модели:

y_i = f(t_i) + ε_i

f(t_i) - детерминированная составляющая временного ряда (тренд).

ε_i - случайная составляющая временного ряда. Можно считать, что она распределена по закону, близкому к нормальному, причем M(ε_i)=0.

Основная цель метода – определить вид тренда и параметры функции f(t). При этом пользуются методом наименьших квадратов.

Для линейного тренда y = at + b система нормальных уравнений записывается в виде:

 

Способ отсчета времени от условного начала.

Используется для упрощения вычислений. Он состоит в переходе к условным моментам времени, для которых выполняется .

При этом k=1,3,5,…

Если число уровней ряда n нечетное то момент времени посередине ряда – ноль. Все последующие моменты обозначаются с шагом (+1), предыдущие (–1). Если n - четное, то шаг=2. Посередине (-1) и (+1). Последующие (+2) предыдущие (-2)

… -2 -1 0 +1 +2 …

… -5 -3 -1 +1 +3 +5 …

Тогда система решается так:

Некоторые нелинейные тренды допускают линеаризацию, например гипербола:

 

В случае гиперболы условными моментами времени пользоваться нельзя.

 

Линейный тренд характеризуется стабильными абсолютными цепными приростами:

 

t=0 y=b

t=1 y=b+a ∆=a

t=2 y=b+2a ∆=a

 

Показательный тренд (y=ba^t ) характеризуется стабильными темпами роста:

 

t=0 y=b

t=1 y=ba Тр=a

t=2 y=ba² Тр=a

 

Преобразуем показательное уравнение:

ln(y)=ln(ba^t)=t*ln(b) + ln(a)

Y = At + B, где Y = ln(y), A = ln(a), B = ln(b)

Обычными методами находим A и B и делаем обратную замену.

д.б. < 5-7%