Задачи для самостоятельного решения. 1.1 На вершину горы ведут 7 дорог

1.1 На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее? Дайте ответ на тот же вопрос в предположении, что подъем и спуск осуществляется разными путями.

1.2 Сколько существует двузначных чисел, у которых обе цифры четные?

1.3 В розыгрыше первенства страны по футболу принимают участие 16 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали?

1.4 Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

1.5 Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, если цифры могут повторяться, а само число должно быть четное?

1.6 Сколько существует различных номеров телефона, у которых разными являются только две последние цифры?

1.7 Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?

1.8 Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если

1) ни одна из цифр не повторяется;

2) цифры могут повторяться;

3) числа должны быть нечетными (цифры могут повторяться)?

1.9 Сколькими способами могут разместиться 4 покупателя в очереди в кассу? 5 покупателей? 6 покупателей?

1.10 Сколькими способами можно расставить на полке десять различных книг?

1.11 Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из трех человек?

1.12 Сколькими способами можно рассадить четырех курсантов на 25 местах?

1.13 В турнире принимали участие 25 шахматистов и каждые два шахматиста встретились один раз. Сколько партий было сыграно в турнире?

1.14 Преподаватель отдал учащимся 60 вопросов для зачета. Сколько он может составить билетов, если выполнены два условия:

1) каждый билет содержит три разных вопроса;

2) любые два билета отличаются друг от друга хотя бы одним вопросом?

1.15 В турнире принимают участие 7 команд. Сколько можно сделать различных предсказаний о распределении первых трех призовых мест?

1.16 Партия состоит из 8 изделий. Из партии выбирается для контроля 3 изделия. Сколькими способами это можно сделать?

1.17 В группе из 30 человек нужно выбрать старосту, профорга и физорга. Сколькими способами это можно сделать, если все учащиеся могут быть выбраны на любую должность?

1.18 В бригаде из 26 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?

1.19 Группа учащихся изучает 9 различных учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий в субботу, если в этот день недели должно быть 4 различных урока?

1.20 На базе имеется некоторое количество деталей. При этом известно, что 100 деталей 1-го сорта, 20 деталей второго сорта, остальные 3-го сорта. Сколько существует способов выбора одной детали первого или второго сорта?

1.21 Сколькими способами 8 различных книг можно расставить на одной полке так, чтобы:

1) две определенные книги оказались рядом;

2) две определенные книги не оказались рядом.

1.22 В урне 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами из урны можно вынимать наугад три шара так, чтобы

1) все три шара оказались белыми;

2) все три шара оказались черными;

3) два шара оказались белыми, один – черный;

4) два шара оказались черными, один – белый?

1.23 В розыгрыше личного первенства института по шахматам было сыграно 120 игр. Сколько было участников, если каждые два участника встречались между собой один раз?

1.24 В группе 20 юношей и 20 девушек. Сколькими способами можно избрать трех юношей и двух девушек для участия в слете студентов?

1.25 Три студента и три студентки садятся на 6 расположенных подряд стульев, причем студенты садятся на места с четными номерами, а студентки – на места с нечетными номерами. Сколькими способами это можно сделать?

1.26 Имеются р дорог, ведущих от С до Д через А и х дорог, ведущих от С до Д через В. Пункты А и В дорогами не связаны. Сколько можно создать автобусных маршрутов, связывающих Д и С?

1.27 В некоторой газете 10 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить 4 фотографии. Сколькими способами это можно сделать, если ни одна страница не должна содержать более одной фотографии?

1.28 В ящике находятся 8 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 6 шаров, чтобы среди них было только 2 черных?

1.29 Имеется группа, состоящая из 11 человек. Сколькими способами ее можно разбить на две подгруппы, в одной из которых должно быть не более четырех человек, а во второй не более восьми человек?

1.30 В розыгрыше первенства по футболу участвуют девять команд, лучшие из которых занимают первое, второе и третье места. В следующем таком же первенстве не будут участвовать две команды, занявшие последние места. Сколько разных вариантов результата первенства может быть, если учитывать положение первых трех и последних двух команд?

1.31 В группе учатся 12 человек. Предположим, что на одном занятии может быть опрошено любое количество учащихся, но ни один из них не может быть опрошен дважды. Сколько существует вариантов опроса учащихся на одном занятии, если порядок, в котором опрашиваются учащиеся, безразличен?

1.32 На студенческий вечер собрались юноши и девушки восьми факультетов университета, в том числе математического и филологического. Для исполнения народных танцев приглашаются 10 студентов. Сколькими способами можно выбрать эту десятку при условии участия в ней хотя бы одного студента математического и хотя бы одного студента филологического факультетов?

1.33 В магазине имеются конфеты трех наименований. Конфеты упакованы в коробки трех видов – для каждого наименования своя коробка. Сколькими способами можно заказать набор из пяти коробок?

1.34 Сколько автомашин можно обеспечить шестизначными номерами?

1.35 Четыре студента сдают экзамен. Сколько может быть вариантов распределения оценок, если известно, что так или иначе все они экзамен сдали?

1.36 Для организации для своих сотрудников трех различных туристических поездок руководство фирмы рассматривала шесть туристических агентств. Определить число способов распределения трех заявок между шестью агентствами, если каждое агентство может получить не более одной заявки.

1.37 Для открытия своего сейфа руководителю необходимо набрать пароль из четырех цифр. Он забыл необходимый код. Сколько всевозможных комбинаций он может составить для набора пароля, если

1) цифры в коде не повторяются;

2) цифры в коде могут повторяться?