Сглаживание уровней временного ряда.
Если тенденция временного ряда проявляется недостаточно четко (т.е. уровни ряда испытывают сильные колебания), то целесообразно предварительно произвести сглаживание уровней временного ряда.
Способы сглаживания:
1) Метод ступенчатой средней величины.
| ti | yi |
Найдем ступенчатую среднюю по кварталам.
уст1 = (2+4+3)/3 = 3
уст2 = (6+5+7)/3 = 6 и т.д.
2) Метод скользящей средней величины
Возьмем период 3 тогда получим следующие значения:
Уск1 = (2+4+3)/3 = 3
Уск2 = (4+3+6)/3 = 13/3 и т.д.
При этом мы теряем по 1 значению с начала и с конца временного ряда.
Если период скольжения четный, то необходимо произвести дополнительное центрирование полученных уровней для того, чтобы привязать их к исходным моментам времени. Для этого необходимо найти среднее между соседними значениями.
3) Экспоненциальное сглаживание
Смысл экспоненциальных средних в том, чтобы найти такие средние, в которых влияние прошлых наблюдений затухает по мере удаления от момента, для которого определяется средняя.
Веса в экспоненциальных средних устанавливаются в виде коэффициентов α (0<α<1).
Веса по времени убывают экспоненциально, а сумма весов стремится к 1. В качестве весов используют следующий ряд:
α, α(1 - α), α(1 - α)2,…
Экспоненциальные средние рассчитываются по формуле:
Qt = α*yt + (1 – α)*Qt-1
Qt – экспоненциальная средняя (сглаженное значение уровня ряда на момент времени t)
α – вес текущего наблюдения.
yt – фактический уровень временного ряда, соответствующий моменту времени t.
Qt-1 – экспоненциальная средняя предыдущего периода.
Обычно α выбирают из диапазона 0.1<α<0.5. Чем ближе α к 1, тем меньше влияние на формирование средней оказывают предшествующие уровни ряда и наоборот. Уже при α = 0.9 сглаженные значения практически воспроизводят исходный ряд.
Метод аналитического выравнивания.
Временной ряд можно представить в виде следующей модели:
yi = f(ti) + εi
f(ti) - детерминированная составляющая временного ряда (тренд).
εi - случайная составляющая временного ряда. Можно считать, что она распределена по закону, близкому к нормальному, причем M(εi)=0.
Основная цель метода – определить вид тренда и параметры функции f(t). При этом пользуются методом наименьших квадратов.
Для линейного тренда y = at + b система нормальных уравнений записывается в виде:
Способ отсчета времени от условного начала.
Используется для упрощения вычислений. Он состоит в переходе к условным моментам времени, для которых выполняется 
.
При этом 
k=1,3,5,…
Если число уровней ряда n нечетное то момент времени посередине ряда – ноль. Все последующие моменты обозначаются с шагом (+1), предыдущие (–1). Если n - четное, то шаг=2. Посередине (-1) и (+1). Последующие (+2) предыдущие (-2)
… -2 -1 0 +1 +2 …
… -5 -3 -1 +1 +3 +5 …
Тогда система решается так:
Некоторые нелинейные тренды допускают линеаризацию, например гипербола:
В случае гиперболы условными моментами времени пользоваться нельзя.
Линейный тренд характеризуется стабильными абсолютными цепными приростами:
t=0 y=b
t=1 y=b+a ∆=a
t=2 y=b+2a ∆=a
Показательный тренд (y=bat ) характеризуется стабильными темпами роста:
t=0 y=b
t=1 y=ba Тр=a
t=2 y=ba2 Тр=a
Преобразуем показательное уравнение:
ln(y)=ln(bat)=t*ln(b) + ln(a)
Y = At + B, где Y = ln(y), A = ln(a), B = ln(b)
Обычными методами находим A и B и делаем обратную замену.
д.б. < 5-7%
