Техническая механика для строителей

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ БАКАЛАВРОВ

С.Ю. Молдаванов, С.Б. Лозовой

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ДЛЯ СТРОИТЕЛЕЙ

Допущено в качестве учебного пособия по дисциплине

«Техническая механика» для подготовки бакалавров направления 270800 Строительство

Краснодар 2013

УДК 539.3 (075.8)

ББК 22.251 Я73

М75

Молдаванов С.Ю., Лозовой С.Б. Техническая механика для строителей: учеб. пособие / Кубан. гос. технол. ун-т. – Краснодар: Изд. ФГБОУ ВПО «КубГТУ», 2013. – 363 с.

Учебное пособие включает в себя все основные разделы, необхо- димые для успешного усвоения студентами учебной дисциплины «Тех- ническая механика». Кроме теоретических сведений и большого коли- чества иллюстративного и справочного материала приведено большое число контрольных вопросов и решенных задач по каждой теме курса. Существенно обновлена система выводов и доказательств различных расчетных формул, а также рассмотрены новые алгоритмы решения многих инженерных задач.

Пособие соответствует действующей основной образовательной программе высшего профессионального образования и требованиям Федеральных государственных образовательных стандартов в Россий- ской системе высшего образования по направлению подготовки 270800 Строительство, квалификация (степень) выпускника - бакалавр. Дис- циплина «Техническая механика» впервые включена в образователь- ную программу высшего профессионального образования для строите- лей. В настоящий момент учебная литература по данной дисциплине практически полностью отсутствует.

Ил. 214. Табл. 4. Библиогр.: 25 назв. Прил. 7.

Рецензенты: академик РАН, д-р физ.-мат. наук, В.А. Бабешко (Кубан- ский государственный университет);

д-р техн. наук, проф. Ж.М. Бледнова (Кубанский госу- дарственный технологический университет)

ISBN 978-5-8333-0444-0 © Молдаванов С.Ю., Лозовой С.Б., 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение.................................................. 8

Глава 1. Основные понятия, допущения и гипотезы........................... 10

Техническая механика и ее место среди других научных

дисциплин....................................................................................... 10

Классификация объектов изучения................................................... 11

Предмет и задачи курса технической механики.............................. 13

Основные гипотезы и допущения..................................................... 14

Классификация внешних сил............................................................. 15

Деформация твердых тел.................................................................. 17

Метод сечений. Внутренние силы в сечении твердого тела.

Простое и сложное сопротивление прямого бруса...................... 19

Понятие о напряжениях в точке твердого тела................................ 22

Связь между напряжениями и внутренними силовыми

факторами....................................................................................... 23

Краткий исторический очерк развития науки

о сопротивлении материалов....................................................... 24

Глава 2. Геометрические характеристики плоских сечений............... 27

Моменты плоских сечений................................................................ 27

Вычисление моментов инерции простейших геометрических

фигур............................................................................................... 29

Преобразование геометрических характеристик при

параллельном переносе осей......................................................... 31

Преобразование геометрических характеристик при

повороте координатных осей....................................................... 32

Главные оси и главные моменты инерции плоского сечения... 33

Радиусы инерции и эллипс инерции. Моменты сопротивления плоского сечения 35

Вычисление геометрических характеристик сечений сложной формы................................................ 46

Глава 3. Центральное растяжение и сжатие прямых стержней.......... 51

Внутренние силы и напряжения при центральном растяжении

или сжатии...................................................................................... 51

Деформации при растяжении и сжатии. Понятие

о коэффициенте Пуассона. Закон Гука.......................................... 53

Напряжения в сечениях, наклонных к оси стержня......................... 55

Испытания материалов на растяжение и сжатие.............................. 56

Диаграмма растяжения пластичных материалов............................. 59

Упругие и остаточные деформации. Явление наклепа.................... 62

Условная и истинная диаграммы растяжения.................................. 63

Диаграмма растяжения малопластичных и хрупких материалов. 64

Диаграмма сжатия различных материалов. Особенности

разрушения при сжатии................................................................. 66

Методики расчета строительных конструкций................................ 68

Статически определимые задачи при одноосном растяжении

или сжатии..................................................................................... 73

Статически неопределимые задачи при растяжении

или сжатии..................................................................................... 74

Расчет статически неопределимых систем на действие

внешних сил.................................................................................. 74

Расчет статически неопределимых систем на температурные воздействия 75

Расчет статически неопределимой системы на монтажные

усилия............................................... 77

Определение предельной нагрузки для статически

неопределимой системы............................................................... 79

Глава 4. Двухосное напряженное состояние в точке тела................. 103

Понятие о напряженном состоянии в точке тела............................ 103

Плоское напряженное состояние..................................................... 104

Напряжения на наклонных площадках.......................................... 105

Главные напряжения в случае на плоского напряженного

состояния....................................................................................... 107

Обобщенный закон Гука................................................................. 109

Изменение объема материала при деформации............................. 110

Удельная потенциальная энергия при плоском напряженном состоянии 111

Круги Мора при плоском напряженном состоянии....................... 112

Критерии прочности и пластичности.............................................. 114

Критерии наибольших нормальных напряжений.......................... 115

Критерии наибольших относительных удлинений........................ 116

Критерии наибольших касательных напряжений.......................... 117

Энергетический критерии прочности............................................. 118

Теория прочности Мора.................................................................. 120

Глава 5. Сдвиг и кручение.................................................................. 126

Понятие о чистом сдвиге. Анализ напряженного состояния

при чистом сдвиге......................................................................... 126

Закон Гука при чистом сдвиге. Зависимость между модулям упругости первого и второго рода....................................................................................... 126

Потенциальная энергия при чистом сдвиге.................................... 128

Расчет заклепочных и болтовых соединений.................................. 129

Основы расчета сварных соединений на срез................................ 131

Напряжения и деформации при кручении стержня круглого поперечного сечения 131

Потенциальная энергия при кручении вала круглого

поперечного сечения..................................................................... 135

Главные напряжения и главные площадки при кручении вала.. 135

Расчет цилиндрических пружин с малым шагом витка................. 136

Глава 6. Внутренние усилия в балках и рамах при изгибе............... 143

Классификация нагрузок, действующих на брус........................... 143

Общие сведения об эпюрах............................................................. 144

Общий порядок построения эпюр внутренних силовых

факторов........................................................................................ 146

Дифференциальные уравнения равновесия бруса с

прямолинейной осью.................................................................... 150

Интегральные уравнения равновесия бруса................................... 152

Правила контроля эпюр внутренних силовых факторов............... 155

Построение эпюр внутренних силовых факторов без

составления уравнений статики.................................................... 156

Частные случаи загружения балок внешней нагрузкой................. 160

Построение эпюр внутренних силовых факторов в плоских

рамах............................................................................................. 167

Глава 7. Напряжения в балках при изгибе......................................... 180

Нормальные напряжения при чистом изгибе................................. 180

Касательные напряжения при поперечном изгибе......................... 184

Распределение касательных напряжений по высоте

поперечного сечения балки.......................................................... 186

Анализ напряженного состояния при плоском изгибе балки........ 189

Глава 8. Определение перемещений в стержневых системах............ 201

Прогиб и поворот сечения балки. Дифференциальное

уравнение изогнутой оси............................................................. 201

Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой

оси балки....................................................................................... 202

Метод уравнивания постоянных интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси...................................................................................... 206

Использование метода начальных параметров для

определения перемещений в балках............................................ 208

Графоаналитический метод вычисления перемещений

при плоском изгибе...................................................................... 216

Основные теоремы об линейно упругих деформируемых

системах......................................................................................... 222

Теорема о взаимности работ (теорема Бетти)................................. 224

Теорема о взаимности перемещений (теорема Максвелла)............ 225

Определение перемещений. Интеграл Мора.................................. 225

Правило Верещагина....................................................................... 227

Глава 9. Сложное сопротивление....................................................... 234

Общий случай сложного сопротивления прямого бруса.............. 234

Косой изгиб прямого бруса. Определение нормальных

напряжений................................................................................... 235

Определение положения нейтральной линии при косом

изгибе............................................................................................ 236

Определение перемещений при косом изгибе............................... 237

Определение нормальных напряжений в случае

внецентренного растяжения или сжатия..................................... 242

Определение положения нейтральной линии при

внецентренном растяжении или сжатии...................................... 243

Общие понятия о ядре сечения....................................................... 245

Совместное действие изгиба с кручением...................................... 253

Глава 10. Устойчивость сжатых стержней......................................... 261

Основные понятия об устойчивости механических систем............ 261

Потеря устойчивости центрально-сжатых стержней.

Формула Эйлера........................................................................ 262

Влияние способов закрепления концов стержня на величину критической силы 265

Пределы применимости формулы Эйлера.

Формула Ясинского................................................................... 268

Практический расчет сжатых стержней.......................................... 270

Безытерационный метод расчета сжатых стержней

на устойчивость.......................................................................... 273

Глава 11. Динамические и периодические нагрузки......................... 289

Динамическое действие нагрузок. Силы инерции.

Принцип Даламбера................................................................... 289

Действие ударных нагрузок. Продольный удар........................... 290

Поперечный удар. Влияние собственной массы бруса на

величину динамических напряжений........................................ 292

Колебания систем с одной степенью свободы. Свободные колебания...... 297

Вынужденные колебания системы с одной степенью

свободы....................................................................................... 301

Усталостная прочность................................................................... 303

Факторы, влияющие на усталостную прочность материалов... 309

Коэффициент запаса усталостной прочности................................. 310

Глава 12. Расчет статически неопределимых стержневых систем

по методу сил...................................................................... 316

Основные понятия о статически неопределимых стержневых системах 316

Основная система и канонические уравнения метода сил............. 317

Вычисление коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений метода сил................................................................................ 318

Определение внутренних усилий в заданной системе................... 319

Промежуточные и окончательная проверки правильности

расчета........................................................................................ 320

Глава 13. Основы расчета тонкостенных оболочек.......................... 330

Основные понятия о безмоментной теории тонкостенных

оболочек...................................................................................... 330

Напряжения, действующие в тонкостенной осесимметричной оболочке 331

Расчет осесимметричных сосудов давления по

безмоментной теории................................................................. 333

Краевой эффект в цилиндрической оболочке................................ 336

Заключение.......................................................................................... 340

Список литературы............................................................................. 341

Приложение А (справочное).............................................................. 343

Приложение Б (справочное)............................................................... 345

Приложение В (справочное)............................................................... 346

Приложение Г (справочное)............................................................... 348

Приложение Д (справочное)............................................................... 349

Приложение Е (справочное)............................................................... 360

Приложение Ж (справочное).............................................................. 362

ВВЕДЕНИЕ

Учебная дисциплина «Техническая механика» впервые включена в образовательный стандарт высшего профессионального образования для строителей, поэтому в настоящий момент учебная литература по этой дисциплине практически полностью отсутствует. Многочислен- ные существующие учебники с аналогичным названием предназначены для студентов учебных заведений среднего профессионального образо- вания и представляют собой компиляцию таких учебных дисциплин, как теоретическая механика, сопротивление материалов, статика со- оружений и детали машин и механизмов.

Учебное пособие «Техническая механика для строителей» напи- сано в соответствии с действующей основной образовательной про- граммой высшего профессионального образования третьего поколения. Оно предназначено для студентов бакалавриата, обучающихся по на- правлению подготовки 270800 Строительство. В пособии рассмотрены классические методики расчета простейших элементов строительных конструкций на прочность, жесткость и устойчивость, что позволяет дать студентам фундаментальные знания о напряженно-деформирован- ном состоянии стержней и стержневых систем под действием различ- ных внешних нагрузок, сформировать представления о работе инже- нерных конструкций, научить их решать различные прикладные задачи. Приобретенные знания способствуют формированию у студентов основ инженерного мышления.

Форма изложения материала основана на многолетнем опыте пре- подавания различных учебных дисциплин, составляющих механику деформируемого твердого тела, на кафедре «Строительная механика и сопротивления материалов» Кубанского государственного технологи- ческого университета (КубГТУ). Предлагаемое учебное пособие со- держит сведения, которые охватывают основные теоретические вопро- сы курса технической механики для студентов-строителей. Эти мате- риалы рассматривают на лекционных занятиях.

Все читатели могут получить практические навыки в решении инженерных задач, изучая примеры, приведенные в учебном пособии. Практически каждый раздел дисциплины проиллюстрирован примера- ми решения типовых задач. Особый упор сделан на решении задач, входящих в состав расчетно-графических работ. Эти материалы тради- ционно рассматриваются и обсуждаются на практических занятиях. Самостоятельное выполнение студентами расчетно-графических работ позволяет повысить степень усвоения материалов лекций и практиче- ских занятий.

В формулировках рассмотренных задач и расчетно-графических работ используется Международная система единиц (СИ). В предла- гаемом учебном пособии имеется существенное отличие от других. В нем не выполняются расчеты по методу допускаемых напряжений, ко- торый уже около шестидесяти лет не используется в строительных нормах. В учебном пособии сохранены суть и методика расчета по пре- дельным состояниям в целом, а также структура формул и обозначения, принятые в строительных нормах и правилах. В тоже время с целью сделать их более простыми и понятными для студентов в данной книге опущены некоторые специальные вопросы расчета по методу предель- ных состояний (учет коэффициентов условий работы, перегрузки и др.), так как их изложение было бы преждевременным в общетехниче- ском курсе.

Данное учебное пособие предназначено для студентов и препо- давателей высших технических учебных заведений. Она также может служить пособием для проектировщиков и инженеров, изучающих и использующих в практической работе методы технической механики.

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ДОПУЩЕНИЯ И ГИПОТЕЗЫ

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И ЕЕ МЕСТО СРЕДИ ДРУГИХ НАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН

Задачи модернизации российской экономики и выполнение на- циональной программы по обеспечению граждан нашей страны дос- тупным и качественным жильем напрямую связаны с постоянно увели- чивающимися объемами строительства, что требует повышенного вни- мания к расчетам различных строительных конструкций и их элемен- тов. Расчет строительных конструкций и сооружений должен обеспечи- вать как их надежность при эксплуатации, так и рациональное исполь- зование самых разнообразных материалов. Такие задачи могут быть решены лишь на основе глубокого знания свойств различных конст- рукционных материалов и умения выполнять инженерные расчеты, опираясь на последние достижения механики деформируемого твердо- го тела (МДТТ).

Механика деформируемого твердого тела изучает законы дефор- мирования тел, возникающих под действием внешних сил, температур- ных полей, электромагнитных воздействий и т.д. Внешние воздействия вызывают деформации тела. Деформация тела связана с изменением его первоначальных размеров и формы. В процессе деформации мате- риальные частицы тела приходят в движение, что приводит к измене- нию расстояния между ними. Это приводит к появлению в деформи- руемом теле дополнительных сил взаимодействия между его отдель- ными частями, которые называются внутренними силами. Мерой изме- нения внутренних сил служат напряжения. Напряжения и деформации являются взаимосвязанными параметрами, которые характеризуют со- стояние деформируемого твердого тела.

Механика деформируемого твердого тела основывается на ре- зультатах экспериментов, которые позволяют определить физико- механические характеристики материалов и проверить правильность расчетных теорий. Однако МДТТ является не только эксперименталь- ной, но и теоретической наукой, использующей свой математический аппарат.

Изучение механики деформируемого твердого тела базируется на ряде учебных дисциплин. Из курса высшей математики в механике де- формируемого твердого тела широко используют элементы дифферен- циального и интегрального исчисления, начала векторной и линейной алгебры, аналитическую геометрию, сведения из теории рядов, диффе- ренциальные уравнения, элементы математической статистики и тео-

рии вероятностей. Из курса физики используются следующие разделы: механика, оптика, электричество, теплота и т.д. В МДТТ применяют ряд методов и уравнений теоретической механики. К ним относятся ус- ловия равновесия системы сил, уравнения движения тела, аксиомы ста- тики, метод сечений, метод приведения системы сил к заданному цен- тру, принцип возможных перемещений и т.д.

Механика деформируемого твердого тела в свою очередь исполь- зуется при изучении для целого ряда прикладных инженерных дисцип- лин: «Детали машин и механизмов», «Статика и динамика сооруже- ний», «Строительные конструкции» и т.д. Поэтому глубокое изучение основ МДТТ является гарантией качественной инженерной подготовки студента и позволяет ему квалифицированно решать различные при- кладные задачи.

Механика деформируемого твердого тела включает в себя на це- лый ряд отдельных дисциплин: «Техническая механика», «Сопротивле- ние материалов», «Строительная механика», «Теория упругости», «Тео- рия пластичности», «Теория ползучести», «Аэрогидроупругость», «Ме- ханика грунтов» и др.

В МДТТ используется классификация научных дисциплин по объектам изучения. Традиционный курс «Сопротивление материалов» является теорией стержней и брусьев. Наиболее простые разделы курса

«Сопротивления материалов», имеющие непосредственное прикладное значение, составляют дисциплину «Техническая механика». Она дает фундаментальные знания о расчетных схемах различных строительных конструкций, видах напряженно-деформированного состояния отдель- ных стержней и простейших стержневых систем, формирует необходи- мые представления о работе их элементов под действием различных нагрузок, задачах расчета стержневых систем на прочность, жесткость и устойчивость.

Изучение дисциплины «Техническая механика» способствует формированию у студентов инженерного мышления и имеет своей це- лью подготовить будущего специалиста к решению различных при- кладных задач сопротивления материалов и строительной механики.

КЛАССИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ ИЗУЧЕНИЯ

Тела, представляющие собой элементы инженерных конструк- ций, в механике деформируемого твердого тела рассматриваются уп- рощенно, без учета второстепенных их характеристик, в виде так назы- ваемых расчетных схем. Все многообразие твердых тел можно разде- лить на три основные группы.

Материальное тело, два измерения которого значительно меньше третьего, называется брусом (рис. 1.1). Брус может быть образован при перемещении некоторой плоской фигуры S вдоль пространственной линии L. В процессе движения центр тяжести замкнутой области S (точка О) должен принадлежать этой линии, а фигура S при этом пер- пендикулярна касательной к линии L в точке О. В дальнейшем линию L будем называть осью бруса. Фигуру S будем называть поперечным се- чением бруса.

Если область S изменяет свои размеры по мере передвижения вдоль оси L, то мы получим брус переменного поперечного сечения. В противном случае мы имеем брус постоянного поперечного сечения.

Когда линия L представляет

L y1

О1 z1

y2 О3 L

О2 x3

собой плоскую или про- странственную кривую, то мы получим брус с криво- линейной осью. Когда ли- ния L является прямой, то мы имеем брус с прямоли- нейной осью. Брус с прямо-

Рисунок 1.1

линейной осью называется

стержнем, если под дейст-

вием внешних сил в нем преобладают деформации, направленные вдоль его оси. Если же к брусу с прямолинейной осью приложены внешние нагрузки, создающие деформации, связанные с изменением кривизны его оси, то такой брус принято называть балкой.

Оболочкой называется тело, у которого одно из измерений значи- тельно меньше двух других (рис. 1.2). Геометрически оболочка может

быть образована при движением некоторого отрезка АВ длиной h так, что его средняя точка О всегда будет принадлежать некоторой по- верхности S, а сам отрезок остается нормальным к этой поверхности. В дальнейшем поверхность S будем называть срединной поверхностью, а величину h - толщиной. Если от-

Рисунок 1.2

резок АВ не изменяет своих разме-

ров при перемещении по срединной поверхности, то мы получим обо- лочку постоянной толщины, в обратном случае имеем оболочку пере- менной толщины. Пластина - это частный случай оболочки, когда сре-

динной поверхностью служит плоскость. Твердые тела, у которых все три измерения одного порядка, называются массивными телами.

В курсе «Сопротивление материалов» объектами изучения явля- ются отдельные брусья, стержни и балки. «Техническая механика» рас- сматривает деформации прямолинейных брусьев. «Строительная меха- ника» изучает строительные конструкции, состоящие из совокупности стержней или брусьев. Деформации оболочек, пластин и массивных тел являются предметом изучения дисциплины «Теория упругости».

ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ КУРСА ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Все современные инженерные конструкции изготавливают по за- ранее разработанным проектам. Проект - это чертеж или ряд чертежей и технических рисунков, в которых указываются все размеры элемен- тов конструкций, необходимые для их изготовления, спецификации ис- пользуемых материалов, а также приводится краткое описание техно- логии производства работ. Таким образом, еще в процессе проектиро- вания необходимо уметь определять размеры отдельных элементов, входящих в состав инженерных конструкций. Вполне очевидно, что эти размеры зависят от ряда условий и обстоятельств, в том числе от свойств материалов, используемых при изготовлении этих элементов и от предполагаемых внешних воздействий. Любая конструкция должна обладать надежностью при эксплуатации и быть экономичной. Требо- вания надежности и экономичности противоречивы. Чтобы обеспечить надежность конструктивных элементов следует увеличивать размеры их поперечных сечений, а для повышения экономичности эти размеры необходимо уменьшать, чтобы снизить расход материала при изготов- лении конструкции.

Наука о сопротивлении материалов призвана дать ответ на вопрос о степени надежности элементов конструкций. Понятие надежность можно определить как способность элемента функционировать в за- данных пределах изменения параметров, характеризующих состояние системы. В сопротивлении материалов такими параметрами служат де- формации и напряжения, для которых устанавливаются границы, обес- печивающие прочность, жесткость и устойчивость элементов.

Элемент считается прочным, если под действием внешних воз- действий не разрушается (т.е. не происходит разделение тела на от- дельные части). Если деформации элемента не превышают некоторых заданных пределов, то элемент считается жестким. Величина допус- каемых деформаций отдельных элементов строительных конструкций определяется в соответствии с требованиями СНиП (строительных норм и правил). Под устойчивостью элемента понимают его способ-

ность сохранять первоначальную форму равновесия. Таким образом, основными задачами сопротивления материалов являются расчеты брусьев на прочность, жесткость и устойчивость.

ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ И ДОПУЩЕНИЯ

Различие между дисциплиной «Техническая механика» и други- ми разделами механики твердого деформируемого тела заключается в разных подходах к решению задач. В МДТТ используют более точную постановку задач, в связи с чем для их решения необходимо применять более сложный математический аппарат и проводить громоздкие вы- числительные операции. Поэтому возможности применения таких ме- тодов при решении практических инженерных задачах весьма ограни- чены. В свою очередь «Техническая механика» базируется на упро- щенных гипотезах, которые, с одной стороны, позволяют решать широ- кий круг прикладных задач, а с другой, получать приемлемые по точно- сти результаты расчетов. К этим допущениям и гипотезам относятся:

1. Гипотеза о сплошности тел, которая предполагает, что тело без пустот заполняет своими материальными точками ту часть про- странства, которая находится в пределах его границ. Такие тела приня- то называть сплошной средой. Реальная дискретная структура вещества при этом не учитывается. Эта гипотеза является справедливой если размеры тела значительно превосходят размеры его структурных еди- ниц (атомов, молекул, зерен).

2. Вводится допущение об идеализированном однородном теле. Однородное твердое тело имеет одинаковые физико-механические по всем направлениям. Такие тела принято называть изотропными (сталь, цветные металлы). Анизотропными называются твердые тела, свойства которых по всем направлениям различны. Твердые тела, которые обла- дают одинаковыми свойствами только в определенных направлениях, называются ортотропными (древесина, стеклопластики).

3. Допущение о кинематической неизменяемости означает, что изучаемое тело находится в состоянии равновесия. При решении дина- мических задач к внешним силам, действующим на тело добавляют си- лы инерции и рассматривают условие динамического равновесия (принцип Даламбера).

4. В соответствии с допущением о малости деформаций они ма- лы по сравнению с размерами тела. Это допущение позволяет не учи- тывать величину деформаций при рассмотрении условий равновесия (расчет по недеформированной схеме).

5. Допущение о естественном состоянии тела предполагает, что если твердое тело не нагружено, то деформации и напряжения в нем отсутствуют.

6. Твердое тело предполагается упругим. Под упругостью пони- мается способность тела при устранении внешних воздействий восста- навливать свои первоначальные размеры и форму.

7. Вводится допущение о линейно-деформируемом упругом теле. Предполагается, что в таком теле деформации пропорциональны при- ложенной нагрузке, т.е. выполняется закон Гука.

8. Принцип Сен-Венана (принцип локальности), в соответствии с которым на достаточном удалении от места приложения внешней на- грузки конкретный способ ее передачи на тело можно не учитывать.

9. При решении ряда задач используется г ипотеза плоских сече- ний (гипотеза Бернулли), в соответствии с которой поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к оси бруса в его естественном состоянии, остаются плоскими и нормальными к его оси после приложения внеш- них нагрузок.

10. При решении различных задач используется п ринцип незави- симости действия сил (принцип суперпозиции), который гласит, что результат совместного воздействия нескольких сил равен сумме ре- зультатов воздействия каждой из них в отдельности.

КЛАССИФИКАЦИЯ ВНЕШНИХ СИЛ

На строительные конструкции и сооружения действуют различ- ные виды внешних нагрузок, которые можно классифицировать по ря- ду признаков:

1. Различают силы активные и реактивные (усилия возникаю- щие в опорных устройствах).

2. В зависимости от места приложения внешние силы можно разделить на поверхностные и объемные. Поверхностные силы прило- жены непосредственно к внешней поверхности тела, например, давле- ние жидкости на стенки резервуара. Объемные силы распределены по всему объему тела. К ним относятся собственный вес тела, силы маг- нитного притяжения, силы инерции и т. п.

3. В зависимости от размера площадки, через которую силы пе- редаются на сооружение, различают распределенные нагрузки и сосре- доточенные силы. Сосредоточенные силы передаются на сооружение через малую площадку. Условно считают, что такие нагрузки приложе- ны в точке. Например, сосредоточенной силой можно считать давление обода колеса на рельс, работающий как длинная балка (рис. 1.3). Со- средоточенные силы измеряются в ньютонах (Н). В то же время при ис-

следовании местных деформаций в материале под точкой приложения силы необходимо учитывать фактическую передачу усилия через опре- деленную площадь контакта. Отсюда видно, что понятие сосредото- ченной силы является условным. В зависимости от поставленной зада- чи одна и та же нагрузка может быть схематизирована по-разному. Распределенные нагрузки передаются на сооружение через некоторую площадь. Интенсивность распределенной нагрузки измеряется в еди- ницах силы, отнесенной к единице площади (Н/м2 или Па). К числу та- ких нагрузок, например, относятся давление жидкости на стенки и

днище резервуара (рис. 1.3). Распределенные нагрузки могут быть по- стоянной или переменной интенсивности. При расчете многих элемен- тов строительных конструкции нагрузку, распределенную по площади, заменяют погонной распределенной нагрузкой, которая относится к единице длины балки (Н/м). Кроме того, встречается нагрузка, переда- ваемая на элементы конструкции в виде внешних сосредоточенных моментов (Н´м) или распределенных по длине пар сил (Н´м/м).

Рисунок 1.3

4. По характеру изменения нагрузок во времени их подразделяют на статические и динамические. Статическая нагрузка прикладывает- ся во времени настолько медленно, что ускорениями точек конструк- ции при их перемещениях и, следовательно, силами инерции, которые возникают при движении, можно пренебречь. Динамическая нагрузка в отличие от статической изменяет свою величину или положение на со- оружении (движущаяся нагрузка) в сравнительно короткий промежуток времени. Потому при действии динамических нагрузок необходимо учитывать дополнительные силы инерции.

5. В зависимости от того, изменяется ли нагрузка во времени, различают нагрузки неизменные во времени или изменяющиеся во

времени (с установившимся режимом, повторно-периодические и с не- установившемся режимом).

6. По продолжительности действия на строительные конструк- ции нагрузки подразделяют на постоянные и временные. Постоянной называется нагрузка, которая действует непрерывно в течение всего срока эксплуатации сооружения, например собственный вес конструк- ции. Временная нагрузка имеет ограниченную продолжительность дей- ствия, например давление транспортных средств, вес снега и т. п.

ДЕФОРМАЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

В курсе «Теоретическая механика» изучают материальные точки, системы материальных точек и абсолютно твердые тела. В «Техниче- ской механике» предметом изучения являются деформируемые тела. Под деформацией понимают изменение формы и (или) размеров тела при действии на него внешних воздействий. Деформация может не со- провождаться изменением формы. Так, например, полый шар, загру- женный внутренним давлением, остается шаром. Но могут возникать и такие деформации, когда изменяется форма тела, а его размеры сохра- нятся. Например, при сдвиге квадрат превращается в ромб, но размеры сторон не меняются. Деформации можно классифицировать по ряду признаков.

1. Деформации подразделяют на упругие и пластические. Упру- гие деформации полностью исчезают после удаления внешней нагруз- ки. Пластические или остаточные деформации сохраняются после удаления внешних нагрузок.

2. Деформации бывают малыми и большими. Малые деформации малы в сравнении с основными размерами тела. Далее будут изучаться в основном малые деформации. Большие деформации сравнимы с раз-

мерами тела. Большие деформации в строительных конструкциях обычно недопустимы.

3. Все виды деформации твер- дого тела можно разделить на про- стые и сложные. Сложные дефор- мации состоят из простых.

Рассмотрим тело, которое на- ходится в естественном состоянии. Системой вертикальных и горизон-

Рисунок 1.4

тальных плоскостей, расположенных на малых расстояниях друг от друга, вырежем малый элемент этого тела.

Выделенный элементарный объем тела является параллелепипедом (рис. 1.4). Под действием внешних сил тело деформируется. Следова- тельно, деформируются и его отдельные элементы. Изобразим пунктир- ными линиями элемент в деформированном состоянии. При этом удли- няются или укорачиваются ребра (линейные деформации), искажаются прямые углы между ребрами (угловые деформации), ребра параллеле-

пипеда искривляются и ис- кривляются его грани. Если элемент бесконечно мал, то искривлением ребер и граней можно пренебречь, остаются простые деформации линей- ные и угловые.

Деформации тела харак- теризуются изменением вза- имного расположения его то- чек до и после деформации (рис. 1.5). Рассмотрим, напри-

Рисунок 1.5

мер, точки 1 и 2, находящиеся на достаточно малом расстоя-

нии друг от друга. Длину отрезка в недеформированном состоянии тела обозначим как s. После деформации тела под действием внешних сил точки 1 и 2 переместятся в новое положение 1' и 2′. Расстояние между

этими точками равно

s + D s. Рассмотрим предел отношения

e = lim D s. (1.1)

s®0 s

Выражение (1.1) называется относительной линейной деформацией в точке 1 по направлению s. Линейную деформацию можно разложить по

x y

координатным осям на три составляющие: e, e и e.

Рассмотрим проекции элементарного объема тела на координат- ные плоскости до и после деформации (рис. 1.6). Проекции элемента после деформации изображены пунктирной линией, для упрощения чертежа одна точка проекции оставлена неподвижной. Проекции первоначально прямоугольных граней в результате линейных и угло- вых деформаций превратились в неправильные четырехугольники. Введем следующие обозначения:

gxy

= a 1 + b 1;

gyz

= a 2 + b 2;

= a + b. (1.2)

3 3

Переходя к бесконечно малым, получаем в каждой точке тела

три простых угловых деформации

gxy;

gyz и

g. Три угловые дефор-

мации

g xy,

gyz

и g совместно с тремя относительными линейными де-

формациями

e, e y

и z полностью определяют деформированное со-

стояние в точке тела.

Рисунок 1.6

МЕТОД СЕЧЕНИЙ. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ В СЕЧЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА. ПРОСТОЕ И СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРЯМОГО БРУСА

Рассмотрим твердое деформируемое тело, находящееся в равно- весии под действием системы внешних сил (рис. 1.7, а). В процессе де- формации расстояния между материальными частицами (атомами и молекулами) тела изменяются. Между атомами и молекулами тела воз- никают дополнительные силы взаимодействия. Эти силы по отноше- нию к твердому телу являются внутренними.

Для определения внутренних сил воспользуемся методом сече- ний. Рассечем твердое тело плоскостью на две части А и В (рис. 1.7, а). Действие одной части на другую заменим системой внутренних сил, распределенных по этому сечению (рис. 1.7, б). Как всякую систему сил указанные усилия можно привести к одной точке О (обычно к цен- тру тяжести поперечного сечения), в результате чего получим главный вектор и главный момент внутренних сил (рис. 1.7, в). Необходимо от- метить, что замена системы внутренних усилий, распределенных неко- торым образом по поперечному сечению деформируемого твердого те-

ла (рис. 1.7, б), главным вектором и главным моментом внутренних сил (рис. 1.7, в) является эквивалентной только в статическом смысле. Оче- видно, что распределенные внутренние усилия будут вызывать дефор- мации сечения, которые будут существенно отличаться от деформаций, вызванных действием главного момента и главного вектора, поэтому эти схемы в геометрическом смысле неэквивалентны.

F2 F2

F1 F3

F7 А F4

Рисунок 1.7

Рассмотрим прямой брус постоянного сечения, загруженный вза- имно уравновешенной системой сил (рис. 1.8, а). Введем прямоуголь- ную декартову систему координат x, y, z. В дальнейшем будем ис- пользовать правостороннюю систему координат (при взгляде с поло- жительного направления оси z ось x должна совмещаться с осью y про- тив часовой стрелки). Ось z всегда будем совмещать с направлением внешней нормали к поперечному сечению, а ось x направлять навстре- чу нашему взгляду.

Рассечем брус поперечным сечением и мысленно отбросим пра- вую часть. Действие отброшенной части бруса В заменяем системой распределенных внутренних усилий, действующих по поперечному се- чению левой части тела А, которые сведем к главному моменту и глав- ному вектору (рис. 1.8, б).

Разложим главный вектор и главный момент внутренних усилий по координатным осям (рис. 1.8, б). В результате получаем шесть про- екций на координатные оси: три силы (Nz, Qx и Qy) и три момента (Mx,

My и Mz). Усилие Nz, вызывающее деформацию бруса в направлении оси z, называется продольной силой. Усилия Qx и Qy вызывают сдвиги по осям x и y соответственно и называются поперечными силами. Мо- мент Mz вызывает кручение стержня, поэтому называется крутящим моментом. Моменты Mx и My вызывают изгиб в главных плоскостях инерции бруса zOy и zOx, поэтому называются изгибающими момента- ми. Совокупность указанных сил и моментов принято называть внут- ренними силовыми факторами (ВСФ).

F1 F2

А В z

x x

y F4

Рисунок 1.8

При действии внешних сил в поперечных сечениях бруса возни- кают множество комбинаций внутренних усилий, вызывающих различ- ные виды деформаций. Различают простое и сложное сопротивление бруса. К простому сопротивлению относят те виды деформаций, при которых возникают внутренние силовые факторы, действующие в од- ной плоскости. К с ложному сопротивлению относятся деформации, при которых внутренние силовые факторы действуют в различных плоскостях. К простому сопротивлению относятся следующие виды деформаций:

- одноосное растяжение или сжатие (в поперечном сечении действует только продольная сила Nz);

- простой сдвиг или срез (в поперечном сечении действует попе- речная сила Qх или Qy);

- кручение (в сечении действует только крутящий момент Мz);

- чистый изгиб (в поперечном сечении действует изгибающий момент Mx или My);

- поперечный изгиб (в поперечном сечении бруса действует из- гибающий момент Mx и соответствующая ему поперечная сила Qy или момент My и сила Qx).

К сложному сопротивлению прямого бруса относятся следующие виды деформации:

- внецентренное растяжение или сжатие (в поперечном сече- нии бруса действуют изгибающие моменты Mx и My, а также продоль- ная сила Nz);

- косой изгиб (в поперечном сечении бруса действуют изгибаю- щие моменты Mx и My);

- совместное действие кручения и изгиба (в сечении действуют изгибающие моменты Mx и My, а также крутящий момент Mz).

ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕНИЯХ В ТОЧКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

На основании ранее принятой гипотезы о сплошности материала можно предполагать, что внутренние силы также непрерывно распре- делены по всему сечению. Выделим в окрестности точки K, принадле- жащей поперечному сечению тела с внешней нормалью n, площадку

D А (рис. 1.9). Равнодействующая внутренних усилий, действующих по этой площадке, равна D R. Рассмотрим следующее отношение:

P = D R. (1.3)

n D A

Полученная векторная величина

Pn называется средним напря-

жением на площадке D A. Если уменьшать размеры площадки D A, то в

пределе получим полное напряжение в точке тела:

р = lim D R. (1.4)

n D A ®0 D A

Напряжение

рn также явля-

Рисунок 1.9

ется векторной величиной. Его направление и численное значе- ние зависят как от ориентации площадки в пространстве, так и от положения точки K в пределах сечения.

Выберем прямоугольную декартову систему координат та-

ким образом, чтобы ее начало совпадало с точкой K, а направление оси z совпадало с направлением внешней нормали n. Тогда оси х и у будут располагаться в плоскости сечения тела. Разложим вектор полного на-

пряжения

рn по координатным осям (рис. 1.9). Проекция полного на-

пряжения на направление внешней нормали называется нормальным

напряжением и обозначается s. Касательное напряжение tn

пред-

ставляет собой проекцию вектора полного напряжения

рn на коорди-

натную плоскость хОу. В свою очередь напряжение tn

можно предста-

вить как геометрическую сумму двух напряжений zх

разом, полное напряжение равно

и t zу. Таким об-

pn =. (1.5)

Все напряжения являются мерой интенсивности внутренних уси- лий, действующих по бесконечно малой площадке, выделенной в окре- стности точки твердого тела. Напряжения измеряются в единицах дли- ны, деленной на единицу площади Н/м2 или Па.

СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ВНУТРЕННИМИ СИЛОВЫМИ ФАКТОРАМИИ

Установим зависимости между внутренними силовыми фактора- ми и напряжениями. Рассмотрим произвольную точку K, принадлежа- щую поперечному сечению тела. В окрестности точки K с координата- ми х и у выделим бесконечно малую площадку dA. По малой площадке

действуют нормальные напряжения s, а также пара касательных на-

пряжений t

и t zy

(рис. 1.10). Исходя из уравнений равновесия для от-

сеченной части тела, получаем следующие уравнения:

å z = 0;

Nz = òò s dA; (1.6)

å y = 0;

å x = 0;

Qy = òò t zy dA; (1.7)

Qx = òò t zx dA; (1.8)

å mx = 0;

å my = 0;

M x = òò s ydA; (1.9)

M y = òò s xdA; (1.10)

Рисунок 1.10

å mz = 0;

M z = òò(t zx y - t zy x) dA. (1.11)

Полученные формулы (1.6) - (1.11) позволяют определить равно- действующие внутренних усилий через напряжения, возникающие в произвольной точке тела, если известен закон их распределения по по- перечному сечению.

КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ НАУКИ О СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ

Первые заметки о прочности, содержатся в кодексах великого итальянского художника Леонардо да Винчи. Зарождение науки о со- противлении материалов относится к 1638 г., когда в голландском го- роде Лейдене была издана книга Галилео Галилея «Беседы и матема- тические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки»: динамики и науки о прочности. На страницах своего труда Галилей предпринял первую в истории человечества попытку решить на науч- ной основе вопрос о прочности отдельных элементов конструкций. Конечно, и ранее возводились поражающие человеческий ум архитек- турные сооружения, однако они строились на базе эмпирических зна- ний, методом проб, на базе опыта, накопленного в практической дея- тельности. Галилей впервые попытался аналитически решить задачу об изгибе балки. Он правильно установил, что для балки прямоугольного сечения момент сопротивления пропорционален первой степени ши- рины и квадрату высоты ее сечения. При решении этой задачи Галилей допустил ошибку в коэффициенте пропорциональности. Она происте- кала из неправильного предположения о законе распределения напря- жений в защемленном сечении консольной балки, загруженной сосре- доточенной силой, приложенной к ее свободному концу. Однако нали- чие этой ошибки не умаляет величия предпринятой Галилеем попытки дать теоретическое решение этой очень сложной для того времени за- дачи. Необходимо отметить, что вопрос о прочности стержней под действием продольной силы во времена Галилея был уже решен. Со- противление стержня правильно считалось пропорциональным площа- ди поперечного сечения.

Другой существенный шаг в развитии науки о сопротивлении материалов был сделан в том же XVII в. Робертом Гуком в 1660 г. был открыт, а в 1678 г. опубликован закон пропорциональности между на- грузкой и деформацией. Этот закон до сих пор широко используется в различных разделах механики деформируемого твердого тела.

В последующем задачу об изгибе балки пытались решить извест- ные ученые, в число которых входили Мариотт, Лейбниц, Вариньон, Яков Бернулли, Кулон и многие другие. Только в 1826 г. после выхода в свет лекций по строительной механике, написанных Анри Навье, за- вершился сложный процесс поиска решения задачи об изгибе балки, растянувшийся почти на двести лет. Навье впервые получил правиль- ное решение этой задачи и ввел понятие напряжения. Он отметил ма- лость перемещений по сравнению с размерами тела, что позволило существенно упростить запись уравнений равновесия. Это широко ис-

пользуемое положение иногда называют расчетом по недеформиро- ванной схеме.

История развития сопротивления материалов неразрывно связана с именами таких выдающихся ученых, как Лагранж, Коши, Пуассон, Сен-Венан. Среди них особо выделяются заслуги Леонарда Эйлера, ко- торый впервые определил критическое значение сжимающей продоль- ной силы, действующей на прямолинейный стержень (1744). Следует отметить, что решение этой задачи во всей полноте тоже заняло по вре- мени почти двести лет. Это связано с тем, что решение Эйлера было получено исходя из предположения о линейно-упругом характере рабо- ты материала под нагрузкой. Такое допущение накладывает опреде- ленные ограничения на область применимости формулы Эйлера.

Использование формулы Эйлера за границами предела пропор- циональности приводило к результатам, которые явно не соответство- вали экспериментальным данным. Поэтому формула Эйлера долгое время не использовалась в инженерной практике. Только в 1889 г. не- мецкий ученый Фридрих Энгессер предпринял попытку получить тео- ретическое решение задачи об устойчивости сжатого стержня за преде- лом пропорциональности. Он предложил заменить в формуле Эйлера модуль начальный упругости касательным модулем. Однако обоснова- ния этому своему предложению не дал. В 1894 г. решение задачи о по- тери устойчивости сжатого стержня из упругопластического материала при неизменной продольной силе получил русский ученый Феликс Ясинский. Теодор Карман пришел к аналогичному выводу в 1910 г. Ф.Р. Шенли в 1946 г. опубликовал исследование, в котором провел об- стоятельный анализ потери устойчивости упругопластического стерж- ня и дал теоретическое обоснование предложения Энгессера об исполь- зовании в формуле Эйлера касательного модуля.

В развитие науки о сопротивлении материалов большой вклад внесли многие отечественные ученые. Среди них особо следует отме- тить большие заслуги Д.И. Журавского, X.С. Головина, П.Ф. Папко- вича, Б.Г. Галеркина, С.П. Тимошенко, В.3. Власова, Н.М. Беляева, А.А. Гвоздева, Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили, А.А. Ильюшина, Ю.Н. Работнова и многих других.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение дисциплины «Техническая механика».

2. Что такое прочность конструкции?

3. Какая конструкция является жесткой?

4. Дайте определение устойчивости.

5. В чем заключается противоречивость требований надеж- ности и экономичности строительной конструкции?

6. Для чего в науке о сопротивлении материалов используют эксперимент?

7. На знании каких дисциплин базируется изучение курса сопро- тивления материалов?

8. В каких дисциплинах, изучаемых на последующих курсах, используют результаты, полученные в сопротивлении материалов?

9. В чем состоит отличие математического аппарата курса со- противления материалов от используемого в МТДД?

10. Какие основные гипотезы и допущения сопротивления мате- риалов Вы знаете?

11. Как классифицируются внешние силы?

12. Что называется деформацией твердого тела?

13. Как можно классифицировать деформации?

14. Что называется относительной линейной деформацией?

15. Дайте определение простой угловой деформации.

16. Сколько компонент линейных и угловых деформаций полно- стью определяют деформированное состояние в точке тела?

17. Что называют внутренними силами?

18. На сколько компонент по координатным осям раскладывают- ся главный вектор и главный момент внутренних сил?

19. Что называется простым и сложным сопротивлением бруса?

20. Какие виды деформации относятся к случаю простого сопро- тивления бруса?

21. Какие виды деформации относятся к случаю сложного сопро- тивления бруса?

22. В чем заключается разница между средним напряжением и полным напряжением?

23. На какие составляющие по координатным осям раскладывает- ся вектор полного напряжения?

24. Какова связь между напряжениями и внутренними силовыми факторами?

25. Когда зародилась наука о сопротивлении материалов? С именем какого ученого связано ее появление?

ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

2.1. МОМЕНТЫ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Величина перемещений и деформаций брусьев под действием внешних нагрузок зависит не только от физико-механических характе- ристик материала, но и от вида поперечного сечения. Рассмотрим два прямых бруса одинакового поперечного сечения. Длина обоих брусьев равна l. Они изготовлены из одинакового материала и нагружены оди- наковыми внешними силами, различно ориентированными по отноше- нию к сторонам поперечного сечения (рис. 2.1).

Рисунок 2.1

Из приведенного рисунка следует, что брус, изображенный на ри- сунке 2.1, а является более гибким, чем брус, показанный на рисунке 2.1, б. Вертикальное перемещение точки приложения с