Определение момента инерции махового колеса

Моментом инерции материальной точки относительно какой-либо оси вращения называется произведение массы точки на квадрат расстояния ее до оси вращения (см. рис. 1).

Момент инерции материальной точки может быть выражен формулой

i – момент инерции материальной точки, m – масса, r – расстояние от точки до оси вращения, проходящей через точку “O”.

Тело можно представить как совокупность материальных точек. Момент инерции тела относительно какой-либо оси вращения равен сумме моментов инерции тела относительно той же оси всех материальных точек, составляющих тело (см. рис. 2), т.е.

где I – момент инерции тела, m_i – масса точки, r_i - расстояние i -й точки до оси вращения.

Если тело имеет правильную геометрическую форму, то его момент инерции может быть вычислен на основе теоретических соображений.

Если же тело представляет собой сложную фигуру (маховое колесо, пропеллер и т.д.),

То теоретическое определение момента инерции представляет значительные трудности; в этих случаях он определяется опытным путем.

Один из методов опытного определения момента инерции тела (махового колеса) и рассматривается в данной работе.

Описание установки и методики работы.

 

Установка для опытного определения момента инерции махового колеса представляет собой вал “OO”, вращающийся на шариковых подшипниках (см. рис. 3).

На вал насажен шкив “B” и маховое колесо “A”. На поверхность шкива “B” наматывается нить, к концу которой прикреплен груз “К”, масса которого равна “m”,

 

Поднятый на высоту “h” груз обладает потенциальной энергией W_n=m*g*h,

где g – ускорение свободного падения тела. Если поднятому на высоту “h” грузу дать возможность падать, то создается постоянный вращающий момент, под действием которого колесо будет равномерно-ускоренно вращаться. По мере падения груза его потенциальная энергия будет уменьшаться, превращаясь в эквивалентное количество других видов энергии, а именно: вкинетическую энергию поступательного движения самого груза, равную

(1)

где m – масса груза, v – его скорость движения, и в кинетическую энергию вращательного движения маховика, равную

(2)

где I – момент инерции маховика, w - его угловая скорость, и в работу по преодолению трения при одном обороте махового колеса, n₁ – число оборотов вала (махового) колеса при падении груза от верхней точки до пола.

(3)

A – работа силы трения при одном обороте.

В тот момент, когда груз “K” достигнет пола, вся его потенциальная энергия m*g*h, которой он обладает в верхней точке, целиком перейдет в энергию поступательного движения падающего груза (1), в кинетическую энергию вращающегося маховика (2) и работу по преодолению трения (3).

В этом случае, на основании закона сохранения энергии можно записать:

(4)

Работа (А) по преодолению трения при одном обороте может быть подсчитана следующим образом:

В тот момент, когда груз достигнет пола, нить, к которой прикреплен он, спадает со шкива, и маховое колесо некоторое время продолжает вращаться, пока его кинетическая энергия не будет израсходована на работу по преодолению трения, т.е.

, (5)

где А – работа по преодолению трения при одном обороте колеса, n₂ – число оборотов колеса с момента прекращения действия груза до полной остановки махового колеса.

Тогда формула (4) примет вид

или

где - число оборотов махового колеса с начала движения до полной его остановки.

Отсюда

(6)

Величина скорости груза v, в тот момент, когда он достигнет пола, равна:

, а

Число оборотов от начала движения до удара груза о пол

Измерив величины

m - массу груза,

h – высоту его подвеса,

N – число оборотов от начала движения до полной остановки маховика,

r – радиус шкива,

n₁ – число оборотов от начала движения до удара груза о пол,

t – время движения груза,

И вычислив:

v – скорость груза в момент удара о пол,

w - угловую скорость маховика в момент удара груза,

- работу по преодолению трения,

- энергию поднятого груза,

- кинетическую энергию груза в момент удара о пол,

по формуле (4) можно рассчитать I – момент инерции махового колеса. Вес грузов – 1,5 кг

 

 

Порядок выполнения работы

1. Измерить при помощи штангенциркуля радиус шкива.

2. Намотать на шкив тонкий шнур, на одном конце которого имеется петля для груза. Вращать маховик до тех пор, пока груз не поднимется на высоту приблизительно 1,5 метра.

3. Измерить расстояние от пола до нижней поверхности груза, установленного в исходное положение.

4. Дав грузу возможность падать, определить с помощью секундомера время падения груза до пола. Для этого следует с началом движения пустить в ход секундомер и остановить его в момент удара о пол. Одновременно следует вести счет числа оборотов маховика с начала движения до удара груза о пол и продолжить считать дальше до полной остановки маховика. Секундомер пускается в ход началом движения со счетом нуль. Опыт проделать 5 раз. Высота подъема и масса груза остаются постоянными. Расчёт проводится по среднему арифметическому значению.

5. Все измеренные величины записать в таблицу 1.

6. Произвести расчеты: n₁ – число оборотов от начала движения до удара груза о пол,

v – скорость груза в момент удара о пол,

w - угловой скорости в момент удара о пол,

А – работы по преодолению трения при одном обороте

- работы по преодолению трения при n₁ оборотов,

- потенциальной энергии поднятого на высоту h груза,

- кинетической энергии груза в момент удара о пол,

I – момент инерции махового колеса.

Расчеты следует вести в системе “СИ”. Все вычисленные значения занести в таблицу 2, указав размерности вычисленных величин.

Таблица 1

Таблица 2

v		w		A		I

Примечание: Расчеты производятся по средним значениям величин.

Контролные вопросы:

1. Рассмотреть закон сохранения энергии применительно к маховому колесу.

2. Вывести и проанализировать формулу для момента инерции махового колеса.

Литература

1. Фриш и Тиморева – Курс физики, ч.I.

2. Хайкин – Физические основы механики.

3. Архангельский – Курс физики (Механика).