Неевклидовы геометрии.
Проблема пятого постулата Евклида. Простейшие факты гиперболической геометрии Н.И. Лобачевского, эллиптической геометрии Б. Римана и сферической геометрии.
Проблема пятого постулата Евклида:
Аксио́ма паралле́льности Евкли́да, или пя́тый постула́т — одна из аксиом, лежащих в основанииклассической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида [1]:
| И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двухпрямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двухпрямых. |
Евклид различает понятия постулат и аксиома, не объясняя их различия; в разных манускриптах «Начал»Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, равно как не совпадает и их порядок. Вклассическом издании «Начал» Гейберга сформулированное утверждение является пятым постулатом.
На современном языке текст Евклида можно переформулировать так:
Если сумма внутренних углов с общей стороной, образованных двумя прямыми при пересечении ихтретьей, с одной из сторон от секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и притом по ту жесторону от секущей.
Простейшие факты гиперболической геометрии Н.И. Лобачевского, эллиптической геометрии Б. Римана и сферической геометрии:
Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий,геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, заисключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.
Евклидова аксиома о параллельных (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений) гласит:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с даннойпрямой в одной плоскости и не пересекающей её.
В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с даннойпрямой в одной плоскости и не пересекающие её.
Широко распространено заблуждение, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются[1].Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое ифилософское её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии,отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии, математики и науки вообще.
Многоугольники. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность.
Длина отрезка. Ломаная, звенья ломаной, простая ломаная, замкнутая ломаная, простой многоугольник, граница многоугольника, ориентированный многоугольник. Характеристика многоугольника. Площадь многоугольника. Аксиомы измерения площадей. Теорема существования и единственности. Равновеликие и равносоставленные многоугольники
Длина отрезка:отрезок - это часть прямой линии, ограниченная двумя точками - началом и концом.
А длина отрезка это расстояние от одной точки до другой.
Если известны координаты отрезка (х1;у1) и (х2;у2), то следует рассчитать его длину следующим образом. Из координат на плоскости второй точки следует вычесть координаты первой точки. В итоге должно получиться два числа. Каждое из таких чисел необходимо возвести в квадрат, а потом найти сумму этих квадратов. Из полученного числа следует извлечь квадратный корень, который будет являться расстоянием между точками. Поскольку данные точки являются концами отрезка, то данное значение и будет его длиной.
Рассмотрим пример, как найти длину отрезка по координатам. Есть координаты двух точек (-1;2) и (4;7). При нахождении разности координат точек получаем следующие значения: х = 5, у =5. Полученные числа и будут являться координатами отрезка. Затем каждое число возводим в квадрат и находим сумму результатов, она равна 50. Из этого числа извлекаем квадратный корень. Результат таков: 5 корней из 2. Это длина отрезка.
Ломаная, звенья ломаной, простая ломаная, замкнутая ломаная, простой многоугольник, граница многоугольника, ориентированный многоугольник:
Ломаная - геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединенных своими концами.
Составные отрезки ломаной называются ее сторонами или звеньями, а их концы – вершинами ломаной. Наименьшее возможное количество звеньев ломаной – два. Конечные вершины ломаной называются черными точками.
Графически линию обозначают по названиям ее вершин, например, ломаная ABCDEFG. Ломаная линия может быть замкнутой, т.е. ее конечные вершины совпадают. Разновидностями такой линии являются многоугольники. Многоугольник – это плоская замкнутая ломаная, которая не имеет самопересечений. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а ее звенья – сторонами многоугольника.
Многоугольник с тремя сторонами и вершинами называется треугольником. Замкнутая ломаная с четырьмя сторонами может быть квадратом, прямоугольником, ромбом, параллелограммом, трапецией. Фигура с пятью и более сторонами называется n-угольником, где n – число вершин.
Ломаная линия может иметь самопересечения. Классическим примером замкнутой ломаной с самопересечениями является пятиконечная звезда.
Разновидностью ломаной линии является зигзаг, в котором отрезки параллельны друг другу через один, а последовательные образуют одинаковый угол. Зигзаги используются в швейном деле, а также при декоративном оформлении предметов обихода (посуды, мебели, книг) в качестве орнамента.
Характеристика многоугольника:
Многоуго́льник — это замкнутые ломаные линии, не имеющие само пересечения.
Последняя фигура, изображенная на рисунке не является многоугольником, так как несмежные отрезки имеют более одной общей точки.
Существуют три различных варианта определения многоугольника:
· Плоская замкнутая ломаная — самый общий случай;
· Плоская замкнутая ломаная без самопересечений — простой многоугольник;
· Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений.
В любом случае, вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника.
Площадь многоугольника:
Формула для нахождения площади правильного многоугольника:Площадь = 1/2 х периметр х апофема.
· Периметр - сумма сторон многоугольника.
· Апофема – отрезок, соединяющий центр многоугольника и середину любой из его сторон (апофема перпендикулярна стороне).
Теорема существования и единственности:
Теорема существования — утверждение, которое устанавливает, при каких условиях существует решение математической задачи или математический объект, например производная, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение уравнения и т. д. При доказательстве теорем существования используются сведения из теории множеств. Теоремы существования играют очень важную роль в различных приложениях математики, например при математическом моделировании различных явлений и процессов. Математическая модель не адекватна конкретному описываемому явлению, из существования решения реальной задачи не следует существование соответствующей математической задачи. Доказательство теорем существования необходимо перед решением различных математических задач, вроде вычисления интеграла или интегрирования дифференциального уравнения. Теоремы существования позволяют определить, существует ли вычисляемый интеграл и сколько решений имеет дифференциальное уравнение. Если удается доказать теорему существования, единственность решения и корректность самой постановки задачи, то это означает очень важный первый шаг в решении задачи.
Равновеликие и равносоставленные многоугольники:
При вычислении площадей многоугольников используется простой прием, называемый методом разбиения.
Геометрия, как и другие науки, возникла из потребностей практики. Само слово «геометрия» греческое, в переводе означает «землемерие».
Люди очень рано столкнулись с необходимостью измерять земельные участки. Это требовало определенного запаса геометрических и арифметических знаний. Постепенно люди начали измерять и изучать свойства более сложных геометрических фигур.
«По дошедшим до нас египетским папирусам и древневавилонским текстам видно, что уже за 2 тысячи лет до нашей эры люди умели определять площади треугольников, прямоугольников, трапеций, приближенно вычислять площадь круга, — пишет И. Г. Башмакова. — Они знали также формулы для определения объемов куба, цилиндра, конуса, пирамиды и усеченной пирамиды. Сведения по геометрии вскоре стали необходимы не только при измерении земли. Развитие архитектуры, а несколько позднее и астрономии предъявило геометрии новые требования. И в Египте и в Вавилоне сооружались колоссальные храмы, строительство которых могло производиться только на основе предварительных расчетов....И все же, несмотря на то что человечество накопило такие обширные знания геометрических фактов, геометрия как наука еще не существовала.
Геометрия стала наукой только после того, как в ней начали систематически применять логические доказательства, начали выводить геометрические предложения не только путем непосредственных измерений, но и путем умозаключений, путем вывода одного положения из другого, и устанавливать их в общем виде. Обычно этот переворот в геометрии связывают с именем ученого и философа VI века до нашей эры Пифагора Самосского».
Однако все новые проблемы и созданные в связи с ними теории привели к тому, что совершенствовались сами способы математических доказательств, возрастала потребность создания стройной логической системы в геометрии.
